二重积分的变量变换公式 用极坐标计算二重积分

( x, y ) J cos ( r , ) sin
r sin r r cos
f ( x, y ) d x d y
D D
f (r cos , r sin ) r d r d
例1. 计算
e
D
x y x y
d xd y
其中D 是 x = 0, y = 0,
D
r
f ( x , y ) d x d y
D
f ( r cos , r sin ) r d r d
(i) 若原点在 D 外，D : r1 ( ) r r2 ( ), , 则

D
f ( r cos , r sin )r d r d

D
d



r2 ( )
r1 ( )
f ( r cos , r sin )r d r
O
r r2 ( )
(ii) 若原点在 D 内，则
D
r r1 ( )

x
r r ( )
f (r cos , r sin )r d r d f ( r cos , r sin )r d r d
y
y x y x y 2 nx D y 2 mx

v
D

O
x
O m
n
u
二、用极坐标计算二重积分
当积分区域是圆域或圆域的一部分, 或者被积函数 含有 x2 + y2 时，采用极坐标变换往往能简化二重 积分的计算. 此时,
x r cos , y r sin ( x , y ) cos r sin J (r , ) sin r cos
hk J (u, v) hk
因此面积元素的关系为 d J (u , v) d u d v 从而得二重积分的换元公式:
D f ( x, y) d x d y f ( x(u, v), y (u, v)) J (u, v) d u d v D
例如, 直角坐标转化为极坐标时, x r cos , y r sin
2 r( ) 0 0
D
O
x
(iii) 若原点在 D 的边界上， 则

r r ( )
D

f (r cos , r sin )r d r d O f ( r cos , r sin )r d r d
D
r( ) 0
x
r r2
(iv) 若区域 D 可表示为

R cos 0
R r rdr
2 2
z
y
r R cos
D
R
o x
4 3 2 R ( ) 3 2 3
y
x
例5. 计算 其中 解
rR
D: x y R .
2 2 2
r
2
作极坐标系变换，有
I e r d r d d 0 r e 0
D
2
R
r 2
(3) 变换T : D D 是一一对应的 ,
D
o
x
则

D
f ( x, y) d x d y
D
f ( x( u, v ), y( u, v )) J ( u, v ) d u d v
证: 根据定理条件可知变换 T 可逆.
v
vk v
M4 M1
在 u ov坐标面上 , 用平行于坐标轴的
直线分割区域D, 任取其中一个小矩 形, 其顶点为
D
M3
o
M2
uபைடு நூலகம்uh u
(u, v) , (u h, v), M1 M2 (u h, v k ) , M 4 (u, v k ). M3
通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边 形, 其对应顶点为M i ( xi , yi ) (i 1, 2, 3, 4)
例3. 计算
I
D
d 1 x2 y2
2 2
其中
D: x y R .
2
例4. 求球体 x2 y2 R x 解
V 4
D
被圆柱面
所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 由对称性可知
R 2 x 2 y 2 d 4
D
R2 r 2 r d r d
2 2
T
y
M4
D
M3 M2
M1
令 h k , 则 x x2 x1 x(u h, v) x(u, v) h o( ) u (u , v)
o
x
x4 x1 x(u, v k ) x(u, v) x k o( ) (u , v) v y y y 同理得 2 h o( ) 1 u (u , v) y k o( ) y4 y1 v (u , v)
y
1
x + y = 1 所围区域.
解 令 u x y , v x y, 则
1 1 x ( u v ), y (v u), 2 2 1 1 1 2 2 , J (u, v ) 1 1 2 2 2
O
1 1
1
x
v
O
1 u
e
D
x y x y
1 1 dxdy e dudv dv e du 0 v 2 2 D

y2 2 d xd b
y
( x, y ) a cos J b sin ( r , )
a r sin abr b r cos
V 2 c
D
1 r 2 a b r d r d
2
2 abc
0
d
1
0
4 1 r r d r abc 3
§4
二重积分的变量变换
二重积分的变量变换公式 用极坐标计算二重积分
一、二重积分的变量变换公式
v
定理21.13
变换:
设 f ( x, y ) 在闭域 D上连续,
x x(u, v) (u, v) D D o T : y y (u, v) u 满足 (1) x(u, v) , y (u, v) 在 D上一阶偏导数连续; T y (2) 在 D上 雅可比行列式 ( x, y ) D J (u , v) 0; (u , v)
2
D : 1 (r ) 2 (r ), r1 r r2 ,
2 (r )
r r1
O
D

D
r1
f ( r cos , r sin )r d r d
1 ( r )
r1 r2
x
rdr
r1

2 (r )
1 (r )
f ( r cos , r sin ) d
dr
( 1 e
由于 e
x2
R 2
)
的原函数不是初等函数 ,
故本题无法用直角 坐标计算.
例6. 求椭球体 x2 y2 解: 取 D : 2 2 1, 由对称性 a b
令 x a r cos , y b r sin , 则
的体积V.
2 c
D
2 x 1 2 a
1 v u v
u v
u v
1 1 1 e-e 1 1 v (ve ) |v dv 0 v (e - e ) dv 2 4 2 0
1
例2. 求抛物线 y2 = mx, y2 = nx 和直线 y x, y x 所围区域 D 的面积. (0 m n, 0 ) y2 y 解 令 u , v x x
当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四
边形, 故其面积近似为
x2 x1 y2 y1 M 1M 2 M 1M 4 x4 x1 y4 y1

x y h k u u x y h v k v

x u y u
x v y v