2021届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第七节双曲线教师文档教案文北师大版.doc

第七节 双曲线

授课提示：对应学生用书第167页

[基础梳理]

1．双曲线的定义

(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值(|F 1F 2|＝

2c >0)为非零常数2a (2a <2c )的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作焦距． (2)集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0. ①当2a <|F 1F 2|时，M 点的轨迹是双曲线； ②当2a ＝|F 1F 2|时，M 点的轨迹是两条射线； ③当2a >|F 1F 2|时，M 点不存在． 2．双曲线的标准方程与几何性质

图形

标准方程 x 2a 2－y 2

b 2

＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2

b 2

＝1(a >0，b >0)

性质 范围

x ≥a 或x ≤－a y ≤－a 或y ≥a 对称性

对称轴：坐标轴； 对称中心：原点 对称轴：坐标轴；

对称中心：原点

顶点 顶点坐标：A 1(－a ，0)，A 2(a ，

0)

顶点坐标：A 1(0，－a )，A 2(0，a )

渐近线 y ＝±b a x y ＝±a

b

x

离心率 e ＝c

a

，e ∈(1，＋∞)

实、虚轴 线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫作双

曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作

双曲线的虚半轴长

a ，

b ，

c 间的关系 c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)

1．在双曲线的定义中，|MF 1|－|MF 2|＝2a ，表示靠近F 2的一支，|MF 2|－|MF 1|＝2a ，表示靠近F 1的一支．

2．双曲线的焦点到渐近线的距离等于其虚半轴长．

3．方程x 2m －y 2

n ＝1(mn ＞0)表示的曲线

(1)当m ＞0，n ＞0时，表示焦点在x 轴上的双曲线． (2)当m ＜0，n ＜0时，则表示焦点在y 轴上的双曲线． 4．方程的常见设法

(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2

b

2＝λ(λ≠0)．

(2)若渐近线的方程为y ＝±b a x ，则可设双线曲方程为x 2a 2－y 2

b

2＝λ(λ≠0)．

[四基自测] 1．(基础点：双曲线的标准方程)以椭圆x 24＋y 2

3

＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为

( )

A ．x 2

－y 23＝1 B ．x 23－y 2＝1

C ．x 2

－y 22＝1 D.x 24－y 23

＝1

答案：A

2．(基础点：双曲线的定义)若双曲线E ：x 29－y 2

16

＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲

线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( ) A ．11 B ．9 C ．5 D.3 答案：B

3．(基础点：双曲线的渐近线)双曲线x 2－y 23

＝1的渐近线方程为________． 答案：y ＝±3x

4．(基础点：双曲线的焦距)双曲线x 23－y 2

2

＝1的焦距为________．

答案：2 5

授课提示：对应学生用书第167页

考点一 双曲线的定义及应用

挖掘1 利用定义求双曲线方程/ 自主练透

[例1] (1)已知两圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2，C 2：(x －4)2＋y 2＝2，动圆M 与两圆C 1，C 2都相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是( )

A ．x ＝0

B ．x 22－y 2

14

＝1(x ≥2)

C.x 22－y 214＝1

D.x 22－y 214＝1或x ＝0 [解析] 动圆M 与两圆C 1，C 2都相切，有四种情况：①动圆M 与两圆都外切；②动圆M 与两圆都内切；③动圆M 与圆C 1外切、与圆C 2内切；④动圆M 与圆C 1内切、与圆C 2外切．在①②情况下，显然，动圆圆心M 的轨迹方程为x ＝0；在③的情况下，设动圆M 的半径为r ， 则|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r － 2. 故得|MC 1|－|MC 2|＝22；

在④的情况下，同理得|MC 2|－|MC 1|＝2 2. 由③④得|MC 1|－|MC 2|＝±2 2.已知|C 1C 2|＝8，

根据双曲线定义，可知点M 的轨迹是以C 1(－4，0)，C 2(4，0)为焦点的双曲线，且a ＝2，c

＝4，b 2＝c 2－a 2

＝14，其方程为x 22－y 2

14

＝1.故选D.

[答案] D

(2)已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )

A.x 22－y 2

14＝1(x ≥2) B ．x 22－y 2

14＝1(x ≤－2)

C.x 22＋y 2

14＝1(x ≥2) D.x 2

2＋y 2

14

＝1(x ≤－2) [解析] 设动圆的半径为r ，由题意可得|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2，所以|MC 1|－|MC 2|＝22＝2a ，故由双曲线的定义可知动点M 在以C 1(－4，0)，C 2(4，0)为焦点，实轴长为2a ＝22的

双曲线的右支上，即a ＝2，c ＝4⇒b 2

＝16－2＝14，故动圆圆心M 的轨迹方程为x 22－y 2

14＝

1(x ≥2)． [答案] A

挖掘2 利用定义求点到焦点的距离/ 互动探究 [例2] (1)(2020·陕西师大附中模拟)设过双曲线x 2－y 2＝9右焦点F 2的直线交双曲线的左支于点P ，Q ，若|PQ |＝7，则△F 2PQ 的周长为( ) A ．19 B ．26 C ．43 D.50 [解析] 如图所示，由双曲线的定义

可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 2|－|PF 1|＝2a ， ①|QF 2|－|QF 1|＝2a ， ②

①＋②得|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |＝4a ， ∴△F 2PQ 的周长为|PF 2|＋|QF 2|＋|PQ | ＝4a ＋|PQ |＋|PQ |＝4×3＋2×7＝26. [答案] B

(2)(2020·河南郑州一模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，

实轴长为6，渐近线方程为y ＝±1

3

x ，动点M 在双曲线左支上，点N 为圆E ：x 2＋(y ＋6)2＝1

上一点，则|MN |＋|MF 2|的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D.11

[解析] 由题意知2a ＝6，则a ＝3，又由b a ＝1

3得b ＝1，所以c ＝a 2＋b 2＝10，则F 1(－10，

0)．根据双曲线的定义知|MF 2|＝2a ＋|MF 1|＝|MF 1|＋6，所以|MN |＋|MF 2|＝|MN |＋|MF 1|＋6＝|EN |＋|MN |＋|MF 1|＋5≥|F 1E |＋5＝

（10）2＋（－6）2＋5＝9，当且仅当F 1，M ，N ，E 共线

时取等号，故选B. [答案] B

(3)已知双曲线C ：x 216－y 2

b

2＝1(b ＞0)，F 1、F 2分别为C 的左、右焦点，过F 2的直线l 分别交C

的左、右支于点A 、B ，且|AF 1|＝|BF 1|，则|AB |＝( ) A ．4 B ．8