矩阵在经济领域中的应用

下面给出一些特殊矩阵： （1）行矩阵：m=1 A (a1 , a2 , , an ) ；
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矩阵在经济领域中的应用
（2）列矩阵：n=1 A (a1 , a2 , , am )T ； （3）零矩阵 A (0) mn (不同型的零矩阵是不同的 )； （4）方阵 m=n A (aij ) nn ，称为 n 阶方阵；
1 0 0 1 0 0 0 0 1 2 . （5）单位矩阵 En ；对角矩阵 0 0 0 0 1 0 0 n
2.2 矩阵的基本运算
2.2.1 矩阵加法 定义: 设有两个 m×n 矩阵 A (aij ) mn , B (bij ) mn ，矩阵
a1 x b1 y c1 z d1 a2 x b2 y c2 z d 2 a3 x b3 y c3 z d3
我们可以构成一个增广矩阵：
a1 a 2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
d1 d2 d3
因为这些数字是有规则地排列在一起，形状像矩形，所以数学家们称之为矩阵。 矩阵在数学建模中也被广泛的使用，如在数学规划模型，线性代数模型、微分 方程模型、数学拟合等中都要用到矩阵。矩阵是一个数表，可以对表中的数据运用 代数的方法进行运算和变换，它可以把复杂和抽象的实际问题进行简化，这样便有 利于我们看清实际问题的本质，所以在解决实际问题时使用矩阵往往会起到事半功 倍的效果。为此，本文主要对矩阵在经济模型中的应用进行分析和研究，并通过案 例加以说明。
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矩阵在经济领域中的应用
西安电子科技大学 矩阵论大作业
论文题目：矩阵在经济领域中的应用
所在院系 姓名 学号 指导教师 结课时间
数学与统计学院 古国宝 07121001 尹小艳 2014 年 10 月 31 日
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矩阵在经济领域中的应用
论文摘要
在社会科学中，数学的首要应用领域无疑是经济学领域。经济学在上世纪的飞 速发展无疑与其对数学模型和数学工具的广泛和深入的应用有密切的关系。矩阵是 数学中最重要的概念之一，也是一种重要的数学工具，它广泛地应用于自然和社会 科学的各个分支。本文侧重点在于研究矩阵在经济领域中的一些应用，开篇首先介 绍了矩阵的一些基本概念、分类及性质，给出了它的加减法、数乘、方阵的行列式、 矩阵的求逆和分块等运算方法和运算规律，以方便读者对后续知识的理解；紧接着 通过查阅相关文献资料给出了一些典型的跟矩阵相关的经济学背景和模型；最后再 给出具体的经济学实例借以说明矩阵这一线性代数工具的实用价值。
2.矩阵相乘： 定义: 设是 A 一个 m s 矩阵，B 是一个 s n 矩阵，记矩阵 A 与 B 的乘积
【关键词】 矩阵、运算规律、经济领域、数学模型、应用
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矩阵在经济领域中的应用
【Abstract】In the social sciences, the primary applications of mathematics is undoubtedly in economics. There is no doubt that the rapid development of economics in the last century has a close relationship with its breadth and depth of application of mathematical models and mathematical tools. Matrix is one of the most important mathematical concepts and it is also an important mathematical tool and it is widely used in various branches of the natural and social sciences. In this paper, the focus is on some matrix applications research in the economic. In order to facilitate the reader's understanding of the subsequent knowledge, the opening introduces some basic concepts of the matrix, classification and properties and its addition and subtraction, multiplication, square determinant, matrix inversion and sub-blocks and other operational methods and calculation rules, followed by some typical background in economics and models associated with the matrixa through a review of the relevant literature. And finally in order to illustrate the practical value of this matrix linear algebra tools,this paper also gives a specific economics examples. 【Keywords】 Matrix， computation rule, the economy, mathematical model, application
a11 b11 a21 b21 a b m1 m1 a12 b12 a22 b22 am 2 bm 2 a1n b1n a2 n b2 n A B amn bmn
称为矩阵 A 与 B 的和，记为 A+B ． 注：①同型矩阵之间才能进行加法运算． ②称矩阵-A = (aij )mn 为矩阵 A 的负阵， 利用复矩阵的概念可定义矩阵的减法运算： A B A(B)． 运算规律： ① 交换律: A B B A ； ② 结合律: ( A B) C A ( B C ) ； ③ A ( A) O ； ④ A+ O =A ．
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目录
第 1 章 导 论 ..........................................1 第 2 章 矩阵基础知识 ...................................2 2.1 矩阵的概念 ........................................2 2.2 矩阵的基本运算 ....................................3
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第2章 2.1 矩阵的概念
已知 n 元线性方程组：
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 a x a x a x b mn n m m1 1 m 2 2
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2.2.2 矩阵数乘和相乘 1.矩阵数乘： 定义: 矩阵
a11 a12 a21 a22 a m1 am 2 a1n a2 n A A amn
2.2.1 矩阵加法 ...............................................3 2.2.2 矩阵数乘和相乘 ........................................4
2.3 矩阵的逆...........................................5 第 3 章 经济模型中的矩阵 ...............................6 3.1 商品交换基础模型 ..................................6 3.2 最优化模型 ........................................9 3.3 投入与产出模型 ....................................9 第 4 章 矩阵在经济模型中应用实例 ......................10 4.1 矩阵在生产成本计算上的应用 ........................10 4.2 矩阵在最优规划上的应用.............................12 4.3 矩阵在投入产出分析上的应用 ........................13 参考文献 ...............................................15
称为数 与矩阵 A 的乘积，记为 A ，或 A ． 运算规律： ① 结合律： ( ) A ( A) ( A) ； ② 矩阵关于数加法的分配律： ( ) A A A ； ③ 数关于矩阵加法的分配律： ( A B) A B ． 注：利用数乘也可以定义负阵和减法．
矩阵基础知识
的系数及常数项可以排成 m 行，n+1 列的有序数表：
a11 a 21 a m1
a12 a 22
a1n a2n
b1 b2 bm
a m 2 a mn
Baidu Nhomakorabea
这个有序矩阵数表完全确定了该线性方程组， 对它的研究可以判断它的解的情况。 定义: 设 mn 个数 aij (i 1,2, , m ; j 1,2, , n) 排成 m 行 n 列的数表
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第一章 导 论
近几十年来，数学的应用不仅在它的传统领域如工程技术、经济建设中发挥着 越来越重要的作用，而且不断地向一些新的领域渗透，形成了许多交叉学科如计量 经济学、人口控制论、生物数学、地质数学等等。不论是用数学方法解决哪类实际 问题，建立数学模型都是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步，建立数学模 型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程，要通过 观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住事物的本质，建立起反映实际问 题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题，这就需要深厚扎实 的数学基础。 在数学名词中，矩阵（英文名 Matrix）是用来表示统计数据等方面的各种有关 联的数据。 这个定义很好地解释了 Matrix 代码是制造世界的数学逻辑基础。 数学上， 矩阵就是方程组的系数及常数所构成的方阵。把它用在解线性方程组上既方便，又 直观。例如对于方程组
a11 a 21 a m1
a12 a1n a 22 a 2 n a m 2 a mn
用括号将其括起来, 称为 m n 矩阵, 并用大写字母表示, 即
a11 a A 21 a m1
记为 A (aij ) mn .
a12 a1n a 22 a 2 n a m 2 a mn