习题详解-第2章 极限与连续

习题2-1
1. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限：
(1) 1
n n
x n =
+ ;
(2) 2(1)n n x =--；
(3) 13(1)n n x n =+-； (4) 2
1
1n x n =
-. 解：(1) 此数列为12341
234,,,,,,2
3451
n n x x x x x n ==
===+ 所以lim 1n n x →∞=。

(2) 12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====-- 所以原数列极限不存在。

(3) 12341111
31,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n
=-=+=-=+=+- 所以lim 3n n x →∞
=。

(4) 123421111
11,1,1,1,,1,4916n x x x x x n
=-=
-=-=-=- 所以lim 1n n x →∞=-
2.下列说法是否正确：
(1)收敛数列一定有界 ; (2)有界数列一定收敛； (3)无界数列一定发散；
(4)极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：(1) 正确。

(2) 错误 例如数列{}
(-1)n
有界，但它不收敛。

(3) 正确。

(4) 错误 例如数列21(1)
n
n x n ⎧⎫
=+-⎨⎬⎩
⎭
极限为1，极限大于零，但是11x =-小于零。

*
3.用数列极限的精确定义证明下列极限：
(1) 1
(1)lim
1n n n n
-→∞+-=;
(2) 22
2
lim 11
n n n n →∞-=++； (3) 3
2
3125lim
-=-+∞→n n n
证：(1) 对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--=
-=<，只要1
n ε
>即可，所以可取正整数1
N ε
≥
.
因此，0ε∀>，1N ε⎡⎤
∃=⎢⎥⎣⎦
，当n N >时，总有
1(1)1n n n ε-+--<，所以
1
(1)lim 1n n n n
-→∞+-=.
(2) 对于任给的正数ε，当3n >时，
要使222222332211111n n n n n x n n n n n n n n n ε---+-=-==<<<+++++++，只要2
n ε>即可，所
以可取正整数2max ,3N ε⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭
.
因此，0ε∀>，2max ,3N ε⎧⎫
∃=⎨⎬⎩⎭
，当n N >时，总有22
211n n n ε--<++，所以
222
lim 11
n n n n →∞-=++. (3) 对于任给的正数ε，要使25221762
()()1
31333(31)313
n n x n n n n ε+--=--=<=<----，
只要123n ε
->即可，所以可取正整数21
3N ε≥+.
因此，0ε∀>，213N ε⎡⎤
∃=+⎢⎥⎣⎦
，当n N >时，总有
522()133n n ε+--<-，所以
3
2
3125lim
-=-+∞→n n n .
习题2-2 1. 利用函数图像，观察变化趋势，写出下列极限： (1) 2
1lim
x x →∞ ;
(2) -lim x
x e →∞
；
(3) +lim x
x e
-→∞
；
(4) +lim cot x arc x →∞
;
(5) lim 2x →∞
;
(6) 2
-2
lim(1)x x →+；
(7) 1
lim(ln 1)x x →+；
(8) lim(cos 1)x x π
→-
解：(1) 2
1
lim
0x x →∞= ;
(2) -lim 0x
x e →∞
=；
(3) +lim 0x
x e
-→∞
=；
(4) +lim cot 0x arc x →∞
=;
(5) lim 22x →∞
= ;
(6) 2
-2
lim(1)5x x →+=；
(7) 1
lim(ln 1)1x x →+=；
(8) lim(cos 1)2x x π
→-=-
2. 函数()f x 在点x 0处有定义，是当0x x →时()f x 有极限的( D )
(A ) 必要条件 (B ) 充分条件 (C ) 充要条件 (D ) 无关条件
解：由函数极限的定义可知，研究()f x 当0x x →的极限时，我们关心的是x 无限趋近x 0时()f x 的变化趋势，而不关心()f x 在0x x =处有无定义，大小如何。

3. ()00f x -与()00f x +都存在是函数()f x 在点x 0处有极限的( A ) (A ) 必要条件 (B ) 充分条件 (C ) 充要条件
(D ) 无关条件
解：若函数()f x 在点x 0处有极限则()00f x -与()00f x +一定都存在。

4． 设()21;0,
;0,x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩
作出()f x 的图像；求()0lim x f x +→与()0lim x f x -→；
判别()0lim x f x →是否存在?
解：()0
lim lim 0x x f x x ++→→==，()200lim lim(1)1x x f x x --
→→=+=，故()0
lim x f x →不存在。

5．设()x
f x x
=
,()x x x ϕ=,当0x →时，分别求()f x 与()x ϕ的左、右极限，问()0lim x f x →与()0
lim x x ϕ→是否存在?
解：由题意可知()1;0,
1;0,x f x x <⎧=⎨>⎩
，则()00lim lim11x x f x ++→→==，()00lim lim11x x f x --→→==，因此
()0
lim 1x f x →=。

由题意可知()1;0,
1;0,x x x ϕ-<⎧=⎨>⎩
，()00lim lim11x x x ϕ++→→==，()00lim lim(1)1x x x ϕ--→→=-=-，因此
()0
lim x x ϕ→不存在。

*
6.用极限的精确定义证明下列极限：
(1) 1lim
11
x x
x →∞-=-+;
(2) 2-11
lim
-2+1
x x x →-=； (3) 0
1
lim sin
0x x x
→=. 证：(1) 0ε∀>，要使()122(1)1111x f x x x x ε---=
+=≤<++-，只要2
1x ε
>+即可.
所以，2
1X ε
∃=
+,当x X >时，都有()(1)f x ε--<，故1lim
11
x x
x →∞-=-+.
(2) 对于任给的正数ε，要使()22121
2111
x x x f x A x x x ε-++-=+==+<++,只要
1x ε+<. 所以0ε∀>， δε∃=, 当01x δ<+<时，都有不等式
21
(2)1
x x ε---<+成立.故2-11
lim
-2+1
x x x →-=. (3) 对于任给的正数ε，要使()1
sin 0f
x A x x x
ε-
=-≤<,只要x ε<.所以
0ε∀>， δε∃=, 当0x δ<<时，都有不等式1sin 0x x
ε-<成立.故0
1lim sin 0x x x
→=.
习题2-3
1．下列函数在什么情况下为无穷小?在什么情况下为无穷大? (1)
21x x +-; (2)ln x ; (3)21
x x
+． 解：(1) 因为22lim
01x x x →-+=-，故2x →-时
2
1
x x +-为无穷小， 因为12lim
1x x x →+=∞-，故1x →时
2
1
x x +-为无穷大。

(2) 因为1
limln 0x x →=，故1x →时ln x 为无穷小，
因为0lim ln x x +
→=-∞，lim ln x x →+∞
=+∞，故0x +
→和x →+∞时ln x 都为无穷大。

(3) 因为211lim 0x x x →-+=，22111lim lim()0
x x x x x x →∞→∞+=+=，故1x →-和x →∞时2
1
x x +为无穷小， 因为201lim
x x x →+=∞，故0x →时21
x x
+为无穷大。

2．求下列函数的极限：
(1) 2
01lim sin x x x →; (2)tan lim x arc x x →∞; (3)2
cos lim n n n
→∞.
解：(1) 因为(),0(0,)x ∀∈-∞+∞ ，1sin
1x
≤，且20lim 0x x →=，故得201
lim sin 0x x x →=.
(2) 因为(),0(0,)x ∀∈-∞+∞ ，arctan 2
x π
<
，且1l
i m 0x x →∞=，故得tan lim 0x arc x
x
→∞=.
(3) 因为2
cos 1n ≤，且1lim 0n n →∞=，故得2
cos lim 0n n n
→∞=.
习题2-4
1. 下列运算正确吗?为什么?
(1) 0000111lim cos lim lim cos 0lim cos 0x x x x x x x x x →→→→⎛
⎫=⋅=⋅= ⎪⎝
⎭;
(2)()
2
2
111
lim lim
1lim 1x x x x x x x →→→==∞--. 解：(1) 不正确，因为01
limcos x x →不存在，所以此时极限的四则运算法则失效。

正确做法是：因为1cos
1x
≤，且0lim 0x x →=，故得01
lim cos 0x x x →=.
(2) 不正确，因为()1
lim 10x x →-=，不能做分母，所以此时极限的四则运算法则失效。

正确做法是：因为211lim 0x x x →-=，由无穷小与无穷大的关系可知2
1lim 1x x x
→=∞-.
2. 求下列极限：
(1)
()()()2030
503123lim 71x x x x →∞
-++； （2） 11
23lim 23n n n n
n ++→∞++；
（3）()
3
3
lim
h x h x h
→+-;
(4) 211
2lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝
⎭; (5) 322lim 2121x x x x x →∞⎛⎫
- ⎪-+⎝⎭
; （6）()23arccot lim 5x x x x x x →∞---; (7) 111
1393lim 1111242n
n →∞++++++++ ; (8)123lim 22n n n n →∞++++⎛⎫- ⎪+⎝⎭ ; (9) ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--→)1(21ln lim 21x x x . 解：(1)
()()()
2030
2030
20305050501332312332lim lim 77117x x x x x x x x →∞
→∞⎛
⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭==+⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭； （2） 111
22
32()32333lim lim lim 32223()11
33n n n n n
n n
n
n n n n
n
+++→∞→∞→∞+++===+++； （3）()
3
3
22
220
0033lim
lim lim(33)3h h h x h x x h xh x xh x h
h
→→→+-+==+=;
(4)
2
22
111
122111 lim lim lim
11(1)(1)12 x x x
x x
x x x x x
→→→
-+
⎛⎫
-=== ⎪
----+⎝⎭
;
(5)
3232
22
2
1
1
1 lim lim lim
11 2121(21)(21)4
(2)(2)
x x x
x x x x x
x x x x
x x
→∞→∞→∞
+⎛⎫+
-=== ⎪
-+-+
⎝⎭-+
;
（6）
()
2
3
arccot
lim
5
x
x x x
x x
→∞
-
--
; 因为arccot xπ
<，且2
3
2
11
lim lim0
15
51
x x
x x x x
x x
x x
→∞→∞
-
-
==
----
，所
以
()
2
3
arccot
lim0
5
x
x x x
x x
→∞
-
=
--
(7)
1
1
11
1
1()
3
11111
111()
33
39333
lim lim lim
44
11()1()
24222
1
1
2
n
n
n
n n n
n n
n
+
+
→∞→∞→∞
++
-
++++--
===
++++--
-
;
(8)
(1)
1231
2
lim lim lim
22222(2)2
n n n
n n
n n n n
n n n
→∞→∞→∞
+
⎛⎫
⎪
++++-
⎛⎫
-=-==-
⎪
⎪
+++
⎝⎭ ⎪
⎝⎭
;
(9)
22
111
111
limln ln[lim]ln[lim]ln10
2(1)2(1)2
x x x
x x x
x x
→→→
⎡⎤
--+
====
⎢⎥
--
⎣⎦
.
3.已知
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≥
+
-
+
<
-
=
,
1
1
3
,1
)
(
3
2
x
x
x
x
x
x
x
f, 求).
(
lim
),
(
lim
),
(
lim
x
f
x
f
x
f
x
x
x-∞
→
+∞
→
→
解：因为
2
3
00
31
lim()lim1
1
x x
x x
f x
x
++
→→
+-
==-
+
，
00
lim()lim(1)1
x x
f x x
--
→→
=-=-，所以
lim()1
x
f x
→
=-，2
3
31
lim()lim0
1
x x
x x
f x
x
→+∞→+∞
+-
==
+
，lim()lim(1)
x x
f x x
→-∞→-∞
=-=-∞。

习题2-5
1.求下列函数的极限：
(1)2
2
lim sin
2
n
n
R
n
π
→∞
; (2)
sin
lim
x
x
x
ππ
→-
;
(3)
arctan3
lim
sin2
x
x
x
→
; （4
）
lim
x+
→
;
(5)
1cos4
lim
sin
x
x
x x
→
-
; (6)
()
2
1
sin1
lim
1
x
x
x
→
-
-
.
解：(1)22
22sin
2lim sin lim 2n n n n R R R n n
π
π
πππ
→∞→∞
==;
(2)sin sin()
lim
lim 1x x x x x x
πππππ→→-==--;
(3)00arctan3arctan3233
lim lim sin 23sin 222
x x x x x x x x x x →→==;
（4
）0
2
lim lim lim 2
x x x x
x
+
+
+
→→→===(5)222
000sin 28
1cos 42sin 2(2)lim
lim lim 8sin sin sin x x x x x x x x x x
x x x
→→→-===;
(6)()()
()21
1
sin 1sin 11lim
lim
1
1(1)
2
x x x x x x x →→--==
--+. 2. 求下列函数的极限: (1)-3
lim 1x x x x →∞⎛⎫ ⎪+⎝⎭
; (2)21lim 21x
x x x →∞+⎛⎫
⎪-⎝⎭
; (3) ()cot 0
lim 12tan x
x x +
→+;
(4)()
3sec 2
lim 1cos x
x x π
→
+.
解：(1)-3
3-3
3
111111lim lim lim 11lim 1lim 11x x
x
x
x x x x x x x e x x x x x x ---→∞→∞
→∞→∞→∞+⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
==++=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪+⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭;
(2)21(21)11lim lim lim(1)lim(1)21(21)22x x
x x x x x x x x x x x x x -→∞→∞→∞→∞++⎛⎫
==+- ⎪--⎝⎭
11
22()22
11lim(1)lim(1)22x x x x e x x
⨯-⨯-→∞→∞=+-=; (3) ()()2cot 22tan 0
lim 12tan lim 12tan x
x
x x x x e +
+
→→+=+=;
(4)()()
3
3sec 3cos 2
2
lim 1cos lim 1cos x
x
x x x x e π
π
→
→
+=+=.
习题2-6
1. 当0→x 时，22x x -与23x x -相比，哪个是高阶无穷小量？
解：因为232
200lim lim 022x x x x x x x x x
→→--==--，所以23x x -比22x x -高价。

2. 当1x →时，无穷小量1x -与（1）31x -；（2）
()21
12
x -是否同阶？是否等价？ 解：因为32111(1)(1)
lim lim 311x x x x x x x x
→→--++==--，所以1x -与31x -是同阶无穷小，
因为21111(1)(1)(1)22lim lim 111x x x x x x x →→--+==--，故无穷小量1x -与 ()
2112
x -是等价无穷小。

3. 利用等价无穷小，求下列极限:
(1)0lim x → (2)20cos cos lim x ax bx
x →-；
（3）2arctan lim sin arcsin 2
x x x
x →0； （4）
x →0 （5） 221cos 4lim 2sin tan x x
x x x →0-+； （6） ()
222ln sin e lim ln(e )2x x x x x x x
→0+-+-.
解：
(1)0
lim lim x x +
→→==;
(2)222
220002sin
sin 2
cos cos 2222lim
lim
lim 2
x x x ax bx ax bx ax bx ax bx
ax bx
b a x x x →→→+-+-----===；
（3）22
arctan lim
lim 2sin arcsin 22
x x x x x
x x x →0→0==； （4）
lim lim 1ln(1)x x x x x x x
→0→0→0===---； （5） 2
2
222221cos 488lim
lim lim 42sin tan 2sin (2)
cos x x x x x x x x x x x x x
→0→0
→0-===++
； （6） ()()22222222222sin e ln ln sin e ln sin e ln e lim
lim lim e ln(e )2ln(e )ln ln()
e
x x x x x x
x x x x x x x x x x x e x x x x e →0→0→0⎛⎫+
⎪+-+-⎝⎭==++-+-
222222sin sin ln 1e e lim lim lim e 1ln(1)
e e x x x x x x x x
x x x x
→0→0→0⎛⎫+ ⎪
⎝⎭====+. 习题2-7
1.研究下列函数的连续性，并画出图形：
（1） 2,01,
()2,12;
x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<<⎩
（2） ,1,
()1,1;x x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩
（3）221()lim
1n
n
n x f x x x →∞-=+. 解：（1）()f x 在区间(0,1)和(1,2)是初等函数，因此在区间(0,1)和(1,2)()f x 是连续函数，
因为2
lim ()lim 0(0)x x f x x f ++
→→===，所以()f x 在点0x =右连续， 因为21
1
lim ()lim 1x x f x x --
→→==，1
1
lim ()lim(2)1x x f x x ++→→=-=，且(1)1f =，所以()f x 在点1x =连续，
综上所述，()f x 在区间[0,2)是连续函数。

（2）()f x 在区间(,1)-∞-，(1,1)-和(1,)+∞是初等函数，因此在(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞ 上()f x 是连续函数，
因为1
1
lim ()lim11x x f x ++→→==，1
1
lim ()lim 1x x f x x --
→→==，且(1)1f =，所以()f x 在点1x =连续，
因为1
1
lim ()lim 1x x f x x ++→-→-==-，1
1
lim ()lim 11x x f x --→-→-==，所以()f x 在点1x =-间断，
综上所述，()f x 在区间(,1)(1,)-∞--+∞ 是连续函数，在点1x =-间断。

（3）由题意知(1)0f =，(1)0f -=，当1x <时，221()lim
1n
n
n x f x x x x →∞-==+， 当1x >时，2222111()lim
lim 11n
n n
n n n x x f x x x x x x
→∞→∞--===-++，因此 1() 0 1 1x x f x x x x ⎧<⎪
==⎨⎪->⎩，
()f x 在区间(,1-∞-，(1,1)-和(1,)+∞是初等函数，因此在(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞ 上()f x 是连续函数，
因为1
1
lim ()lim()1x x f x x ++→→=-=-，1
1
lim ()lim 1x x f x x --
→→==，所以()f x 在点1x =间断， 因为1
1
lim ()lim 1x x f x x ++→-→-==-，1
1
lim ()lim ()1x x f x x --→-→-=-=，所以()f x 在点1x =-间
断，
综上所述，()f x 在(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞ 上连续，在点1x =±间断。

2. 求下列函数的间断点，并判断其类型.如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义，
使其在该点连续：
(1) 2
1cos2x y x -=
; (2) 1
arctan y x
=; (3) 1x
y e -=；
（4）221
32
x y x x -=-+；
(5) 2tan x
y x
=;
(6) ()sin ,0,0,0;x
x x f x x ⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩
解：(1) 2
1cos2x
y x -=
在0x =无定义，因此0x =为函数的间断点， 又因为2
22001cos 22lim lim 2x x x x x x →→-==，所以0x =为函数的可去间断点，补充定义(0)2f =，原函数就成为连续函数。

(2) 1
arctan y x =在0x =无定义，因此0x =为函数的间断点，
由0
1lim x x +
→=+∞，可得01lim arctan 2x x π+→=，由01lim x x -→=-∞，可得01lim arctan 2
x x π
-→=-，
所以0x =为函数的跳跃间断点。

(3) 1
x
y e -=在0x =无定义，因此0x =为函数的间断点，
由01lim x x +
→=+∞，可得10lim 0x x e +-→=，由01
lim x x
-→=-∞，可得10lim x x e --→=+∞，所以0x =为函数的无穷间断点。

（4）221(1)(1)
32(1)(2)
x x x y x x x x --+==
-+--在1,2x x ==无定义，因此1,2x x ==为函数的间断点，
因为22
1111
lim lim 2322x x x x x x x →→-+==--+-，所以1x =为函数的可去间断点，补充定义(1)2f =-，原函数就成为连续函数，
因为22
21
lim 32
x x x x →-=∞-+，所以2x =为函数的无穷间断点。

(5) 2tan x
y x =在0x =，()2x k k Z ππ=+∈无定义，因此0x =和()2
x k k Z ππ=+∈都为函数的间断点，
因为02tan lim
2x x
x
→=，所以0x =为函数的可去间断点，补充定义(0)2f =，原函数就
成为连续函数，
因为2
2tan lim
x k x
x
π
π→+
=∞，所以()2x k k Z ππ=+∈为函数的无穷间断点。

(6) 因为0
sin lim 1x x x +
→=，0sin lim 1x x
x
-→=--，所以0x =为函数的跳跃间断点。

3. 在下列函数中，当a 取什么值时函数()f x 在其定义域内连续? (1) ()29
,3,3,3;x x f x x a x ⎧-≠⎪
=-⎨⎪=⎩
(2) (),0,,0.x e x f x x a x ⎧<=⎨-≥⎩
解：(1) ()f x 在3x ≠是连续函数，因此()f x 只要在3x =时连续，就在其定义域内连
续。

因为2339(3)(3)
lim
lim 633
x x x x x x x →→--+==--，(3)f a =，所以只要6a =，()f x 就在其定义域内连续。

(2) ()f x 在区间(,0)(0,)-∞+∞ 是连续函数，因此()f x 只要在0x =时连续，就在
其定义域内连续。

因为0
lim ()lim ()x x f x x a a ++→→=-=-，00
lim ()lim 1x
x x f x e --
→→==(0)f a =-，所以只要1a =-，()f x 就在其定义域内连续。

4. 求下列函数的极限： (1)()lim ln ln x x x a x →∞
+-⎡⎤⎣⎦;
(2)2x
(3)0x →
(4) x →;
(5) lim cosarccot x x →+∞
;
(6) ()()
ln 1ln 1lim
x x x x
→+--.
解：(1)()lim ln ln lim ln
lim ln(1)lim x x x x x a a a
x x a x x x x a x x x
→∞
→∞
→∞→∞++-==+==⎡⎤⎣⎦;
(2)2
2
11
2342x x --==;
(3)2
00011
2lim lim 244
x x x x x x x →→→++===;
(4) 0tan lim
2tan 2
x x x
x →→==--;
(5) lim cosarccot cos lim arccot cos01x x x x →+∞
→+∞
===;
(6) ()()
()()0
ln 1ln 1ln 1ln 1lim
lim
lim
2x x x x x x x x
x
x
→→→+--+-=-=.
5. 证明方程2
2x x
=在)1,1(-内必有实根.
证明：设()22x f x x =-. 因为函数()f x 在闭区间[]1,1-上连续，又有
()()1
1,112
f f -=-=, 故()()110f f -⋅<.
根据零点存在定理知，至少存在一点()1,1ξ∈-，使()0f ξ=, 即
220ξξ-=．
因此，方程22x x =在()1,1-内至少有一个实根ξ.
6. 证明方程sin x a x b =+至少有一个正根，并且它不大于a b + (0,0)a b >>其中. 证明：设()sin f x x a x b =--. 因为函数()f x 在闭区间[]0,a b +上连续，又有 ()()00,sin()[1sin()]0f b f a b a a a b a a b =-<+=-+=-+>, 故()()00f f a b ⋅+<.
根据零点存在定理知，至少存在一点()0,a b ξ∈+，使()0f ξ=, 即
sin 0a b ξξ--=．
因此，方程sin x a x b =+在()0,a b +内至少有一个实根，即方程sin x a x b =+至少有一个正根，并且它不大于a b + (0,0)a b >>其中。

复习题2
（A ）
1. 单项选择题：
(1) 设()112n
n n x ⎡⎤=
+-⎣
⎦,则
( B )
(A ) {}n x 有界 (B ) {}n x 无界
(C ) {}n x 单调增加 (D ) n →∞时， n x 为无穷大
解：2120,2k k x x k -==，1,2,3,k = ，因此{}n x 无界，但是{}n x 的极限不存在，也不是单调数列，故只有B 选项正确。

(2) 若()f x 在点x 0处的极限存在，则
( C )
(A ) ()0f x 必存在且等于极限值
(B ) ()0f x 存在但不一定等于极限值
(C ) ()0f x 在0x 处的函数值可以不存在
(D ) 如果()0f x 存在，则必等于极限值
解：由函数极限的定义可知，研究()f x 当0x x →的极限时，我们关心的是x 无限趋近x 0时()f x 的变化趋势，而不关心()f x 在0x x =处有无定义，大小如何。

2. 指出下列运算中的错误，并给出正确解法： (1)()()22111
lim
110lim
11lim 10
x x x x x x x →→→--===--; (2)()()22222
lim
113lim
2lim 20
x x x x x x x →→→--===∞--; (3)222221
414lim lim lim 02424x x x x x x x →→→⎛⎫-=-=∞-∞= ⎪----⎝⎭
;
(4)
lim
1
010
x →=
==.
解：(1) 因为()1
lim 10x x →-=，不能做分母，所以此时极限的四则运算法则失效。

正确做法是：因为211
1
lim lim(1)21x x x x x →→-=+=-.
(2) 因为()1
lim 20x x →-=，不能做分母，所以此时极限的四则运算法则失效。

正确做法是：因为212lim 01x x x →-=-，由无穷小与无穷大之间的关系可知221
lim 2x x x →-=∞-.
(3) 因为21lim 2x x →-和224
lim 4
x x →-都不存在，所以此时极限的四则运算法则失效。

正确做法是：222221
4211lim lim lim 24424x x x x x x x x →→→-⎛⎫-=== ⎪---
+⎝⎭. (4) 因为)
lim
10x →=，不能做分母，所以此时极限的四则运算法则失效。

正确做法是：2133
32
x x →→==
. 3. 求下列极限： (1) 3(1)(22)(33)lim
2n n n n n →∞+++； (2) ()132121lim 12n n n n →∞+++-⎡⎤
+-⎢⎥+⎣⎦
; (3)2sin lim
5sin x x x
x x
→∞-+; (4)
)lim
x x →+∞;
(5)
x →;
（6）sin 2lim ln x x x →0; (7)()201lim ln 16x x e x →-+；（8）()0lim 2csc2cot x x x →-; (9)1lim 1x
x x x →∞+⎛⎫
⎪-⎝⎭
;
(10)1lim 1x x →+∞⎛- ⎪⎝
⎭; (11) 3
sin lim(12)x x x →0+;
(12) ()()
01cos lim
1ln 1x x x
e x →--+;
解：(1) 3123
(1)(2)(3)
(1)(22)(33)lim lim 322
n n n n n n n n n →∞→∞++++++==； (2) ()213212121313
lim lim lim 12122(1)2n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞+++-⎡⎤⎡⎤++---=-==-⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣
⎦ ; (3)sin 22sin 2lim lim sin 5sin 5
5x x x
x x x x x x x
→∞→∞-
-==++
;
(4) )
233lim
lim
lim
2
x x x x →+∞
+
===
;
(5) 34
x x x →→→===; （6）sin 22lim ln
lim ln ln 2x x x x
x x
→0
→0==; (7)()200121lim
lim ln 1663
x x x e x x x →→-==+； （8）()200001cos sin sin lim 2csc2cot lim()lim lim 0sin cos sin sin cos cos x x x x x x x x x x x x
x x x →→→→-=-===;
(9); 21
(1)1lim lim 11(1)x
x
x x x
x x e x x
→∞→∞++⎛⎫== ⎪-⎝⎭-;
(10)11lim 1lim 11x x x x -→+∞
→+∞
⎛⎛
⎫-=+= ⎪
⎪-⎝⎭
⎝⎭
;
(11) 3166sin 2sin lim(12)
lim(12)
x x
x x
x x x x e ⋅→0
→0
+=+=;
(12) ()()220011cos 12lim lim 2
1ln 1x x x x
x x e x →→-==-+.
4. 求下列函数的间断点，并判断其类型.如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义，
使其在该点连续：
（1）1,1
3,1x x y x x -≤⎧=⎨
->⎩
;
(2) ()
221x x
y x x -=-.
解：（1）因为1
1
lim ()lim(1)0x x f x x --→→=-=，1
1
lim ()lim(3)2x x f x x ++
→→=-=，所以1x =是函数()f x 的跳跃间断点。

(2) 因为()f x 在0x =，1x =±无定义，因此0x =，1x =±为函数的间断点，
因为()
220001
lim ()lim lim 111x x x x x f x x x x ---→→→--===-+-， ()220001lim ()lim lim 111x x x x x f x x x x +++→→→-===+-，所以0x =是函数()f x 的跳跃间断点； 因为()
2211111
lim ()lim lim 121x x x x x f x x x x →→→-===+-，所以1x =是函数()f x 的可去间断点，
补充定义1
(1)2
f =
，则()f x 在1x =连续； 因为()
221111
lim ()lim lim 11x x x x x f x x x x →-→-→--===∞+-，所以1x =-是函数()f x 的无穷间断
点。

5．设f (x )＝(
)()cos ,0,2
00.x
x x f x x a ⎧≥⎪+⎪=<>
(1) 当a 为何值时，0x =是()f x 的连续点?
(2) 当a 为何值时，0x =是()f x 的间断点?是什么类型的间断点?
解：(1) 因为1(0)2f =
，000lim ()lim lim x x x f x ---→→→===
cos 1
lim ()lim 22
x x x f x x ++
→→==+，所以当2a =时，0x =是()f x 的连续点。

(2) 当2a ≠时，0x =是()f x 的跳跃间断点。

6. 试证方程21x x ⋅=至少有一个小于1的正根.
解：设()21x f x x =-. 因为函数()f x 在闭区间[]0,1上连续，又有
()()01,11f f =-=, 故()(0)10f f ⋅<.
根据零点存在定理知，至少存在一点()0,1ξ∈，使()0f ξ=, 即
210ξξ-=．
因此，方程21x x =在()0,1内至少有一个实根ξ.
（B ）
1. 讨论极限110
12lim
12
x x x
→-+是否存在？
解：由0
1lim x x
+
→=+∞，可得10lim 2x
x +→=∞，故1111001221
lim lim 11221
x
x
x x x x ++
-
→→---==-++ 由0
1lim x x
-
→=-∞，可得1
0lim 20x
x -→=，故11
012
lim 112x
x x
+→-=+ 所以0x =为函数的跳跃间断点。

2. 求下列极限.
(1) lim
ln 1
x e x e
x →--；
(2) 0x →;
(3) 22lim sin 1x x
x x
→∞+; (4) 20lim lim cos cos cos 222n x n x x x →→∞⎛
⎫ ⎪⎝
⎭ .
解：(1) 令ln x u =，则111(1)
lim
lim lim ln 111
u u x e u u x e e e e e e x u u -→→→---===---；
(2) 00x x →→= 220011cos 11cos
lim lim 224
x x x x x x →→-
-===-; (3) 2222lim sin lim 211x x x x
x x x x
→∞→∞=⋅=++; (4) 因为21
sin sin 2lim cos cos cos lim 222sin 2
n n n n n
x x x x x
x x →∞→∞==
， 所以200sin lim lim cos cos cos lim 1222n x n x x x x x x →→∞→⎛
⎫== ⎪⎝⎭
.
3．问a ,b 为何值时，()0sin lim cos 2x
x x
b x a e →-=-.
解：因为()0sin lim cos 2x x x
b x a e →-=-且()0limsin cos 0x x b x →-=。

所以0
lim()0x x a e →-=，由此式可解得1a =，
所以()()00
sin lim cos lim cos =21x x x x
b x x b e →→-=--，由此式可解得1b =-.
4．问a 为何值时，函数21,()2,x x a f x x a x ⎧+≤⎪
=⎨>⎪⎩
连续.
解：因为()f x 在(,)(,)(,)a a a a -∞--+∞ 是初等函数，因此只要()f x 在x a =±连续，()f x 就是连续函数。

由2
()1f a a =+，2
2
lim ()lim(1)1x a
x a
f x x a --→→=+=+，22
lim ()lim x a x a
f x x a
++
→→==，由22
1a a
+=
可解得1a =时，所以当1a =时()f x 是连续函数。

5．函数sin(1)
()(1)(2)
x x f x x x x -=--在下列区间有界的是 ( A ).
A . ()0,1；
B . ()1,2 ；
C . ()0,2 ；
D . ()2,3 .
解：用排除法，因为2
2
sin(1)1
lim
lim
(1)(2)
2
x x x x x x x x →→-==∞---，所以()f x 在()1,2，()0,2，()2,3都无界。

6. 函数3()sin x x
f x x
π-=的可去间断点的个数为( C ).
A . 1；
B . 2；
C . 3；
D . 无穷多个.
解：,x k k Z =∈是()f x 的间断点，
因为320011lim lim sin x x x x x x πππ→→---==，322111(1)(1)2
lim lim lim sin sin()(1)x x x x x x x x x x x x πππππ
→→→----===
--， 322111(1)(1)2
lim lim lim sin sin()(1)x x x x x x x x x x x x πππππ→-→-→-----===
++，所以0,1,1x x x ==-=是可去间断点，在0,1k ≠±时，x k =是无穷间断点。

7. 函数21()lim 1n
x x
f x x →∞+=+的间断点情况是 ( B ).
A . 不存在间断点；
B . 存在间断点1x =；
C . 存在间断点0x =；
D . 存在间断点1x =-.
解：由题意知(1)1f =，(1)0f -=，当1x <时，21()lim
11n
n x
f x x x →∞+==++，
当1x >时，21()lim 01n n x f x x →∞+==+，因此1, 11, 1
()0, 10, 1x x x f x x x ⎧+<⎪
=⎪=⎨=-⎪
⎪>⎩
， ()f x 在区间(,1-∞-，(1,1)-和(1,)+∞是初等函数，因此在(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞ 上()f x 是连续函数，
因为1
lim ()0x f x +→=，1
1
lim ()lim(1)2x x f x x --
→→=+=，所以()f x 在点1x =间断， 因为1
1
lim ()lim (1)0x x f x x ++→-→-=+=，1
lim ()0x f x -→-=，且(1)0f -=， 所以()f x 在点
1x =-连续，
综上所述，()f x 只在点1x =间断。

8. 设0<a <b , 求极限1lim()n
n n
n a
b --→∞
+.
解：用夹逼定理，因为0a b <<，所以
11
0a b
>>， 则11111112n
n n
n
n
n
n
a a
b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+<⋅ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 又因为111lim n
n
n a a →∞⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭，11111lim 2lim 2n
n
n n n a a a →∞→∞⎛⎫⎛⎫⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以11lim()n n
n n a b a --→∞+= 9. 试确定,,a b c 的值，使得
23(1)1()x e ax bx cx o x ++=++.
其中3
()o x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小.
解：此题用第四章的洛必达法则解
由题意可知230(1)(1)
lim 0x x e ax bx cx x
→++-+= 由洛必达法则可知
223200(1)(1)(1)(2)lim lim 3x x x x x e ax bx cx e ax bx e a bx c x x
→→++-+++++-= 因为20
lim30x x →=，所以20
lim[(1)(2)]10x x
x e ax bx e a bx c a c →++++-=+-=，
继续应用洛必达法则得
22200(1)(2)(1)2(2)2lim lim 036x x x x x x x e ax bx e a bx c e ax bx e a bx be x x
→→++++-+++++==因为0
lim 60x x →=，所以20
lim[(1)2(2)2]1220x x x
x e ax bx e a bx be a b →+++++=++=，
继续应用洛必达法则得
2200(1)2(2)2(1)3(2)6lim lim 066
x x x x x x x x e ax bx e a bx be e ax bx e a bx be x →→++++-+++++==所以20
lim[(1)3(2)6]1360x x x
x e ax bx e a bx be a b →+++++=++=，
解方程组1012201360a c a b a b +-=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩， 可得231613a b c ⎧=-⎪⎪
⎪=⎨⎪
⎪
=⎪⎩
.
10. 设函数)(x f 在区间[],a b 上连续, 且
b b f a a f ><)(,)(
证明: 存在),(b a ∈ξ, 使得 .)(ξξ=f
证明: 设()()g x f x x =-，则()g x 在区间[],a b 上连续，且()()0g a f a a =-<，
()()0g b f b b =->，由零点存在定理可知存在),(b a ∈ξ，使()()0g f ξξξ=-=，
即.)(ξξ=f
11. 证明方程
03
1
2111=-+-+-x x x 有分别包含于()1,2, ()2,3内的两个实根.
解：原方程可化为
111(2)(3)(1)(3)(1)(2)123(1)(2)(3)
x x x x x x x x x x x x --+--+--++=------ 令()(2)(3)(1)(3)(1)(2)f x x x x x x x =--+--+--，则)(x f 在[1,2]，[2,3]都是连续函数，且(1)20,(2)10,(3)20f f f =>=-<=>，由零点存在定理可知存在1(1,2)ξ∈，
2(2,3)ξ∈使得12()0,()0f f ξξ==，
所以方程
03
1
2111=-+-+-x x x 有分别包含于()1,2, ()2,3内的两个实根。

12. 设 )(x f 在 ),[+∞a 上连续, ,0)(>a f 且 ,0)(lim <=+∞
→A x f x
证明: 在),[+∞a 上至少有一点ξ, 使 .0)(=ξf
证明: 因为,0)(lim <=+∞
→A x f x 由极限的保号性可知，存在0X >，当x X >时有
()0f x <，取区间[,1]a X +，则)(x f 在区间[,1]a X +连续且,0)(>a f (1)0f X +<，
由零点存在定理可知存在[,1][,)a X a ξ∈+⊂+∞，使 .0)(=ξf。