高考数学二轮复习指导系列之二(立体几何)

图4

图3

图2

6

3

4

3

6

4

6

6

3

图

1

A

高考数学二轮复习指导系列二

立体几何

空间立体几何在高考考查中一般占22分，其题型与题量一般是1个解答题，1 ~ 2 个选择或填空题．立体几何高考的选择或填空题有三个常考热点：一是空间几何体的三视图；二是空间几何体的表面积、体积；三是空间中点、直线、平面之间的位置关系的判定．立体几何高考的解答题常以棱柱或棱锥为载体，解答题一般采用分步设问的方式，常见的两个考查热点：一是定性分析，二是定量分析． 其中定性分析，不论文科还是理科主要是以平行、垂直的证明为主；而定量分析，文科试题主要考查表面积、体积的计算；理科试题主要考查线面角、二面角的计算．下面对学生存在的主要问题进行剖析，并提出相应的教学对策．

一、存在的问题及原因分析：

问题一：识图、作图、用图能力弱．

作图、识图、用图能力是考生学好立体几何乃至解析几何所应具备的重要能力之一，何况全国卷的试题一般不提供图形！本专题中，识图、作图、用图能力弱主要集中在“三视图的识别、还原”，“球问题的直观呈现和转化”“作图问题”“展折问题的图形分析”等．

例题1：（2009宁夏海南理11）一个棱锥的三视图如图（1），则该棱锥的全面积（单位：c 2

m ）为（ ）

（A ）

（B ）

（C ）

（D ）解析：由三视图可知这是一个高为4的三棱锥，且其底面是一个等腰直角三角形，

如图（2）：6A

B B

C ==，P 在底面的射影为AC 中点

D ，则=4

PD ，

则16152PAB PCB S S ∆∆==

⨯

=

，1

42

PAC S ∆=⨯= 1

66182

CAB S ∆

=⨯⨯=

，故全面积为2151848⨯++=+A ．

评析：本题往往会因为对俯视图认识不足（直角三角形的实中线），而画错顶点P 在底面的射影(比如认为P 在底面的射影恰为顶点B )，只有正确理解才能把三视图还原成如图2的几何体．

可见，把三视图还原成几何体时首先要从总体入手判断几何体的形状（即要有较强的模型意识，能总

图5

A

图6

B 1

1

1

体构造！），比如本题由于三个视图都是三角形，故可判断为该几何体为三棱锥；其次注意细节，尤其关注顶点在底面上的射影，如本题的俯视图意味着顶点P 在底面的射影为AC 中点D （一般地，三棱锥中顶点在底面的射影若不在边上，如若在顶点，则俯视图如图（3），如若在三角形内，则俯视图如图（4））．

例题2：（2012年课标全国卷理11）已知三棱锥

-S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为

1的正三角形，SC 为球O 的直径，且=2SC

，则此棱锥的体积为( )

解析：由球的定义可知，球心O 为SC 的中点．如图5，设ABC ∆的中心为

M ，则有OM ⊥平面ABC ，

且OM =

=

，所以

三棱锥的高2h OM ==

，所以此棱锥的体积为111326⋅⋅=．

评析：本题往往会因为对直径认识不足（球心O 为SC 的中点），纠结如何做图（球内接三棱锥

-S ABC ），而不懂对问题进行转化（--2S ABC O ABC V V =），只有正确理解才能把问题转化为三棱锥-O ABC

（如图5），再结合球的定义，即可解决．

例题3：（2016全国Ⅰ卷理11）平面α过正方体1111-ABCD A B C D 的顶点

A ，//α

平面11CB D ，α 平面ABCD m =，

α 平面11ABB A n

=，则m

n ，所成角的正弦值为（ ） (A)

2 (B )2

(C)3 (D)13

解析：因为//α平面11CB D ，且平面α过顶点A ， 故问题相当于把平面11CB D “外移”．

如图6，在正方体1111-ABCD A B C D 的左侧补上一个全等的正方体，则平面11CB D “外移”到平面22AB D （即平面α），则α

平面2ABCD AD =，α 平面112ABB A AB =，又22AB D ∆为等边三角形，则m n ，所成角为60

评析：本题往往会因作图不过关而对过顶点A 作平面α束手无策，只有正确理解才能通过“补上一个全等的正方体”快速实现把平面11CB D “外移” （此时22121121//,//,//D B CB AD D B AB CD ）．可见，观察和做出平行线是本题作图的关键．当然，如何作平行线，这是作图的基本功，教师要讲明原理（常利用中位线或平行四边形的性质作平行线），同时，要引导学生观察几何体（尤其是长方体中的一些常见的平

图8

图7

B

图9

B

行关系（如本题22121121//,//,//D B CB AD D B AB CD ）的和垂直关系），这样，学生的作图就会更有方向感！

例题4

：如图7，四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD =BD CD ⊥．将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A BCD '，使平面A BD BCD '⊥平面，则下列结论正确的是( )． (A) A C BD '⊥ (B) 90BA C '∠=

(C) CA '与平面A BD '所成的角为30 (D) 四面体A BCD '的体积为

1

3

解析:∵1A B A D ''== ，BD BA DA ''⊥ ．

又∵面A BD '⊥ 面BCD ，且CD BD ⊥ ，面A BD '⋂ 面BCD BD =∴CD ⊥面A BD '．

∴CD BA '⊥，∵DA CD D '⋂=∴BA '⊥面A CD '，∴BA A C ''⊥ ，即90BA C '∠=

．

评析：本题往往会因对折叠问题前后的“变量与不变量”分析不够，而忽视重要的垂直关系“BA DA ''⊥，CD BD ⊥”， 只有正确理解才能顺利由平面A BD BCD '⊥平面得出CD ⊥面A BD '，再结合CD A B '⊥，得到BA '⊥面A CD '，从而解决问题．

无论是图形的翻折或是展开，都是平面图形与空间图形的相互转化，从抽象到直观，直观到抽象的过程，其中翻折 ——— 平面图形立体化，展开 ——— 立体图形平面化．解决这类问题关键在于要分清展折前后的“变量与不变量”，建议在展折前的图形中进行标注重要的点（尤其前后坐标的不同），或是重要的量（如垂直关系，如图9），这样比较不会遗忘或忽略．

问题二： 推理的逻辑欠清晰．

以全国卷理科卷为例，其解答题一般稳定居于前三的位置，常设置两问，一问主要涉及定性证明（如垂直关系、平行关系），二问立足定量求解（如三种角度的度量）．在定性分析时由于定理条件不清楚，推理的逻辑欠清晰，常造成“会而不全”，导致失分．

例题5： 在如图1所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，ED ⊥平面ABCD ，

//ED FC ，FC ED 2

1

=

，M 是AF 的中点． （Ⅰ）求证：//EM 平面ABCD ； （Ⅱ）求证：平面AEF ⊥平面FAC ．

解析：（Ⅰ）如图11，连接,AC BD ，AC BD O = ，则O 为BD 的中点，连接

OM ．则1//,2MO FC MO FC =

且，又//ED FC ，且FC ED 2

1

=，所以//,MO ED MO ED =且，