龙格现象
拉格朗日插值龙格现象的matlab实现
拉格朗日插值法在实践中的应 用
在数值分析中的应用
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插值法：拉格朗日插值法是数值分析中常用的插值方法之一，具有简单易 行、计算量小等优点。
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数据拟合：拉格朗日插值法可以用于数据拟合，通过对已知数据进行插值， 得到未知数据的近似值。
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数值微积分：拉格朗日插值法在数值微积分中也有广泛应用，例如在求解 函数的导数、积分等运算时，可以利用拉格朗日插值法进行近似计算。
龙格现象
龙格现象的定义
定义：当插值多项式的阶数过高时， 插值结果可能变得不可预测或出现 剧烈振荡
解决方法：在实际应用中，应避免 使用过高的插值多项式阶数，而应 选择合适的阶数以保证插值结果的 稳定性和准确性
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原因：由于高阶插值多项式对数据 点的敏感性增强，导致插值结果不 稳定
拉格朗日插值龙格现象的 Matlab实现
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拉格朗日插值法
插值法的定义
插值法是一种数学方法，通过已知的离散数据点，构造一个多项式函数，使得该函数在 数据点处的取值等于已知的数据点值。
算法收敛性：在某些情况下，龙格现象可能导致算法收敛速度减慢，增加计算时间和计算成本。
实际应用限制：由于龙格现象的存在，某些数值方法在实际应用中可能受到限制，无法处理某些 复杂问题。
算法改进需求：为了克服龙格现象的影响，需要研究和发展新的数值方法和算法，提高数值计算 的稳定性和精度。
拉格朗日插值法在Matlab中的 实现
Runge现象的研究
[ ] =a a0 , a1,, an T ∈ Rn+1
1
=V
1
x0 x1
x0n x1n
∈
R ( n +1)×( n +1)
1
xn
xnn
[ ] =y y0 , y1,, yn T ∈ Rn+1
DOI: 10.12677/aam.2019.88175
Received: August 6th, 2019; accepted: August 21st, 2019; published: August 28th, 2019
Abstract
Firstly, this paper explains the Runge phenomenon generated by high-order polynomial interpolation, and proves that the interpolation polynomial divergence is obtained by calculating the systematic error. Secondly, taking the Runge function, inverse trigonometric function and fractional function as examples, the interpolation polynomial of the function is obtained by using the equally spaced Newton interpolation, and then the interpolation residual function expression is obtained, and then the midpoint of adjacent two nodes is calculated. The error at the location determines that the above three functions have generated the Runge phenomenon. Thirdly, the three algorithms of Chebyshev node, piecewise linear interpolation and cubic spline interpolation are introduced and verified, which can avoid the Runge phenomenon. Finally, the approximation performance index is proposed, and based on the optimal polynomial construction coefficient and order double determination method, the algorithm has excellent function approximation effect while avoiding the Runge phenomenon.
利用MQ拟插值解决高次插值所出现的龙格现象
利用MQ拟插值解决高次插值所出现的龙格现象寿媛;陈豫眉【摘要】Interpolation is an ancient and practical approach mostly used for function approximation .In view of that different interpolation methods have different advantages and disadvantages , this paper is aimed at the re-search on how to solve Runge phenomenon appearing in the Lagrange polynomial interpolation .In practice, piece-wise linear interpolation is frequently used to avoid high order interpolation Runge phenomenon , while MQ quasi-in-terpolation can also be applied for the high-order interpolation Runge phenomenon solution by real example analy-sis.%本文对拉格朗日插值法在高次插值时出现的龙格现象展开研究。
通过实例分析可知，MQ拟插值可以解决高次插值时出现的龙格现象。
【期刊名称】《洛阳师范学院学报》【年(卷),期】2016(035)005【总页数】4页(P6-9)【关键词】拉格朗日插值;线性分段插值;MQ拟插值【作者】寿媛;陈豫眉【作者单位】西华师范大学数学与信息学院，四川南充637009;西华师范大学数学与信息学院，四川南充637009【正文语种】中文【中图分类】O241.3插值是函数逼近的一种重要方法，它可以通过函数在有限个点处的取值，利用形式简单的函数估计出形式复杂、不易计算的函数在其它点处的近似值.常用的插值有多项式插值[1]、样条曲线插值、代数曲线插值等.由于多项式插值具有计算简单等特点，因此常常用做逼近函数.对于一些函数，运用多项式插值，可以构造出形式简单并且具有良好逼近效果的多项式.但并不是所有的函数利用插值多项式都能够得到良好的逼近效果，例如有些函数在插值节点周围会出现龙格现象.龙格现象[2]是指，在区间内取等距插值点，运用插值多项式进行逼近时，逼近多项式在区间两端会发生震荡，并且随着插值次数增高，震荡现象也会严重，因而逼近误差也会增大.为了解决龙格现象，通常使用分段线性插值，利用分区间的低阶多项式对被插值函数进行良好地逼近.本文利用MQ拟插值[3]来解决龙格现象.MQ拟插值中有可调节的形状参数c，并且MQ拟插值自身具有无穷次可微性，因此MQ拟插值继承了分段线性插值函数的优点，同时解决了分段线性插值函数在插值节点处不光滑的缺点，从而可知MQ拟插值能够构造出基于等距节点的插值函数，这种插值函数能良好的逼近原函数，可以消除龙格现象.多项式具有简单、容易计算等特点，而且多项式函数几乎可以逼近所有的函数，因此，常常运用多项式逼近其它复杂、不易计算的函数.对于一个n次插值多项式Pn(x)，往往需要求解插值多项式的系数ai(i=0,1,…,n)，而且，当n较大时，求解多项式的系数会麻烦.因此，为了简化计算，可以通过拉格朗日插值来构造插值函数.定义1[4] 设a=x0<x1<…<xn=b，已知函数值yi=f(xi)(i=0,1,…,n)，Ln(x)为不超过n次的多项式，则拉格朗日插值多项式为li(x)=).利用拉格朗日多项式构造插值时，随着插值节点个数的增加，拉格朗日插值对于原函数的逼近效果并不见得好.因为随着插值节点个数的增多，在插值节点周围会发生震荡现象，并且这种偏离现象往往会随着插值节点个数的增加而越来越严重.为段线性插值.定义2[4] f(x)在[a,b]上具有二阶连续导数，对于节点a=x0<x1<…<xn=b，已知其函数值f(x0), f(x1), …, f(xn)，记hi=xi+1-xi，h=maxihi，因此，Ih(x)在每个小区间[xi,xi+1]上可表示为1968年，R.L. Hardy提出一种新的径向基函数——Multi-quadric函数，简称MQ[5]，并于1971年首次发表了一篇关于MQ的论文[6]. 现如今，人们主要将MQ用于函数的逼近，也就是函数的插值.但是，利用MQ插值时需要求解一个系数矩阵，而当插值节点的个数很大时，这个系数矩阵往往是病态的.因此，就开始了对MQ拟插值(Lf)(x)的研究.定义3[3] 如果a=x0<x1<…<xn=b，h=max(xj-xj-1)，对于给定函数f∈C1[x0, xn]和数据拟插值算子为(L f)(x)=∑fjψj(x)，其中ψj(x)是函数φ(‖x-xj‖)的线性组合，φj(x)=φ(‖x-xj‖) c为参数且大于零.Powell和Beatson构造了三种MQ拟插值算子： (LA f)(x)，(LB f)(x)，(LCf)(x)[7]，但是(LC f)(x)需要被插值函数在其端点处的导数信息，这限制了(LC f)(x)在实际中的应用. 因此，Wu和Schaback提出了另一种不需要被插值函数在端点处导数信息的MQ拟插值算子(LD f)(x)[8].MQ拟插值算子(LD f)(x)为.利用拉格朗日插值，分段线性插值和MQ拟插值分别进行函数插值，其中对于MQ拟插值中的形状参数c取为0.05.实验].实验].实验3 f3(x)=arctanx，x∈[-10,10].从实验1到实验3可以看出，对于简单函数，当插值节点的个数为6(即插值次数为5)，用拉格朗日插值时，插值函数在插值区间的两端出现了震荡现象，并且随着插值次数的增加，震荡现象越明显.但是利用分段线性插值与MQ拟插值中并没有出现龙格现象，而且拟合的效果比较好.实验表明，除了常用的分段线性插值能够解决高次插值时出现的龙格现象，MQ拟插值也能消除龙格现象.。
hermite多项式龙格现象
hermite多项式龙格现象
关于Hermite多项式和龙格现象，我可以从多个角度进行解释。
首先，让我们先来了解一下Hermite多项式。
Hermite多项式
是一类特殊的多项式，通常用来解决量子力学和概率论中的问题。
它们是Hermite微分方程的解，这些微分方程在量子力学中具有重
要的物理意义。
Hermite多项式在概率论中也有广泛的应用，特别
是在描述正态分布的概率密度函数时。
现在，让我们来谈谈龙格现象。
龙格现象是指在使用插值多项
式逼近某些函数时出现的现象。
当我们使用高次插值多项式来逼近
某些函数时，虽然在节点附近的逼近效果很好，但在远离节点的地
方却出现了振荡的现象，这就是龙格现象。
龙格现象对于数值计算
和插值问题具有重要的启示意义，需要我们谨慎选择插值多项式的
次数和节点的位置，以避免出现龙格现象导致的误差增大。
结合Hermite多项式和龙格现象，我们可以讨论在使用
Hermite插值多项式逼近某些函数时可能出现的龙格现象。
由于Hermite插值多项式是在给定节点处不仅给出函数值，还给出导数值，因此可以更好地逼近某些函数。
但是，当我们使用高次
Hermite插值多项式时，仍然可能会出现龙格现象，导致远离节点的地方逼近效果变差，甚至出现振荡现象。
总的来说，Hermite多项式和龙格现象都是数学和数值计算中重要的概念，它们在不同领域有着广泛的应用和深远的影响。
我们需要深入理解它们的性质和特点，以更好地应用于实际问题的求解和分析中。
权重归一化拉格朗日插值及其空间降尺度应用
第３４卷第６期２０１９年１２月遥感信息R e m o t eS e n s i n g In f o r m a t i o n V o l ．３４,N o ．６D e c ．,２０１９㊀收稿日期:２０１８Ｇ０９Ｇ３０㊀㊀修订日期:２０１９Ｇ１２Ｇ０５基金项目:国家自然科学基金(４１６７１３６８㊁４１３７１３４８);中国科学院战略重点研究计划A (X D A ２００１０３０１);第二次青藏高原综合科学考察研究资助(２０１９Q Z K K １００３).作者简介:胡沛然(１９９２ ),男,硕士,主要研究方向为陆面过程模型.E Ｇm a i l :h u p p１２０２＠１６３．c o m 通信作者:陈少辉(１９７６ ),男,副研究员,主要研究方向为数据融合与同化㊁地表水热通量㊁遥感水文学.E Ｇm a i l :c h e n s h ＠i gs n r r ．a c ．c n 权重归一化拉格朗日插值及其空间降尺度应用胡沛然１,２,陈少辉１(１．中国科学院地理科学与资源研究所陆地水循环及地表过程重点实验室,北京１００１０１;２．中国科学院大学,北京１０００４９)摘要:针对拉格朗日插值法当基函数阶数较高时易出现龙格现象的问题,提出对插值基函数的权重进行归一化,以提高其在高阶插值时的稳定性.拉格朗日插值法简单高效,突出优点是计算迭代过程有规律,宜通过编程来处理大量的数据,但计算结果会在插值区间边缘出现强烈的龙格现象,这种现象在处理较为平稳的气象强迫数据时尤为明显.本文针对这一缺陷对插值基函数进行了归一化,然后利用给定的插值节点得到数值稳定的插值结果.改进方法在驱动陆面过程模型运行的气象要素空间降尺度中进行了验证.几组比较实验证明改进后的方法比原始的拉格朗日插值方法效果更好.关键词:拉格朗日插值;插值基函数;归一化;降尺度;龙格现象d o i :１０．３９６９/j．i s s n ．１０００Ｇ３１７７．２０１９．０６．０１１中图分类号:P ９４２㊀㊀文献标志码:㊀㊀文章编号:１０００Ｇ３１７７(２０１９)１６６Ｇ００６３Ｇ０９W e i g h tN o r m a l i z a t i o nB a s e dL a g r a n g e I n t e r po l a t i o na n d I t sA p p l i c a t i o n i nD o w n s c a l i n gHU P e i r a n １,２,C H E NS h a o h u i１(１．K e y L a b o r a t o r y o f W a t e rC y c l e a n dR e l a t e dL a n dS u r f a c eP r o c e s s e s ,I n s t i t u t e o fG e o g r a p h i c S c i e n c e s a n d N a t u r a lR e s o u r c e sR e s e a r c h ,C A S ,B e i j i n g １００１０１,C h i n a ;２．U n i v e r s i t y o f C h i n e s eA c a d e m y o f S c i e n c e s ,B e i j i n g １０００４９,C h i n a )A b s t r a c t :F o r t h eL a g r a n g e i n t e r p o l a t i o nm e t h o d ,w h e n t h e o r d e r o f t h e b a s e f u n c t i o n i s h i g h ,R u n g e p h e n o m e n o n i s e a s yt o o c c u r ,a n d t h e w e i g h to ft h ei n t e r p o l a t i o n b a s i sf u n c t i o ni s n o r m a l i z e dt oi m p r o v ei t ss t a b i l i t y i n h i g h Ｇo r d e ri n t e r p o l a t i o n ．L a g r a n ge i n t e r p o l a t i o n i s s i m p l e a n d ef f i c i e n t ,i t s o u t s t a n d i ng a d v a n t a g e i s th a t t h ei t e r a t i v e p r o c e s s i s r e g u l a r ,a n d i t i s s u i t a b l e t o p r o c e s s a l a r g e a m o u n t o f d a t a b yp r o g r a m m i n g ．H o w e v e r ,w h e n t h e o r d e r o f t h e i n t e r p o l a t i o n b a s i s f u n c t i o n s i s t o o h i g h ,t h e i n t e r po l a t i o n r e s u l t sw i l l b e c o m e u n s t a b l e a n d l e a d t o t h eR u n g e p h e n o m e n o nw h i c h i s e s p e c i a l l y o b v i o u sw h e nm e t e o r o l o g i c a l f o r c i n g d a t a a r e i n t e r po l a t e d ．I n t h i s p a p e r ,a s i m p l e a n d p r a c t i c a l i m p r o v e m e n tm e t h o d i s p r o p o s e d i n v i e wo f t h i s l i m i t a t i o n ．A f t e r t h ew e i g h t s o f t h e i n t e r p o l a t i o n b a s i s f u n c t i o n s a r e n o r m a l i z e d ,w e u s e t h e i n t e r p o l a t i o n n o d e t o g e t n u m e r i c a l l y s t a b l e i n t e r p o l a t i o n r e s u l t s ．T h e p r o p o s e dm e t h o d i s v a l i d a t e d b y s p a t i a l l y d o w n s c a l i n g m e t e o r o l o g i c a l e l e m e n t s t h a t a r eu s e d t od r i v e l a n ds u r f a c em o d e l s ．S e v e r a l p a i r s o f c o m p a r a t i v e e x pe r i m e n t s p r o v e t h a t t h e i m p r o v e dm e t h o d i s b e t t e r t h a n t h e o r i g i n a l L a g r a n g e i n t e r po l a t i o n ．K e y wo r d s :L a g r a n g e i n t e r p o l a t i o n ;i n t e r p o l a t i o nb a s i s f u n c t i o n ;n o r m a l i z a t i o n ;d o w n s c a l i n g ;R u n g e p h e n o m e n o n ０㊀引言人们在通过各种手段获取观测数据时,观测仪器记录的要素一般为特定格式的离散资料.由于观测仪器故障㊁恶劣的环境或其他不可避免的外部因素干扰,观测资料会出现一定数量的缺测值或异常３６遥感信息２０１９年６期值,使得用户无法正常使用观测数据,这就需要用户选取合适的数学插值方法来填补数据空缺并处理数据的异常值.另一方面,虽然现代的观测技术和观测手段得到了很大进步,用户可以获取各种高质量的观测资料,但是我们的研究尺度往往会和观测资料的尺度无法完全匹配,例如人们获得的卫星遥感图像或气象资料与实际研究区域的空间尺度相差很大,为了和实际的研究精度相匹配,就必须要对观测数据进行插值处理,才能满足数据使用者的特定需求.拉格朗日插值法最早于１７７９年由一位英国的数学家提出[１],后来由于著名科学家拉格朗日在他的一本书中又提到了这个经典的插值方法而得以命名[２].拉格朗日插值法具有简洁明了的迭代过程和较高的计算精度,因而十分适合通过计算机编程来处理各种数据.近几十年来,拉格朗日插值方法在全球定位系统(g l o b a l p o s i t i o n i n g s y s t e m,G P S)卫星定位[３]㊁水文气象模型[４]和计算机图像视频处理[５]等领域均有成熟的应用.根据拉格朗日插值方法的理论可以得出,计算结果的精度会随着多项式阶数的增加而大幅提高,但阶数的增加可能会造成龙格现象(r u n g e p h e n o m e n o n).具体来说,简单的一阶拉格朗日插值不会带来数值振荡,然而计算结果会出现一定的数值误差,无法达到用户所需要的数值精度.二阶甚至更高阶的拉格朗日插值可以有效减小插值结果的误差,同时也会导致插值区间上出现显著的数值振荡(即为龙格现象).虽然拉格朗日插值具有诸多优点,但高次插值所引发的龙格现象却在很大程度上限制了该方法在实际中的广泛应用[６].为了解决这个问题,目前的主要方法有适当增加计算区间边缘插值点个数和分段使用低次插值多项式等.在近年的研究中,Z h a n g在海洋模型的盐度计算中采用混合一阶和二阶的拉格朗日插值法[７].W u等提出了一种混合N阶拉格朗日插值方法[８],即首先使用N阶拉格朗日插值法进行插值处理,然后在结果误差较大的地方使用低阶拉格朗日插值法进行修正,这种方法对提高插值精度和减小数值振荡有显著效果.熊欢欢等在G P S星历插值计算中采用高阶和低阶组合的滑动插值方法,用以提高插值区间边缘的计算精度和减弱龙格现象[９].寿媛等使用M u l t i q u a d r i c(MQ)拟插值法和分段线性插值避免高次插值时出现的龙格现象[１０].在陆面模型进行径流模拟时,研究者发现在对驱动模型的气象强迫数据进行空间降尺度的过程中,原始的拉格朗日插值方法虽然易于编程且计算速度快,但插值效果却呈现出较大波动.增加区间边缘插值点个数和使用混合高低阶插值方法在一定程度上可以有效减弱高阶拉格朗日插值的龙格现象,但这些方法会涉及复杂的判断和较高的计算量,并不适合编程处理大量数据.针对这个问题,本文提出了一种相对简便的改进方法,在满足一定精度的情况下,快速有效地减少了高阶拉格朗日插值方法所带来的数值振荡.１㊀方法介绍１．１㊀拉格朗日插值原理拉格朗日插值法的基本原理是通过迭代计算求得一个特定的多项式,其在每个观测点恰好取到给定的观测值.插值方法的定义如下:对某个多项式,已知有k＋１个给定点:(x０, y０), ,(x k,y k),假设任意两个x j都互不相同,那么拉格朗日插值多项式为:L(x)＝ðk j＝０y j l j(x)(１)把式中每个l j(x)叫做基函数,l j(x)具体的表达式为[１１]:l j(x)＝ᵑk i＝０,iʂj x－x i x j－x i＝x－x０x j－x０x－x j－１x j－x j－１x－x j＋１x j－x j＋１x－x kx j－x k(２)从上面的定义中可以看出,拉格朗日插值法原理简单,仅涉及到了简单的迭代计算,基函数的取值只与插值点坐标有关,非常适合理论分析和编程计算.然而在实际的应用过程中,插值多项式会随着阶数的增加而在插值区间边缘产生强烈的数值不稳定的现象,也就是说插值多项式虽然在给定的观测点取到了观测值,但在插值区间边缘附近却会产生巨大的偏差,这被称为龙格现象.如图１所示,虽然多项式在插值区间的(－１,１)这部分精度很高,但是在区间的边缘部分产生了大幅的数值振荡.图１㊀插值中的龙格现象１．２㊀拉格朗日插值法的一种改进方法拉格朗日插值方法在高阶插值时会出现显著的４６引用格式:胡沛然,陈少辉．权重归一化拉格朗日插值及其空间降尺度应用[J]．遥感信息,２０１９,３４(６):６３Ｇ７１龙格现象,在模拟一个较为平稳的函数时,插值多项式的数值不稳定性更加强烈,究其原因是由基函数计算的插值权重所致,为此提出了一种权重归一化方法.数据归一化的主要思想是通过一系列数值计算,把原始数据映射到特定的范围内.数据的归一化计算可以将数据按比例缩放,使其落入一个规定的区间内(例如０~１或－１~１之间).归一化后既可以保留原始数据的某些特性,又可以消除数据的异常波动,在某种程度上可以提高插值精度.归一化有多种方法,其中一种常用的简单归一化方法定义为:对于正项序列x１,x２, ,x n,进行如下变换:y i＝x iðn i＝１x i(３)则y１,y２, ,y n为归一化后的新序列,并且有ðn i＝１y i＝１.本文针对拉格朗日插值方法中的龙格现象,发展了一种基于归一化思想的插值改进方法,通过对插值基函数进行归一化计算将其转换在(０,１)的范围内,减少了多项式在区间内的数值振荡.相比于目前主流的解决思路,新的改进方法在插值计算时简便易行,精度在可接受范围内.具体步骤如下:①令ω＝ðk j＝０l j(x),则定义归一化后新的拉格朗日插值基函数为:ωj(x)＝l j(x)ω(４)②将新的基函数ωj(x)带入多项式(１)中,得到改进后的插值多项式如下:L(x)＝ðk j＝０y jωj(x)(５)２㊀改进前后插值结果对比实验２．１㊀插值效果主观对比为了检验插值方法改进的效果,本文设计了一组主观对比实验.我们从中国区域地面气象要素数据集中选取一片区域(经纬度范围为１１４．８５ʎE~１１９．０５ʎE,３５．６５ʎN~３８．２５ʎN),并以２００１年２月１日１２时㊁２００１年４月１２日１５时㊁２００１年７月２２日１８时３个时刻的气温(２m)㊁气压㊁向下短波辐射和向下长波辐射数据作为此次实验的样本数据.具体的插值对比方法为:①考虑到计算精度和效率,采用五阶拉格朗日插值法来进行滑动插值计算,即每次插值计算时,待插值点必须始终位于插值区间的中心.②使用传统拉格朗日插值方法将样本数据(空间分辨率为０．１ʎ)内插成０．０２ʎ的空间分辨率,插值前后的空间范围不变.③使用本文改进的拉格朗日插值法将样本数据内插成０．０２ʎ的空间分辨率,插值前后的空间范围不变.④通过F o r t r a n语言编写程序来实现数据读取和插值计算,并输出图像直观对比插值方法改进前后的效果.２．２㊀插值结果精度分析上文２．１中的对比实验只是通过插值结果与原始数据的定性图形对比来主观判断插值效果.为了准确地定量比较改进前后插值方法精度的变化,我们在中国区域地面气象要素数据集中取出某一时刻的地面向下长波辐射数据作为定量对比实验的样本数据,样本数据尺寸为１７２列乘１２６列(经纬度范围为１０４．２５ʎE~１２１．４５ʎE,２３．４５ʎN~３６．０５ʎN).将样本数据(图２)重采样至分辨率更低的水平(图３),随后再将其分别使用原始和改进后的拉格朗日插值法,按照２．１中的五阶滑动插值重新内插为０．１ʎ的空间分辨率.将插值后得到的２组数据分别与样本数据做误差分析,画出相对误差频率直方图进行比较,并选取３个常用的误差指数作为本实验插值精度的评价指标,具体见表１,表中的X i与Z i分别为样本数据和插值计算后的数据.最后对比原始样本数据和使用改进方法插值得到的结果,进而分析改进方法的误差空间分布特征.图２㊀样本数据图３㊀重采样数据５６遥感信息２０１９年６期表１㊀实验精度评价指标名称描述计算公式平均绝对误差(MA E)插值误差的大小范围MA E＝１nðn i＝１X i－Z i平均相对误差(M R E)插值误差的相对大小M R E＝１nðn i＝１X i－Z i X i均方根误差(R M S E)插值结果同样本数据之间的偏差程度R M S E＝１nðn i＝１(X i－Z i)２２．３㊀样本数据介绍中国区域地面气象要素数据集(C h i n am e t e o r o l o g i c a l f o r c i n g d a t a s e t),是一套以现有的多种再分析资料融合气象观测数据制作而成的气象要素数据集.此数据集由中国科学院青藏高原所研制(寒区旱区科学数据中心h t t p://w e s t d c．w e s t g i s．a c．c n/),适合驱动陆面过程模型进行模拟计算.数据集在空间上覆盖全国,时间范围上覆盖了１９７９ ２０１０年,时空分辨率为３h和０．１ʎ,数据集包含了表２中的７个变量[１２].表２㊀数据集变量信息表气象要素变量名单位描述近地面气温㊀㊀t e m p K瞬时近地面(２m)气温地表气压㊀㊀㊀p r e s P a瞬时地表气压近地面空气比湿s h u m k g/k g瞬时近地面空气比湿近地面全风速㊀w i n d m/s瞬时近地面(风速仪高度)全风速向下短波辐射㊀s r a d W/m２３h平均向下短波辐射向下长波辐射㊀l r a d W/m２３h平均向下长波辐射降水率㊀㊀㊀㊀p r e c m m/h r３h平均降水率３㊀插值结果分析图４㊁图５㊁图６分别为实验区域３个时刻的近地面气温㊁气压㊁向下短波辐射㊁向下长波辐射样本数据.样本数据的空间分辨率为０．１ʎˑ０．１ʎ,颜色越深表示像元的数值越低.从图中可以清晰看出,原始数据集的空间分辨率较低,４个变量在空间上的分布极不连续,呈现出明显的斑块状分布.在使用这种低分辨率气象数据驱动陆面模型进行高分辨率模拟前,必须采用一定的数学方法对原始数据进行降尺度插值计算.图４㊀２００１年２月１日１２时原始数据６６引用格式:胡沛然,陈少辉．权重归一化拉格朗日插值及其空间降尺度应用[J]．遥感信息,２０１９,３４(６):６３Ｇ７１图５㊀２００１年４月１２日１５时原始数据图６㊀２００１年７月２２日１８时原始数据图７㊁图８和图９是使用传统拉格朗日插值法将３个时刻的数据内插成空间分辨率为０．０２ʎ后输出得到的图像.从图中可以看出插值结果很不理想,在数据的边缘处效果最差.其余部分虽然变化趋势大致同样本数据相同,但仍可以看出有明显的数值波动.出现这种现象是由于拉格朗日插值法在高阶插值时会在插值区间边缘产生龙格现象,尤其是在模拟类似于气象强迫数据这种总体平稳的数据时龙格现象更加强烈.另一方面,在数据起始和结束的边缘区域,数据无法满足滑动插值时待插值点始终位于插值区间中心的要求,故数值误差在边缘处最大.图１０㊁图１１和图１２是使用本文改进后的拉格朗日插值法将样本数据内插成空间分辨率为０．０２ʎ输出得到的图像.从输出结果可以清晰看出,改进后的插值结果不仅在变化趋势上完全与样本数据吻合,且基本可以有效避免原始插值方法中的缺陷,消除了明显的数值误差.７６遥感信息２０１９年６期图７㊀２００１年２月１日１２时图８㊀２００１年４月１２日１５时图１３和图１４为定量对比实验２．２输出的传统方法和改进方法插值结果.从插值效果上看,原始插值方法产生了大量的数值波动,未能准确模拟出原始数据.而使用改进方法插值得出的结果无论在整体趋势上还是数值精度上,都可以较为真实地反映原始数据的空间分布特征.图１５为传统方法和改进方法的误差频率分布直方图.从直方图可以看出,传统方法的相对误差的频率极值出现在０．１附近,相对误差的范围在－０．２到０．５之间,其概率分布无明显规律.而方法改进后的相对误差大致呈现出正态分布,频率极值出现在０附近,相对误差的范围分布在ʃ０．２以内,即改进后的误差范围相比于传统方法缩小了大约一半.从表３中的精度指标数值可以看出,使用改进方法得出的插值结果平均绝８６引用格式:胡沛然,陈少辉．权重归一化拉格朗日插值及其空间降尺度应用[J ]．遥感信息,２０１９,３４(６):６３Ｇ７１对误差(MA E )从传统方法的１９．７７１下降为５．６１０,平均相对误差(M R E )从８．３３９下降到２．２８４,而均方根误差(R M S E )降幅最大,由３４．９２６下降为８．５８４.通过定量的精度评估可以得出,使用改进的拉格朗日插值方法后,数据的插值精度得到了大幅提高.图１６为使用改进方法插值后数据与原始数据的相对误差分布图.通过对比分析,可以看出改进后的拉格朗日插值方法在原始数据数值平稳的地方插值精度较高,相对误差大致控制在１０％以内,能够较为准确地反映出原始数据的空间分布特征.但是在数据边缘部分和数据变化较大的地方插值精度较低,其相对误差最高达到了３０％,故改进后的拉格朗日插值法不适合用于波动剧烈数据的插值计算.图９㊀２００１年７月２２日１８时图１０㊀２００１年２月１日１２时９６遥感信息２０１９年６期图１１㊀２００１年４月１２日１５时图１２㊀２００１年７月２２日１８时图１３㊀传统方法插值结果图图１４㊀改进方法插值结果０７引用格式:胡沛然,陈少辉．权重归一化拉格朗日插值及其空间降尺度应用[J ]．遥感信息,２０１９,３４(６):６３Ｇ７１图１５㊀改进前后相对误差频率直方图表３㊀拉格朗日插值法精度评价表插值方法MA E /(W m －２)M R E /(％)R M S E /(W m －２)改进前１９．７７１８．３３９３４．９２６改进后５．６１０２．２８４８．５８４图１６㊀改进方法的误差空间分布４㊀结束语通过对上述两个实验的定性比较与定量分析,可以得到以下３点结论:①原始数据在实际应用时为了和研究精度相匹配,必须综合考虑计算精度和复杂度来选取合适的插值方法,在保证数值精度的前提下进行插值处理.②拉格朗日插值方法的插值原理简单,公式中仅包含了简单的迭代运算,故十分适合编程来处理数据,当选取合适的阶数进行插值时,插值的精度完全可以满足用户需求.③拉格朗日插值方法在高阶计算时会发生明显的龙格现象,尤其是在插值类似于气象数据这种相对平稳而又存在局部小幅波动的数据时尤为显著.如果采用滑动拉格朗日插值法时,数据边缘也会产生极大的误差.本文提出的基于归一化思想的改进方法,通过重新计算拉格朗日插值基函数后,因龙格现象产生的误差被有效减弱.改进的拉格朗日插值方法在处理数值上相对平稳的数据时效果比较理想,但不适用于处理数值波动剧烈的数据.因此在陆面模型气象驱动数据空间降尺度时,可选用本文提出的朗格拉日插值改进方法.参考文献[１]㊀WA R I N GE ．P r o b l e m s c o n c e r n i n g i n t e r p o l a t i o n s [J ]．P h i l o s o p h i c a lT r a n s a c t i o n so f t h eR o y a l S o c i e t y o fL o n d o n ,１７７９,６９:５９Ｇ６７．[２]㊀M E I J E R I N G E ．A C h r o n o l o g y o f i n t e r p o l a t i o n :f r o m a n c i e n ta s t r o n o m y t o m o d e r ns i g n a la n di m a g e p r o c e s s i n g [J ]．P r o c e e d i n g s o f t h e I E E E ,２００２,９０(３):３１９Ｇ３４２．[３]㊀李广洲,朱磊,何敏．G P S 轨道插值方法[J ]．地理空间信息,２０１１,９(５):６７Ｇ６８．[４]㊀张学宏,李颜,郝培章,等．水文资料插值计算方法探讨[J ]．海洋预报,２００８,２５(１):５Ｇ１３．[５]㊀叶森,丁勇,王翔,等．基于三次拉格朗日插值的自适应图像缩放[J ]．小型微型计算机系统,２０１２,３３(６):１２７８Ｇ１２８３．[６]㊀李信富,李小凡．分形插值与拉格朗日插值的比较研究[J ]．黑龙江大学自然科学学报,２００８,２５(３):３２３Ｇ３２６．[７]㊀Z HA N G W ,Z HUS ,D O N GL ,e t a l ．An e wh y b r i d v e r t i c a l c o o r d i n a t e o c e a nm o d e l a n d i t s a p p l i c a t i o n i n t h e s i m u l a t i o n o f t h e c h a n g j i a n g d i l u t e dw a t e r [J ]．C h i n aO c e a nE n g i n e e r i n g ,２０１１,２５(２):３２７Ｇ３３８．[８]㊀WU Y C ,Z HU S X ,Z H O U L ,e t a l ．H y b r i dn Ｇo r d e rl a g r a n g i a ni n t e r p o l a t i o ne u l e r i a n Ｇl a g r a n g i a n m e t h o df o rs a l i n i t y c a l c u l a t i o n [J ]．中国海洋工程(英文版),２０１６,３０(２):２８３Ｇ２９５．[９]㊀熊欢欢,田林亚．滑动式L a g r a n g e 高低阶组合法在G P S 精密星历插值中的应用[J ]．勘察科学技术,２０１７,(１):４４Ｇ４６．[１０]寿媛,陈豫眉．利用MQ 拟插值解决高次插值所出现的龙格现象[J ]．洛阳师范学院学报,２０１６,３５(５):６Ｇ９．[１１]冯有前．数值分析[M ]．北京:清华大学出版社,２００５．[１２]何杰,阳坤．中国区域高时空分辨率地面气象要素驱动数据集[Z ]．寒区旱区科学数据中心,２０１１．１７。
化学信息学智慧树知到期末考试章节课后题库2024年中南民族大学
化学信息学智慧树知到期末考试答案章节题库2024年中南民族大学1.文献基本检索步骤有（）。
答案:选择检索系统，确定检索标识###查找和获取原始文献###选择检索系统，确定检索标识###查找文献线索2.我们在MATLAB中进行一个简单的计算，计算半径为4.5m的圆的周长和面积，那么需要输入以下步骤（）。
答案:输入半径：radius=4.5。
###输入周长公式计算周长:circle_len=2*pi*4.5。
###输入面积公式计算面积：area=pi*4.5^2。
3.可以通过（）导入从数据库下载的单个文献至Endnote中。
答案:Import File###使用EndNote软件直接打开4.在配置量子化学计算软件Gaussian时，需要在“Gaussian Preferences”对话框中定义的设置有（）。
答案:Scratch Path：G16检查点文件和运行时中间文件的位置和路径。
###Bin Path：G16执行程序文件所在路径。
###ASCII Editor：用于编辑输入和输出文件、Default.Rou、gl6.ini及其他Text格式文件。
5.信息核心层包括（）。
答案:实验所需的外界条件###实验数据6.在Origin的原有基础上,用户通过编写X-Function来建立自己需要的特殊工具时，可以调用哪些函数（）。
答案:Origin C###NAG7.在PowerPoint幻灯片编辑状态下，使用复制粘贴法插入图片时，应执行下列的（）操作。
答案:Ctrl+V###Ctrl+C8.AutoCAD分解图形可以通过（）。
答案:修改/分解命令来实现###单击分解按钮来实现9.ChemDraw的程序界面包括以下（）部分。
答案:滚动条###绘图窗口###菜单栏###绘图工具栏10.在Word中，新建和保存文档，可以选择（）格式。
答案:DOC###DOCX11.文献的级别里按内容的性质，可以分为（）。
答案:一次文献###零次文献###三次文献###二次文献12.AutoCAD可以应用于（）领域。
高等数值分析拉格朗日插值多项式切比雪夫高斯龙格现象复合梯形辛普森求积公式
高等数值分析拉格朗日插值多项式切比雪夫高斯龙格现象复合梯形辛普森求积公式解答：1.拉格朗日插值函数：function y=lagrange (a,b,x)y=0;if length(a)==length(b)n=length(a);else disp('ERROR!length(a)!=length(b)')return;endfor i=1:nk=1;for j=1:nif j~=ik=k.*(x-a(j))/(a(i)-a(j));endendy=y+k*b(i);end2.问题（a）：function Q_am=100;n=10;x=-1:2/n:1;y=1./(1+9*x.^2);x0=-1:2/m:1;y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+9*x0.^2);plot(x0,y0,'--r');hold on;plot(x0,y1,'-b');end3.问题（b）：function Q_bm=100;n=10;x=zeros(1,n+1);for i=1:n+1x(i)=cos((2*i-1)*pi/(2*n+2)); endy=1./(1+9*x.^2);x0=-1:2/m:1;y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+9*x0.^2);plot(x0,y0,'--r');hold on;plot(x0,y1,'-b');end4.问题（c）：main.m（m文件）figure(1)Q_a()figure(2)Q_b()syms xy=1/(1+9*x^2);I0=int(y,-1,1);%准确值n=10;x=-1:2/n:1;y=1./(1+9*x.^2);I1=trapz(x,y);%复合梯形x0=zeros(1,n);for i=1:nx0(i)=(x(i)+x(i+1))/2;endy0=2/n*1./(1+9*x0.^2);I2=I1/3+2*sum(y0)/3;%复合辛普森x1=[-0.5384693101 0.5384693101 -0.9061798459 0.9061798459 0];y1=1./(1+9*x1.^2);A=[0.4786286705 0.4786286705 0.2369268851 0.2369268851 0.5688888889]; I3=y1*A'; %高斯5总结：(1).使用等距节点构造的高次拉格朗日插值多项式在正负1附件，插值值与真实值偏差非常大，存在较大的震荡。
龙格现象
在计算方法中，有利用多项式对某一函数的近似逼近，这样，利用多项式就可以 计算相应的函数值。例如，在事先不知道某一函数的具体形式的情况下，只能测 量得知某一些分散的函数值。例如我们不知道气温随日期变化的具体函数关系， 但是我们可以测量一些孤立的日期的气温值，并假定此气温随日期变化的函数满 足某一多项式。这样，利用已经测的数据，应用待定系数法便可以求得一个多项 式函数 f（x）。应用此函数就可以计算或者说预测其他日期的气温值。一般情 况下，多项式的次数越多，需要的数据就越多，而预测也就越准确。 例外发生了：龙格在研究多项式插值的时候，发现有的情况下，并非取节点（日 期数）越多多项式就越精确。著名的例子是 f（x）=1/(1+25x^2).它的插值函数 在两个端点处发生剧烈的波动，造成较大的误差。究其原因，是舍入误差造成的。 具体的情况可参考下列 Mathematica 程序： n = 10; x = Range[-1, 1, 2/n]; y = 1./(1 + 25 x^2); p = Transpose[{x, y}]; Clear[t]; f = LagrangeInterpolation[x, y, t]; Show[ Plot[{1./(1 + 25 t^2), f}, {t, -1, 1}], ListPlot[p, PlotStyle -> PointSize[0.02]] ] 程序演示 Matlab 程序演示 （一） 代码 >> f=inline('1/6-y/30','t','y'); [t,y]=ode45(f,[0,5],[0]); plot(t,y) >> hold on plot(t,5-5*exp(-t/30面是 MATLAB 中演示插值的 M 文件： %演示龙格函数的插值情况 for i=3:2:11
第三章(二) 埃尔米特-样条插值法
2
x x1 x x 0 h1 ( x ) 1 2 x x . x1 x 0 1 0
2
设
x x1 g 0 (x) a(x x0 ) , x 0 x1
2
∵g0(x0)=g0(x1)=0, g'0(x1)=0
据用得越多越好，解决这一矛盾的办法就是改用分段低次插值。
所谓分段低次插值就是用分段多项式来代替单个高阶多项式
作插值，即先把整个插值区间分成若干个小区间，然后在每个子 区间上分别用低次插值多项式（如线性插值或抛物线插值等）， 然后再将每个子区间上的插值函数拼接在一起，作为整个插值区 间上的插值函数。
• 分段线性插值
2
2
x x1 x x 0 h1 ( x ) 1 2 . x1 x 0 x1 x 0
2
2
x x1 x x0 g 0 (x) (x x0 ) , ( x ) ( x x1 ) g1 . x 0 x1 x1 x 0
, [ 1,1]. 0 ( x ) ? x L1
将[−1,1]10等分，步长 h = 2/10 = 0.2, 取节点 xi = −1 + 0.2i, i =
0,1,2,…,10。以 (xi, f(xi))为插值点，构造L10(x)：
Ｌ1 0 ( x )
) f ( x i ) li ( x )
先构造 h0(x), 设
由h0(x0) = 1,
x x1 h0 ( x ) (a bx ) . x 0 x1
2
∵h0(x1)=h'0(x1)=0
龙格现象
3． 多项式插值的龙格现象考虑在一个固定的区间上用插值逼近一个函数。
显然，拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高，自然关心插值多项式的次数增加时，()n L x 是否也更加靠近被逼近的函数。
龙格给出的一个例子是极著名并富有启发性的。
设在区间[]1,1-上的函数为：()21125f x x =+，考虑区间[]1,1-的一个等距划分，分点为：21,0,1,2,,iix i nn=-+=则拉格朗日插值多项式为： ()()201125nn i i iL x l x x ==+∑ 其中(),0,1,2,i l x i n =是n 次拉格朗日插值基函数。
要求：（1）选择不断增大的分点数目2,3,n =画出原函数()f x 及插值多项式函数()n L x 在区间[]1,1-的图像，比较并分析实验结果。
解：算法为function lagrangeinterp% graphs of different 'n' clear all;clc x=-1:.01:1;y=1./(1+25.*x.^2); plot(x,y,'-') hold onn=input('n='); x=-1:2/n:1;y=1./(1+25.*x.^2); u=-1:.01:1;v=lagrange(x,y,u);function v = lagrange(x,y,u) % algorithm of lagrange n = length(x); v = zeros(size(u)); for k = 1:nw = ones(size(u)); for j = [1:k-1 k+1:n]w = (u-x(j))./(x(k)-x(j)).*w; endv = v + w*y(k); endplot(x,y,'o',u,v,'--') hold off当选定为2等分时：当选定为3等分时：当选定为5等分时：当选定为10等分时：当选定为15等分时：由上述五个图形可得：在一定范围内，拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的L x也更加靠近被逼近的函数，插值节点但并不是越多越好，当超过某一次数就越高，()n值后，就会在端点处出现龙格现象，而且节点越多，龙格现象越严重。
数值分析复习题
一、判断题1. 区间[a,b]上，若f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在[a,b]内一定有实根。
2. 22/7作为π=3.1415926……近似值，它有3位有效数字。
3. 设P(x)和Q(x)都是n 次多项式，如果在n +1 个不同的节点x i 上都有P(x i )＝Q(x i )，则P(x)≡Q(x) 。
4. 取节点01231, 0, 2 ,4x x x x =-===作2()f x x =的插值多项式()p x ，则()p x 次数为2，插值基函数的次数为3。
5. 插值多项式严格通过所有的节点(x i ，y i )。
6. 若k<=n ，P(x)和Q(x)分别是 x k的通过n +1 个不同的节点的牛顿插值多项式和拉格朗日插值多项式则P(x)≡Q(x)≡x k。
7. 插值多项式次数越高，逼近效果越好。
8. 任何一组互异数据，逼近它们的多项式插值函数仅有一个。
9. 插值多项式次数与拟合曲线都严格通过所给定的数据点。
10. 求积公式：⎰30)(dx x f ≈。
f f f f 是插值型的)]3()2(3)1(3)0([83+++11. 牛顿-科特斯求积公式中的求积节点是等分的。
12. 牛顿法求方程ƒ(x)=0的单根, 在ƒ(x)可导的情况下, 至少二阶收敛。
13. 高斯型求积公式是插值型的。
14. 一阶亚当姆斯格式是单步法。
15. 显式的亚当姆斯公式：+-=+-()n n n n h y y f f 1132是单步法。
16. 求初值问题数值解的四阶亚当姆斯公式是多步法。
17. 如果有一常微分方程数值解法的局部截断误差3111()()n n n T y x y O h +++=-=，则该方法是3阶的。
18. 用一般迭代法求方程()0f x =的根，如其迭代过程()1k k x x ϕ+=发散，则方程()0f x = 的无解。
19. 牛顿法求方程ƒ(x)=0的根, 在ƒ(x)可导的情况下, 至少二阶收敛。
龙格现象难题破解之系数与阶次双确定方法
2013， 49 （3）
Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用
龙格现象难题破解之系数与阶次双确定方法
张雨浓， 李名鸣， 陈锦浩， 劳稳超， 吴华荣
ZHANG Yunong, LI Mingming, CHEN Jinhao, LAO Wenchao, WU Huarong
1
引言
在数值方法领域中， 经常需要利用插值对某一函数进
出， 对于龙格函数， 在区间 [ - 1 1] 内， 选取等距插值点， 利 用插值多项式进行逼近时， 其逼近多项式在逼近区间两端 会产生振荡， 且插值多项式的阶次越高， 其振荡现象越严 重， 从而造成较大的逼近误差。因此， 一般认为， 龙格函数 不适宜利用基于等距节点的高阶多项式进行逼近。 为了良好地逼近龙格函数， 解决龙格现象， 通常使用 切比雪夫节点 [10] 代替等距插值点， 使逼近误差随插值多项 式的阶次的增大而减少。但由于统计与科学分析中采集 的数据点一般都是等间距的 （如等时间间距采样得到的数 据） ， 采集变间距的切比雪夫节点数据将会增加实际操作 的难度。另外， 也可以使用分段样条插值 [11] 代替多项式插 值， 利用分区间的低阶多项式对龙格函数进行良好的逼近。 区别于以上采用变间距的切比雪夫节点或分区间低 阶的分段样条插值的方法， 基于人工神经网络的最新研究
中山大学 信息科学与技术学院， 广州 510006 School of Information Science and Technology, Sun Yat-sen University, Guangzhou 510006, China ZHANG Yunong, LI Mingming, CHEN Jinhao, et al. Solving the problem of Runge phenomenon by coefficients-and-orderdetermination method. Computer Engineering and Applications, 2013, 49 （3） ： 44-49. Abstract：The Runge phenomenon demonstrates that it is not suitable to use high-order interpolation polynomials with equidistant nodes to approximate the Runge function, as oscillation occurs near the ends of the interpolation interval. Nevertheless, this paper presents an innovative method called Coefficients-And-Order-Determination （CAOD）method to solve the problem of the Runge phenomenon. This method can efficiently determine the coefficients and the order of the optimal polynomial that approximates the target function. By such a CAOD method, high-order optimal polynomials are constructed for different numbers of equidistant nodes, which all approximate the Runge function without causing oscillation. Thus, such constructed optimal polynomials can achieve high approximation accuracy （i.e., eliminate the Runge phenomenon） . Numerical experiment results further substantiate the efficacy and accuracy of the CAOD method. Key words：Runge phenomenon; function approximation; equidistant nodes; high-order polynomials; Coefficients-And-OrderDetermination （CAOD）method 摘 要： 龙格现象指出， 使用基于等距节点的高阶插值多项式逼近龙格函数时， 插值多项式在逼近区间两端会产生明显的
精密星历插值中龙格现象处理策略
ｆ （ ） ＝ 兀
３ 龙格 现象 处理策 略
， ≠
（ ２ ）
为了减弱 和 消除精 密 星历插 值 中龙 格现 象 的影 响， 提高插值 的精 度和可 靠性 ， 分 别采用 阶次 组合 、 增
加星历 和先外推后插值三种方法进行精密星历插值 。 （ １ ） 阶次 组合 法 ： 阶 次 组合 法 是 指 对 不 同位 置
１ 引 言
产 的精 密 星历 的事 后 星历 精 度则 优 于 ５ ｃ ｍ。Ｉ Ｇ Ｓ是
一
个 非军 方 的国 际协 作 组织 ， 其 开放 度 也 较 高 。因
在 高精 度 Ｇ Ｐ Ｓ数据 处 理 中 ， 为 了保证 结 果 的可 靠 性 和精确 性 ， 通 常使 用 Ｉ Ｇ Ｓ提 供 的精 密卫 星 星 历 进行计 算 。 由于实际 作业 时 Ｉ Ｇ Ｓ提供 的星历 时 间间 隔都 大于观 测数 据 的 采样 间隔 ， 使 用 时需 要 对 精 密 卫 星 星历进 行插 值 处 理来 满 足 计 算 的需 求 ， 以得 到 观测 历元 时刻所 需 要 的卫 星位 置 ， 提 高精 密 单 点 定
插值 是通 过构造 已知值 与未知值 之 间的多项 式 关 系来计 算未 知值 的数学 方法 。常用 的插 值方 法包 括 拉格 朗 日多项式插 值法 、 内维尔插 值法 、 牛顿 插值
法、 三次 样条 插值法 、 三 角多项 式插 值法 和切 比雪夫
ｎ ＋ １ 个点之间的任意位置的函数值 Ｊ 。
位 的精度 。
此， 精 密单 点定位 中通 常采用 Ｉ Ｇ Ｓ提供 的精 密星历 ， 给出 １ ５ ｍｉ ｎ等 时 间间隔 点上 的卫 星 坐标 数据 ， 坐 标 参考 基准 属于 Ｉ Ｔ Ｆ参 考框 架 。
拉格朗日插值运算
用MATLAB 实现拉格朗日插值实验题目：高次插值的龙格现象。
目的：观察高次插值的震荡现象-龙格现象。
内容：22511)(x x f += ]1,1[-∈x 。
做5次，10次，20次的拉格朗日插值多项式，)(5X L ，)(10X L ，)(20X L 。
将)(x f ，)(5X L ，)(10X L ，)(20X L ，的图像画在同一坐标下，观察高次插值的震荡现象。
1. 实验步骤及运行结果（1）插值节点的计算，将程序保存在f.m 文件中，程序如下：function y=f(x)y=1./(25.*x.^2+1)运行f.m 文件，执行命令：x=[-1:0.1:1] f(x) 输出结果为：（2）定义拉格朗日插值函数：将其保存在Lagrange.m 文件中,具体程序如下：function f=Lagrange(x,fx,inx) n=length(x);m=length(inx); for i=1:m; z=inx(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=kp=p*(z-x(j))/(x(k)-x(j)); end ends=p*fx(k)+s; endf(i)=s; endx0=-1:0.001:1;y0=(1+25.*x0.^2).^-1plot(x0,y0,'r',x,fx,'O',inx,f)1）运行程序执行命令： X=[-1：0.4：1]fx=[0.0385 0.1000 0.5000 0.5000 0.1000 0.0385] xi=[-1:0.001:1] Lagrange(x,fx,xi)得出)(x f ，)(5X L 在同一坐标系的图像：2）运行程序执行命令：X=[-1：0.2：1]fx=[0.0385 0.0588 0.1000 0.2000 0.5000 1 0.5000 0.2000 0.1000 0.0588 0.0385]xi=[-1:0.001:1] Lagrange(x,fx,xi)得出)(x f ，)(10X L 在同一坐标系的图像：3）运行程序执行命令：X=[-1：0.1：1]fx=[0.0385 0.0471 0.0588 0.0755 0.1000 0.1379 0.2000 0.3077 0.5000 0.8000 1 0.8000 0.5000 0.3077 0.2000 0.1379 0.1000 0.0755 0.0588 0.0471 0.0385] xi=[-1:0.001:1] Lagrange(x,fx,xi)得出)(x f ，)(20X L 在同一坐标系的图像：。
龙格现象结论
龙格现象结论龙格现象是指在数值计算中，由于数值误差的积累，计算结果与真实结果之间的误差会随着步长的增加而不断增大的现象。
这一现象在科学计算中具有重要的意义，需要我们认真对待和解决。
龙格现象的出现是由于数值计算过程中的截断误差和舍入误差的积累所致。
在数值计算中，我们往往需要将连续的数学问题转化为离散的数值计算问题，通过有限的计算步骤来近似求解。
然而，由于计算机的存储和计算能力是有限的，无法处理无穷小和无穷大的数值。
因此，在计算过程中，我们不得不进行截断和舍入操作，从而引入了误差。
在数值计算中，我们通常使用一些数值方法来近似求解数学问题，如数值积分、数值微分和常微分方程的数值解等。
这些数值方法本质上都是基于一些数值逼近和插值的原理。
而在这些数值方法中，步长的选择是非常重要的。
步长过大会导致精度降低，步长过小则会增加计算的复杂性。
而龙格现象则是指当步长过大时，数值误差的积累会导致计算结果的不准确性。
为了更好地理解龙格现象，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设我们要计算一个函数的积分，我们可以使用数值积分的方法来近似求解。
首先，我们将积分区间等分为若干小区间，然后通过插值方法来近似计算每个小区间的积分。
当步长较小时，插值近似的误差也较小，计算结果较为准确。
但当步长增大时，插值近似的误差也会随之增大，最终导致计算结果的不准确。
针对龙格现象，我们可以通过一些方法来减小误差和提高计算精度。
首先，我们可以选择合适的数值方法和步长，以平衡计算精度和计算复杂性。
其次，我们可以使用高精度的数值计算库或算法，以减小舍入误差。
此外，我们还可以结合数值计算和符号计算的方法，以提高计算精度和可靠性。
龙格现象是数值计算中不可忽视的问题，它提醒我们在进行数值计算时要谨慎选择步长和数值方法，以保证计算结果的准确性。
同时，我们也需要不断研究和改进数值计算的方法和算法，以提高计算精度和可靠性，为科学计算提供更加准确和可靠的结果。
龙格现象matlab程序
龙格现象matlab程序龙格现象（Runge's Phenomenon）是数值分析中的一个现象，指的是在使用等距节点进行插值时，当节点数量增多时，插值多项式会出现振荡的现象。
这个现象最早由德国数学家卡尔·龙格（Carl Runge）于1901年发现，因此得名。
龙格现象的产生是由于等距节点在插值中的特殊性质导致的。
在等距节点插值中，节点的间距是相等的，例如在区间[-1,1]上选择n 个等距节点。
利用这些节点进行插值，我们可以得到一个n次多项式来拟合所给的函数。
然而，当n增大时，插值多项式在区间的两个端点附近会出现振荡现象，即多项式值在两个端点附近迅速增大然后迅速减小，最终达到函数值的波动。
为了更好地理解龙格现象，我们可以通过一个简单的例子来说明。
考虑函数f(x)=1/(1+25x^2)，我们在区间[-1,1]上选择不同数量的等距节点进行插值。
首先，选择5个等距节点进行插值，得到插值多项式P5(x)。
在图表中我们可以观察到，P5(x)在区间的两个端点附近出现了振荡现象。
随着节点数量的增加，振荡现象变得更加明显。
当节点数量增加到10时，插值多项式P10(x)的振荡现象更加明显。
这说明了龙格现象的存在。
为了解决龙格现象，我们可以采用非等距节点进行插值。
非等距节点插值可以通过使用更加合适的节点分布来减小振荡现象。
例如，在区间[-1,1]上使用Chebyshev节点进行插值可以有效地减小龙格现象的影响。
龙格现象在实际应用中具有重要的意义。
在数值计算中，我们经常需要使用插值来近似函数值。
如果不了解龙格现象，仅仅选择等距节点进行插值可能会导致误差的增大。
因此，了解龙格现象的存在和原因对于选择合适的插值方法具有重要的指导意义。
龙格现象是等距节点插值中的一个振荡现象，会导致插值多项式在区间的两个端点附近出现振荡。
为了解决龙格现象，可以采用非等距节点进行插值。
了解龙格现象的存在和原因对于数值计算具有重要的指导意义。
数值分析中的插值误差控制技巧
数值分析中的插值误差控制技巧数值分析是一门研究如何用计算机来解决数学问题的学科，其中插值是其中重要的一个部分。
插值是一种通过已知点之间的函数值来估计其他点上函数值的方法。
在插值过程中，控制误差是至关重要的。
本文将介绍一些数值分析中常用的插值误差控制技巧。
1. Lagrange插值多项式Lagrange插值多项式是一种常用的插值方法，其基本思想是通过已知的n个数据点构造一个n次多项式，并用该多项式来逼近未知点上的函数值。
然而，由于插值多项式的次数较高，可能会导致龙格现象，即在边缘数据点处出现极大的振荡。
为了控制误差，可以通过限制插值多项式的次数或者选取合适的节点来减小插值误差。
2. 牛顿插值牛顿插值是另一种常用的插值方法，其特点是可以通过差商来递推地构造插值多项式。
相比于Lagrange插值，牛顿插值在计算上更为高效。
为了控制误差，可以利用插值节点的分布来提高插值多项式的逼近性能。
此外，还可以使用割裂余项来估计插值误差，从而进行误差控制。
3. 分段插值分段插值是一种将插值区间划分为若干子区间，然后在每个子区间内进行插值的方法。
通过合理地选择子区间的位置和插值方法，可以在整体上减小插值误差。
常见的分段插值方法包括分段线性插值、分段三次样条插值等。
在实际应用中，可以根据具体问题选择合适的分段插值方法来控制误差。
4. 拉格朗日余项在插值问题中，拉格朗日余项是一种用来估计插值误差的重要工具。
拉格朗日余项可以帮助我们分析插值多项式与原函数之间的误差，从而指导我们如何调整插值方法来控制误差。
通过仔细分析拉格朗日余项，我们可以找到误差的来源，并采取相应的措施来降低误差。
总之，插值误差控制是数值分析中的一个重要问题。
通过合理地选择插值方法、插值节点以及分析插值余项，我们可以有效地控制插值误差，提高插值的准确性和稳定性。
希望本文介绍的插值误差控制技巧对您有所帮助。
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差值里的龙格现象实验
临床八年1004
张馨予
2204100412 一．实验任务：
由书上例子2.2和2.3表明适当的提高多项式的次数，有可能提高插值的精度，但是绝对不可能由此认为插值多项的次数越高越好。
此次试验的任务便是验证差值多项式里的龙格现象。
二．算法设计：
对函数f(x)=1/(1+25*x*x),(-1<=x<=1).先以xi=-1+2/5i(i=0,1,2,…,5)为节点做五次插值多项式P5(x)，再以xi=-1+1/5i(i=0,1,…,10)为节点做十次插值多项式P10(x)，并将曲线f(x)=1/(1+25*x*x),y=P5(x),y=P10(x)，在区间[-1,1]上，描绘在同一个坐标系。
程序设计，对于插值法，首先计算lagrange差值基本函数lk(x)。
再写出满足差值条件的n次插值多项式Ln(x)=yl(x)的总和。
三．计算机程序：
1．求5个点对应y值的m文件
function y=flongge2
x=-1:0.4:1
for i=1:length(x)
y(i)=1/(1+25*x(i)*x(i));
end
disp(y)
2.求10个点对应y值的函数文件
function y=flongge2
x=-1:0.2:1
for i=1:length(x)
y(i)=1/(1+25*x(i)*x(i));
end
disp(y)
3. 差值里的龙格现象
function f=Language(x,y,x0)
syms t;
if(length(x)==length(y))
n=length(x);
else
disp('xand y are not of the same demision');
return;
end
f=0.0;
for(i=1:n)
l=y(i);
for(j=1:i-1)
l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));
end;
for(j=i+1:n)
l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));
end;
f=f+l;
f=simplify(f);
if(i==n)
if(nargin==3)
f=subs(f,'t',x0)
else
f=collect(f);
f=vpa(f,6);
end
end
end
并在命令编辑器里输入x y 矩阵，以及f=Language(x,y)
4.龙格总图的m文件
functiontu=longgezongtu
fplot('-220.940*t^10+494.907*t^8-381.433*t^6+123.360*t^4-16.8552*t^2+1.',[-1,1] ),holdon;
fplot('1/(1+25*x*x)',[-1,1]), hold on;
fplot('1.20199*t^4-1.73079*t^2+.567309',[-1,1],1e-4),grid
四．调试以及运行结果
1.在命令编辑器里输入flongge2，得到十个点的对应y值：（截的图）
2.输入f，得到五个点对应的y值：
3.在命令编辑器里输入x矩阵，和y矩阵，以及f=Language(x,y)，就会得到对应
的两个差值公式:
y=-220.940*t^10+494.907*t^8-381.433*t^6+123.360*t^4-16.8552*t^2+1.
y=1.20199*t^4-1.73079*t^2+.567309
根据这两个公式编出可以输出图的程序。
在命令编辑器里输入longgezongtu,按下回车，得到图
五．结果分析
由图可以看出，虽然在局部范围内，如区间[0.2,0.2]中，P10(x)比P5(x)更好的逼近f(x),但从整体上，P10(x)并非是处处比P5(x)更好的逼近f(x)，尤其是在区间[-1,1]的两个端点的附近。
在大范围内使用高次插值法，逼近的效果可能不理想。
另一方面，差值误差除了来自截断误差之外，还来自初始数据的误差和计算过程中的舍入误差，差值次数越高，计算量越大，积累误差就越大。
六．实验心得：
其实在老师所给的三个题目当中选择“插值法中的龙格现象”，并不是初衷，因为这个涉及到编写4个m文件，任务比较繁多。
但是最终还是想挑战一下，当最后龙格现象总图的对话框跳出的时候，那种发自内心的成就感让我觉得这个选择是正确的。
通过这次试验，我觉得受益最大的就是对逻辑思维的又一次练习。
我的思路是这样逆推的：要想做出龙格现象的图，就要输入三个图像的函数，其中有一个是已知的，另外两个需要用插值法得出函数。
而得出函数需要输入x的5组或者10
组数据以及对应的y值。
而这些值需要用原函数算出。
其次，就是在理清这些思路之后，编写程序，实话实说，把书上的以公式形式给出的插值法转化成编程语言并非易事，但是根据书上的思路，先做出朗格朗日基本式，再写出插值函数即可，我们需要做的就是利用好循环程序。
这其中，参考了一些matlab教材。
最后，想说的就是，最大的体会就是，做数学建模，一定要有清晰的思路，不管是设计算法，还是编写程序，都要知道，你要做什么，做这些东西需要哪些步骤。