最新高等数学习题详解-第5章-不定积分

1．写出下列函数的一个原函数：

(1) 5

2x ； (2) cos x -；

(3)

；

(4)

解：（1）Q 65

1()23x x '=， ∴

613

x 是52x 的一个原函数．

(2) Q (sin )cos x x '-=-，∴sin x -是cos x -的一个原函数．

(3)

Q '=

∴

的一个原函数．

(4)

Q (2arcsin )x '-=，∴2arcsin x -

是

2．根据不定积分的定义验证下列等式：

(1) 23

11d 2

-=-+⎰x x C x ； (2)

(sin cos )cos sin x x dx x x C +=-++⎰．

解：(1) 因为2311()2x x -'-

=，所以2311

2

dx x C x -=-+⎰． (2) 因为(cos sin )sin cos x x x x '-+=+，所以

(sin cos )cos sin x x dx x x C +=-++⎰．

3．根据下列等式，求被积函数()f x ．

(1)

()ln(f x dx x C =+⎰； (2)

()f x dx C =

+⎰

．

解：(1)

等式两边求导得：()(ln(f x x x ''=+=+

=

+

=

(2)

等式两边求导得：32

2322

1()(1)22(1)x f x x x x -'==-+⋅=-+． 4．设曲线通过点(0,1)，且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为x

e -，求此曲线方程． 解 设所求曲线方程为()y

f x =，由题设有()x

f x e -'=，

()x x f x e dx e C --∴==-+⎰

又曲线过点(0,1)，故(0)1f =，代入上式得2C =，所以,所求曲线方程为：

2x y e -=-+．

1． 求下列不定积分：

(1)

2

4)x dx -；

(2) 2

； (3) 2x

x

e dx ⎰； (4) 23523x x

x

dx ⋅-⋅⎰； (5) 2

21

(1)

dx x x +⎰； (6) 4

21x dx x +⎰；

(7) sec (sec tan )x x x dx -⎰

； (8)

1

1cos 2dx x +⎰； (9) 2cos 2sin x dx x ⎰； (10) 2sin 2

x dx ⎰； (11) 22cos 2cos sin x dx x x

⎰； (12) 2

(tan cot )x x dx +⎰． 解：

(1)

5

15173

2

2222

2

2

284)(4)473x dx x x dx x dx x dx x x C -=-=-=-+⎰⎰⎰．

(2) 11322

222(2)x x x dx -==-+⎰⎰ 1

13222

2x dx x dx x dx -

=-+⎰⎰⎰

35

2

24235

x x C =++.

(3) 122(2)(2)ln(2)1ln 2

x x x

x

x

x

e e dx e dx e C C e ==

+=++⎰⎰. (4) 235222[25()]25()33

3x x x x

x dx dx dx dx ⋅-⋅=-⋅=-⎰⎰⎰⎰ 125225()223(ln 2ln 3)3ln()3

x

x x x C x C ⋅=-⋅+=-+-. (5) 2

222

1111

()arctan (1)1dx dx x C x x x x x =-=--+++⎰⎰. (6) 442

32221111(1)arctan 1113

x x dx dx x dx x x x C x x x -+==-+=-+++++⎰⎰⎰. (7) 2

sec (sec tan )(sec sec tan )tan sec x x x dx x x x dx x x C -=-=-+⎰⎰

. (8)

2

21111sec tan 1cos 22cos 22

dx dx xdx x C x x ===++⎰⎰⎰. (9) 2222cos 212sin 1(2)cot 2sin sin sin x x dx dx dx x x C x x x

-==-=--+⎰⎰⎰.

(10) 2

1cos 11sin

sin 2222

x x dx dx x x C -==-+⎰

⎰. (11) 2222

2222cos 2cos sin (csc sec )cos sin cos sin x x x dx dx x x dx x x x x

-==-⎰⎰⎰ 22csc sec cot tan xdx xdx x x C =-=--+⎰⎰

.

(12)

222

22(tan cot )(tan cot

2)(sec csc )x x dx x x dx x x dx +=++=+⎰⎰⎰

tan cot x x C =-+. 2． 解答下列各题：

(1) 设3()1x x

f e e '=+,且(0)1f =,求()f x ；

(2) 设sin x 为()f x 的一个原函数，求

'()f x dx ⎰；

(3) 已知()f x 的导数是cos x ，求f (x )的一个原函数；

(4) 某商品的需求量Q 是价格P 的函数，该商品的最大需求量为1000(即0P =时

1000Q =),已知需求量的变化率(边际需求)为1

()1000()ln 33

P Q P '=-,求需求量与价格

的函数关系．

解 (1) 由33()11()x

x

x f e e

e '=+=+,得3()1

f x x '=+；所以

3

4

1()(1)4

f x x dx x x C =+=+

+⎰

， 因为(0)1f =，代入上式得1C =，所以4

1()14

f x x x =+

+． (2) 由题意有(sin )()x f x '=,即()cos f x x =,故

()sin f x x '=-,

所以

()sin sin cos d d d f x x x x x x x C '=-=-=+⎰⎰⎰

(3) 依题意有()cos f x x '=，所以1

()cos sin f x xdx x C ==+⎰， 于是 1

1

2

()(sin )cos f x dx x C dx x C x C =+=-++⎰⎰

其中12,C C 为任意常数,取120C C ==,得()f x 的一个原函数为cos x -． (4) 由1()1000()ln 33

P

Q P '=-得

111

()[1000()ln 3]1000ln 3()1000().333

P P P Q P dp dp C =-=-⋅=⋅+⎰⎰

将0P =时, 1000Q =代入上式得0C =；

所以需求量与价格的函数关系是1

()1000()3

P

Q P =．