高中数学第一轮总复习 第2章第9讲 函数的单调性课件 苏教版

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④根据复合函数单调性的判断法则写出单调区间． 整理课件
【变式练习2】 求函数f(xFra bibliotek＝loga(3－2x－x2)(0<a<1)的单调区间．
【解析】设u＝3－2x－x2>0，则x∈(－3,1)． 由于函数u的图象的对称轴为直线x＝－1， 所以函数u在[－1,1)上是单调减函数，在(－3，－ 1]上是单调增函数． 又因为函数y＝logau(0<a<1)是单调减函数， 所以函数f(x)＝loga(3－2x－x2)(0<a<1)的单调减区 间为(－3，－1]，单调增区间是[－1,1)．
所 以 f x 在 [ a， ＋ )上 是 单 调 增 函 数 ．
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2 当 x 0时 ， 设 x1 x 2 0 .则 f x 2 － f x1
＝
x
＋
2
a x2
－
x
－
1
a＝ x1
x2 x1 x1 x 2
(
x
1
x
－
2
a )．
于 是 当 － a x1 x2 0时 ， x1x2 a， 则 f x2 f x1 ．
单
调
减
函
数
，
所 以 u x1 u x2 0， 所 以 y1 y2.
故 函 数 f x ＝ lo g 1 (4 ＋ 3 x－ x 2 )
2
在 (－ 1 ，3 ]上 是 单 调 减 函 数 ， 2
在 [ 3 ，4 ) 上 是 单 调 增 函 数 ． 2
整理课件
复合函数的单调区间的求解可分为四步：
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于 是 转 化 为 判 断 “ x－ a ”的 符 号 ， 自 然
过 渡 到 x＝ a 是 函 数 单 调 区 间 的 分 界 点 ． 第
二种方法是导数法．导数是研究函数图象
上某点的切线斜率的变化大小的，当某点
的 导 数 为 0时 ， 斜 率 为 0， 所 以 导 数 为 0是 函
数单调区间的分界点，用导数法可以克服
【 例 2】
求 函 数 fx＝ log1(4＋ 3x－ x2)的 单 调 区 间 ．
2
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【 解 析 】 由 4 ＋ 3 x－ x 2 0， 得 －1 x 4.
令 u x ＝ 4 ＋ 3 x－ x 2＝ － ( x－ 3 ) 2＋ 2 5 ，
24 则 原 函 数 化 为 y＝ lo g 1 u .
在 (－ ， － a ],[ a， ＋ )上 是 单 调 增 函 数 ． (由 于 函 数 是 奇 函 数 ， 其 整实理只课件需 讨 论 x 0的 情 况 即 可 ．)
方
法
2：
导
数
法
：
当
x
0时
，
f
x ＝1－
a x2
.
令 f x 0， 得 a x 2， 则 x a .
于 是 f x 在 [[ a， ＋ )上 是 单 调 增 函 数 ；
＝
(
x
－
1
x
2
)
[
(
x
＋
1
1 2
x2 )2＋
3 4
x
2＋
2
1
]
因
为
x
－
1
x2
0
，(
x
＋
1
1 2
x2 )2＋
3 4
x
2＋
2
1
>
0
,
所 以 f x1 － f x2 0， 即 f x1 f x2 ，
所 以 函 数 f x ＝ x 3＋整x理在课件R 上 是 增 函 数 ．
求函数的单调区间
同 理 可 得 f x 在 (0， a ]上 是 单 调 减 函 数 ．
在 (－ ， － a ]上 是 单 调 增 函 数 ，
在 [－ a，0 )上 是 单 调 减 函 数 ．
综 上 ， 函 数 f x 在 [－ a，0 )，(0， a ]上 是 单 调 减 函 数 ，
在 (－ ， － a ],[ a， ＋ )上 是 单 调 增 函 数 ．
推理运算中的难点．掌握导数法在函数单
调性研究中的运用，能收到事半功倍的效
果．
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【变式练习1】 求证：函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数．
【
证
明
】
任
取
实
数
x
，
1
x
，
2
且
x1
x
，
2
则
f
x1 －
f
x2
＝
x
3＋
1
x
－
1
(
x
3＋
2
x2)
＝
x
3－
1
x
3＋
2
x
－
1
x
＝
2
(
x
－
1
x
2
)
(
x
2＋
1
x
2＋
2
x1 x 2＋ 1)
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第9讲
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函数单调性的判断 与证明
【 例 1】
讨 论 函 数 fx＝ x＋aa0的 单 调 性 ．
x
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【 解 析 】 方 法 1： 定 义 法 ： 函 数 的 定 义 域 为
(－ ，0 ) ( 0 ， ＋ )．
1 当 x 0时 ， 设 0 x1 x 2， 则 f x 2 － f x1
＝
x 2＋
a－ x2
x
－
1
a＝ x1
x2 x1 x1 x 2
(
x1 x 2－
a )．
于 是 当 0 x1 x2 a时 ， x1x2 a，
则 f x2 f x1 ．
所 以 f x 在 (0， a ]上 是 单 调 减 函 数 ；
当 a x1 x 2时 ， x1 x 2 a， 则 f x 2 f x1 ．
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易 知 ， 当 x (－1，3 ]时 ， u x 是 单 调 增 函 数 ；
2
当 x [ 3 ，4)时 ， u x 是 单 调 减 函 数 ．
2
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故
当
－1
x1
x2
3时 2
，
因
为
u x是
单
调
增
函
数
，
所以0
u x1
u x2 ， 所 以 y1
y
；
2
当
3 2
x1
x2
4时
，
因
为
u x是
所 以 f x 在 [－ a，0 )上 是 单 调 减 函 数 ；
当 x1 x2 － a时 ， x1x2 a， 则 f x2 f x1 ． 所 以 f x 在 (－ ， － a ]上 是 单 调 增 函 数 ．
综 上 ， 函 数 f x 在 [－ a，0 )，(0， a ]上 是 单 调 减 函 数 ，
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研究函数的单调性一般有两种方法， 即定义法和导数法．定义法是基础，掌握 定义法的关键是作差(f(x2)－f(x1))，运算的 结果可以判断正、负．本题判断正、负的 依据是代数式“x1x2－a”，处理这个代数 式的符号是一个难点，要有一定的数学功 底作基础．把x1、x2看成自变量，则转化 为判断“x2－a”的符号，
①求函数的定义域；
②把复合函数分解成两个常见函数．本题中，
u x ＝ 4 ＋ 3 x－ x 2是 二 次 函 数 ， y＝ lo g 1 u是 对 数 函 数 ；
2
③分别求各函数的单调区间．本题中，ux
的 单 调 减 区 间 为 [ 3 ，4 )， 单 调 增 区 间 为 (－1 ，3 ]，
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y＝ lo g 1 u是 (0， ＋ )上 的 单 调 减 函 数 ；