第4节 单摆

第4节 单摆

一、单摆

阅读教材第13页前两段，知道单摆的组成及理想化条件。 1.单摆

用细线悬挂着小球在竖直平面内摆动，如果细线的质量与 相比可以忽略， 与线长度相比也可以忽略，空气等对小球的阻力与它受到的重力及绳的拉力相比可以忽略，这样的装置就叫做单摆。

2.单摆是实际摆的 模型。我们总要尽量选择质量 、体积 的球和尽量 的线。

二、单摆的回复力

阅读教材第13～14页，知道单摆运动过程中回复力的来源及回复力的特点。 1.

单摆的回复力是由重力沿圆弧 方向的分力F ＝mg sin θ 提供的。

2.如图1所示，在最大偏角很小的条件下，sin θ≈x

l ，其中x 为摆球偏离平衡位置

O 点的位移。

图1 单摆的回复力F ＝－mg l x ，令k ＝mg l

， 则F ＝－kx 。

3.在偏角很小的情况下，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成，方向总是指向，因此单摆做。

思考判断

(1)单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力。()

(2)单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力。()

(3)单摆经过平衡位置时受到的合力为零。()

(4)单摆是一个理想化的模型。()

三、单摆的周期

阅读教材第14～17页，了解影响单摆振动周期的因素及探究单摆周期与摆长的关系的过程，初步掌握周期公式。

1.探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响

(1)探究方法：法。

(2)实验结论：①单摆振动的周期与摆球质量。

②振幅较小时周期与振幅。

③摆长越长，周期；摆长越短，周期。

2.周期公式

(1)提出：周期公式是荷兰物理学家首先提出的。

(2)公式：T即单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成，与重力加速度g的二次方根成，而与振幅、摆球质量无关。

思考判断

(1)摆球的质量越大，周期越大。( )

(2)单摆的振幅越小，周期越小。()

(3)单摆的摆长越长，周期越大。()

四、用单摆测定重力加速度

阅读教材第17页，了解用单摆测定重力加速度的实验原理及方法步骤。

1.实验原理

单摆在偏角很小(不大于5°)时的运动，可看成简谐运动，其固有周期T＝2πl g，

可得g＝。据此，通过实验测出和，即可计算得到当地的重力加速度值。

2.实验器材

铁架台及铁夹、金属小球(上面有一个通过球心的小孔)、秒表、细线(长1 m左右)、刻度尺(最小刻度为1 mm)、游标卡尺。

3.实验步骤

(1)让细线穿过球上的小孔，在细线的一端打一个比孔稍大一些的线结，制成一个单摆。

(2)把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂。

(3)用刻度尺测量单摆的摆长(摆线静止时从悬点到球心间的距离)。

(4)把此单摆从平衡位置拉开一个角度，并使这个角小于等于5°，再释放小球。当摆球摆动稳定以后，过最低点位置时，用秒表开始计时，测量单摆全振动30次(或50次)的时间，求出一次全振动的时间，即单摆的振动周期。

(5)改变摆长，反复测量几次，将数据填入设计好的表格。

思考判断

(1)实验中测单摆的振动周期次数时，应从单摆运动到两侧时开始计时。()

(2)形成圆锥摆运动也不影响单摆周期的测定。()

(3)把49个周期错记成50次，测得的g值比真实值偏大。()

对单摆模型的理解

[要点归纳]

1.运动规律：摆球以悬点为圆心做变速圆周运动，也是以平衡位置为中心的往复运动。

2.受力规律

(1)在运动过程中只要v≠0，半径方向一定有合力。

(2)在运动过程中只要不在平衡位置，小球一定受回复力。(3)在平衡位置，回复力为零，小球的合力并不为零，合力提供圆周运动的向心力。

[精典示例]

[例1]关于单摆，下列说法中正确的是()

A.单摆摆球所受的合外力指向平衡位置

B.摆球经过平衡位置时加速度为零

C.摆球运动到平衡位置时，所受回复力等于零

D.摆角很小时，摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比 [针对训练1] (多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是( )

A.摆线质量不计

B.摆线长度不伸缩

C.摆球的直径比摆线长度小得多

D.单摆的运动一定是一种简谐运动

对单摆的周期公式的理解

[要点归纳] 1.对摆长l 的理解

(1)摆长应是从悬点到摆球重心的长度，摆长等于摆线长加上摆球半径。 (2)等效摆长：如图(a)中，摆球半径为r ，甲、乙两摆在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l sin α＋r 。如图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在平行纸面方向小角度摆动时，与丙摆等效。

2.影响g 的主要因素

(1)公式中的g 由单摆所在的空间位置决定。若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g 由单摆所处的空间位置决定，即g ＝

GM

R 2

，式中R 为物体到地心的距离，g 随所在地表的位置和高度的变化而变化，另外，在不同星球上M 和R 一般不同，g 也不同。

(2)g 值还受单摆系统的运动状态影响。若单摆系统处在非平衡状态(如加速、减速、完全失重状态)，则一般情况下，g 值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时摆线所受的张力与摆球质量的比值。

[精典示例]

[例2]有一单摆，其摆长l＝1.02 m，已知单摆做简谐运动，单摆振动30次所用的时间t＝60.8 s，试求：

(1)当地的重力加速度是多大？

(2)如果将这个单摆改为秒摆，摆长应怎样改变？改变多少？

计算单摆的周期的两种方法

计算单摆的周期有两种方法，一是依据T＝2πl

g，二是根据T＝

t

N。第一种方法

利用了单摆的周期公式，计算的关键是正确确定摆长。第二种方法是粗测周期。利用该种方法计算周期，会受到时间t和振动次数N测量误差的影响。

[针对训练2]已知单摆a完成10次全振动的时间内，单摆b完成6次全振动，两摆长之差为1.6 m，则两单摆摆长l a与l b分别为()

A.l a＝2.5 m，l b＝0.9 m

B.l a＝0.9 m，l b＝2.5 m

C.l a＝2.4 m，l b＝4.0 m

D.l a＝4.0 m，l b＝2.4 m