数学分析17.1多元函数微分学之可微性

第十七章 多元函数微分学

1可微性

一、可性性与全微分

定义1：设函数z=f(x,y)在点P 0(x 0,y 0)的某邻域U(P 0)上有定义，对于U(P 0)中的点P(x,y)=(x 0+△x,y 0+△y)，若f 在点P 0处的全增量可表示为： △z=f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0,y 0)=A △x+B △y+o (ρ)，其中ρ=22y x ∆+∆， o (ρ)是较ρ高阶的无穷小量，A,B 是仅与点P 0有关的常数， 则称函数f 在P 0可微. 并称A △x+B △y 为函数f 在点P 0的全微分， 记作dz|0

P =df(x 0,y 0)=A △x+B △y.

当|△x|,|△y|充分小时，dz 可作为△z 的近似值，即 f(x,y)≈f(x 0,y 0)+A(x-x 0)+B(y-y 0). 有时也表示为： △z= A △x+B △y+α△x+β△y ；其中)

0,0()y x,(lim

→∆∆α=

)

0,0()y x,(lim

→∆∆β=0.

例1：考察函数f(x,y)=xy 在点(x 0,y 0)处的可微性. 解：在点(x 0,y 0)处函数的全增量为：

△z=f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0,y 0)=y 0△x+x 0△y+△x △y.

∵

ρy x ∆∆ρ

y

∆≤ρ→0, ρ→0.∴△x △y=o (ρ)，∴f 在(x 0,y 0)处的可微， 且df=y 0△x+x 0△y.

二、偏导数

定义2：设函数z=f(x,y), (x,y)∈D, 若(x 0,y 0)∈D 且f(x,y 0)在x 0的某一邻

域内有定义，则极限x )y ,x (f lim

00x 0

x ∆∆→∆=x

)

y ,x (f )y x,x (f lim 00000x ∆-∆+→∆存在时，这个极限称为函数f 在(x 0,y 0)关于x 的偏导数，记作： f x (x 0,y 0)或z x (x 0,y 0),

)y ,(x 0

x

f

∂∂,

)

y ,(x 00x

z ∂∂.

同样定义f 在点(x 0,y 0)关于y 的偏导数为：f y (x 0,y 0)或)

y ,(x 00y

f ∂∂.

若f 在区域D 上每一点(x,y)都存在对x(或对y)的偏导数，则f 在区域D 上对x(或对y)的偏导函数(简称偏导数)，记作：f x (x,y)或x

y)

f(x,∂∂ (f y (x,y)或y y)f(x ,∂∂) 也简写为f x ,z x 或x f ∂∂,x

z ∂∂( f y ,z y 或y f ∂∂,y z ∂∂).

注：1、这里符号

x ∂∂,y ∂∂专用于偏导数运算，与一元函数的导数符号dx

d

相似，又有差别；

2、定义中，f 在点(x 0,y 0)存在关于x(或y)的偏导数，f 至少在 {(x,y)|y=y 0,|x-x 0|<δ}(或{(x,y)|x=x 0,|y-y 0|<δ})上必须有定义.

二元函数偏导数的几何意义：设P 0(x 0,y 0,z 0)是曲面z=f(x,y)上一点，过

P 0作平面y=y 0与曲面的交线为C ：其中⎩

⎨⎧==y),x (f z y y 0

是平面上的一条曲线.

因此，f x (x 0,y 0)作为一元函数f(x,y 0)在x=x 0的导数，就是曲线C 在点P 0处的切线T x 对于x 轴的斜率，即T x 与x 轴正向所成倾角的正切tan α.

同样的，f y (x 0,y 0)是平面x=x 0曲面z=f(x,y)的交线⎩

⎨⎧==y),x (f z x x 0

在点P 0处的

切线T y 关于y 轴的斜率tan β.

例2：求函数f(x,y)=x 3+2x 2y-y 3在点(1,3)关于x 和关于y 的偏导数. 解法1：f x (1,3)=1

x dx

df(x,3)==3x 2+12x 1

x ==15；

f y (1,3)=

3

y dy

y)df(1,==2-3y 2

3

y ==-25.

解法2：∵f x (x,y)=3x 2+4xy ，∴f x (1,3)=15；又f y (x,y)=-3y 2+2x 2，∴f x (1,3)=-25.

例3：求函数z=x y (x>0)的偏导数. 解：z x =yx y-1；z y =x y lnx.

例4：求三元函数u=sin(x+y 2-e z )的偏导数.

解：u x =cos(x+y 2-e z )；u y =2ycos(x+y 2-e z )；u z =-e z cos(x+y 2-e z ).

三、可微性条件

定理17.1：(可微的必要条件)若二元函数f 在定义域内一点(x 0,y 0)可微，则f 在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且△z=A △x+B △y+o (ρ)中A=f x (x 0,y 0), B=f y (x 0,y 0). 即全微分df

)

y ,(x 00=f x (x 0,y 0)·△x+f y (x 0,y 0)·△y.

或dz=f x (x 0,y 0)dx+f y (x 0,y 0)dy. f 在D 上全微分为df(x,y)=f x (x,y)dx+f y (x,y)dy.

例5：考察函数f(x,y)=⎪⎩

⎪⎨⎧

=+≠++0y x 00y x y x xy 222222

，在原点的可微性.

解：根据偏导数的定义，f x (0,0)=x

)

0,0(f )x,0(f lim

x ∆-∆→∆=0; 同理f y (0,0)= 0;