数学建模实验答案_稳定性模型

实验08 稳定性模型（4学时）

（第7章 稳定性模型）

1.（验证）捕鱼业的持续收获 ——产量模型p215~219 产量模型：

()()1x x t F x rx Ex N ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭

其中，

x(t)为t 时刻渔场中的鱼量。

r 是固有增长率。

N 是环境容许的最大鱼量。

E 是捕捞强度，即单位时间捕捞率。

要求：

运行下面的m 文件，并把相应结果填空，即填入“_________”。

符号简化函数simple，变量替换函数sub的用法见提示。★给出填空后的M文件（见[215~217]）：

2.（验证、编程）种群的相互竞争P222~228 模型：

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧--=--=∙∙)1()()1()(2211222222111111N x N x x r t x N x N x x r t x σσ 其中，

x 1(t ), x 2(t )分别是甲乙两个种群的数量。

r 1, r 2是它们的固有增长率。

N 1, N 2是它们的最大容量。

σ1：单位数量乙（相对N 2）消耗的供养甲的食物量为单位数量甲（相对N 1）消耗的供养甲的食物量的σ1倍。对σ2可作相应解释。

2.1（编程）稳定性分析p224~225

要求：

补充如下指出的程序段，然后运行该m 文件，对照教材上的相应结果。

2.2（验证、编程）计算与验证p227

微分方程组

1211111212222212121212()(1)()(1)0.5, 1.6, 2.5, 1.8, 1.6, 1

x x x t r x N N x x x t r x N N r r N N σσσσ∙∙⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩

====== (1)（验证）当x 1(0)=x 2(0)=0.1时，求微分方程的数值解，将解的数值分别画出x 1(t )和x 2(t )的曲线，它们同在一个图形窗口中。

程序：

☆(2) （验证）将x1(0)=1, x2(0)=2代入(1)中的程序并运行。给出

(3)（编程）在同一图形窗口内，画(1)和(2)的相轨线，相轨线是以x1(t)为横

x2(t)为纵坐标所得到的一条曲线。具体要求参照下图。

坐标，

3.（编程）种群的相互依存——稳定性分析P228~229

模型：

12111112122222

12()(1)()(1)

x x x t r x N N x x x t r x N N σσ∙

∙

⎧=-+⎪⎪

⎨⎪=-+-⎪⎩

其中，

x1(t), x2(t)分别是甲乙两个种群的数量。

r1, r2是它们的固有增长率。

N1, N2是它们的最大容量。

σ1：单位数量乙（相对N2）提供的供养甲的食物量为单位数量甲（相对N1）消耗的供养甲的食物量的σ1倍。对σ2可作相应解释。

要求：

☆修改题2.1的程序，求模型的平衡点及稳定性。给出程序及其运行结果（比较[229]表1，注：只要最终结果）：

4.（验证）食饵-捕食者模型p230~232

模型的方程：

00

()(0)()

(0)x t rx axy x x y t dy bxy y y =-=⎧⎨

=-+=⎩

要求：

设r =1，d =0.5，a =0.1，b =0.02，x 0=25，y 0=2。输入p231的程序并运行，结果与教材p232的图1和图2比较。

☆ 给出2个M 文件（见[231]）和程序运行后输出的图形（比较[232]图1、2）：

函数M 文件：

命令M 文件：

x (t ), y (t )图形：

相轨线y (x )图形：

5.（验证）差分形式的阻滞增长模型p236~242

阻滞增长模型用微分方程描述为：

)1()(N

x rx t x -

=∙

也可用差分方程描述为：

1(1),0,1,2,k

k k k y y y r y k N

+-=-

=

上式可简化为一阶非线性差分方程：

1(1),0,1,2,

k k k x b x x k +=-=

考察给定b 和x 0值后，当k → ∞时，x k 的收敛情况（实际上取k 足够大就可以了）。

5.1 数值解法和图解法p238~240

(1) 取x 0=0.2，分别取b = 1.7, 2.6, 3.3, 3.45, 3.55, 3.57，对方程

1(1),0,1,2,

k k k x b x x k +=-=

计算出x 1 ~ x 100的值，显示x 81 ~ x 100的值。观察收敛与否。（结果与教材p238~239表1比较）

下面是计算程序，在两处下划线的位置填入满足要求的内容。

★(1) 对程序正确填空，然后运行。

填入的正确语句和程序的运行结果（对应不同的b 值）见[238]表1：

(2) 运行以下程序，观察显示的图形，与题(1)的数据对照，注意收敛的倍周期。

5.2 b值下的收敛图形p238~240 下面程序是在不同b值下的收敛图形。

要求：

①运行以上程序。

②在运行结果的图形中，从对应的b值上的“点数”判断倍周期收敛。提示：放大图形。

5.3 收敛、分岔和混沌p240~242

画出教材p241图4 模型的收敛、分岔和混沌。