高三数学冲刺检测试题6

高考数学最后冲刺必读题解析（6）

5、已知两个向量)log ,log 1(22x x a +=，),(log 2t x b = )0(≠x . （1）若t =1且b a ⊥，求实数x 的值； （2）对t R 写出函数b a x f ⋅=)(具备的性质.

解

：

（

1

）

由

已

知得

0log 2log 222=+x x ……2分

2

log 0log 22-==x x 或

……4分 解

得

1

±=x ，或

4

1±

=x (6)

分 （

2）

x

t x x f 222log )1(log )(++=

……8分 具备的性质： ①偶函数； ②当2

1log 2t

x +-=即2

12

t x +-±=时，

)(x f 取得最小值4

)1(2

t +-

（写出值域为

)4

)1[2

∞++-，（t 也可）

； ③单调性：在]2,0(2

1t

+-

上递减，),2

[2

1+∞+-

t 上递增；由对称性，在)0,2[2

1t +-

-上

递

增

，

在

]

2

,(2

1t

+---∞递

减 ……

14分

说明：写出一个性质得3分，写出两个性质得5分，写出三个性质得6分，包括写出函数的零点（1±=x ，)1(2t x +-±=）等皆可。写出函数的定义域不得分，写错扣1分

6、已知函数12()(,0)4f t at t R a a

=-+∈<的最大值为正实数，集

合

}0|

{<-=x

a

x x A ，集合}|{22b x x B <=。 （1）求A 和B ；

（2）定义A 与B 的差集：A x x B A ∈=-|{且}B x ∉。

设a ，b ，x 均为整数，且A x ∈。)(E P 为x 取自B A -的概率，)(F P 为

x 取自B A 的概率，写出a 与b 的二组值，使32

)(=

E P ，3

1)(=F P 。 （3）若函数)(t f 中，a ，b 是（2）中a 较大的一组，试写出)(t f 在区

间[n 上的最大值函数()g n 的表达式。

解：（1）∵)()(12R t t b at t f ∈+-=，配方得a b

a

b t a t f 4122)()(-+-=，由0⇒>-b a

b 。……………………………………………………………3分

∴}0|{<<=x a x A ，}|{b x b x B <<-=。…………………………6分

（2）要使2)(=E P ，1)(=F P 。可以使①A 中有3个元素，B A -中有2个

元

素， B A 中有1个元素。则2,4=-=b a 。…………………………………………………9分

②A 中有6个元素，B A -中有4个元素， B A 中有2个元素。则3,7=-=b a …………………………………………………………………………12分

（3）由（2）知

21()4([])16

f t t t n n =--∈-…………………………13分

(

g n

1

16116

21

164,,0

4,0

n n n n --<≤-+>………………………………………………18分

7、⑴证明：当a ＞1时，不等式2

3

a 12a 13a a +>+成立。

⑵要使上述不等式2

3

a 12a 13a a +>+成立，能否将条件“a ＞1”适当

放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由。 ⑶请你根据⑴、⑵的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明。

解：（1）证：1)-1)(a -(a -a -a 5a 1a 12a 133

2

3

=+,∵a ＞1，∴1)-1)(a -(a 5a 13

＞

0，

∴原不等式成立 (6

)

（2）∵a-1与a 5-1同号对任何a ＞0且a 1恒成立，∴上述不

等式的条件可放宽 为a ＞0且a

1 (9

)

（3）根据（1）（2）的证明，可推知：若a ＞0且a 1，m ＞n ＞

0，则有n

m

a 1n a 1m a a +>+(12

) 证

：

左

式

-右式

=1)-1)(a -(a 1)-(a -1)-(a a -a -a n m n -m a 1n -m a 1n -m n a 1a 1n m +==+ (14)

若a ＞1，则由m ＞n ＞0a m-n ＞0,a m+n ＞0

不等式成立；

若0＜a ＜1，则由m ＞n ＞00＜a m-n ＜1, 0＜a m+n ＜1

不等

式成立.(16)

8、已知函数12

()log (1)f x x =+，当点00()P x y ，在()y f x =的图像上移动时，

点001

(

)2

x t Q y t R -+∈，（）

在函数()y g x =的图像上移动． （1） 若点P 坐标为（1-1，），点Q 也在()y f x =的图像上，求t 的值； （2） 求函数()y g x =的解析式；

（3） 当0t >时，试探求一个函数()h x 使得()()()f x g x h x ++在限定定义域为

[0 1)，时有最小值而没有最大值．

解：（1）当点P 坐标为（1-1，），点Q 的坐标为11( 1)2

t -+-，，…………

2分

∵点Q 也在()y f x =的图像上，∴1

2

1log (11)2

t -=-+，即0t =． (5)

分

（根据函数()y f x =的单调性求得0t =，请相应给分）

（2）设( )Q x y ，

在()y g x =的图像上 则

00

1

2x t x y y -+⎧⎪=⎨=⎪⎩，即

{

0021

x x t y y

=+-= ……………………………………8分 而00()P x y ，在()y f x =的图像上，∴0102

log (1)y x =+

代入得，1

2

()log (2)y g x x t ==+为所求．…………………………………

11分

（3）12

1()log 2x h x x t

-=+；或12

32()l o g

2x h x x t

-=+ 等． …………………15分