一阶常微分方程的奇解知识交流

一阶常微分方程的奇
解
摘要 (3)
1.何谓奇解 (3)
2.奇解的产生 (4)
3.包络跟奇解的关系 (5)
4.理论上证明C-判别曲线与P-判别曲线方法 (6)
4.1 克莱罗微分方程 (10)
5.奇解的基本性质 (13)
5.1 定理１ (13)
5.2 定理２ (15)
5.3 定理３ (15)
6.小结 (16)
参考文献： (16)
一阶常微分方程的奇解
摘要
在常微分方程中，我们知道方程的解可以有多种，现在我们来讨论求奇解的方法。

我们看到某些微分方程，会存在一些特殊的积分曲线，他并不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。

从而我们引出了积分曲线族的包络，而为了求微分方程的奇解，，我们应先求出他的通解，然后求通解的包络。

关键词：奇解，包络，C-判别式，P-判别式
1.何谓奇解
设一阶隐式方程),,(,y y x F =0有一特解
)(:x y ψ=Γ，j x ∈
如果对每一点Γ∈P ，在P 点的任何一个领域内，方程),,(,y y x F =0都有一个不同于Γ的解在P 点与Γ相切，则称Γ是微分方程的),,(,y y x F =0的奇解
定义：如果一个一阶微分方程的一个特解的积分曲线上的每一点都至少和这个微分方程的不同的积分曲线相切，并且这相切的积分曲线在切点的任何邻域内都不重合，则称这个特解为这个微分方程的奇解
2.奇解的产生
先看一个例子，求方程
033=-⎪⎭
⎫ ⎝⎛y dx dy （1） 或与它等价的方程 3y dx
dy = 的解。

经分离变量后，可得（1）的通解
3)(27
1c x y += 容易看出，y=0也是原方程的一个解。

现在来研究这个解y=0有什么特殊的地方。

由图我们看到，在解y=0上的
每一点)0,(0x 处相切，这种特殊的积分曲
线y=0称为奇积分曲线，他所对应的解
就是奇解，这就是奇解的产生。

我们现在给出曲线族包络的定义
某些微分方程，存在一些特殊的积
分曲线，会存在一些特殊的积分曲线，
他并不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。

在几何学里，这些特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络，在微分方程里，这些特殊的积分曲线所对应的解酒称为方程的奇解。

设给定单参数曲线族
0),,(=Φc y x （1）
其中C 是参数，),,(c y x Φ是x,y,c 连续可微函数。

曲线族（1）的包络是指这样的曲线，他本身并不包含在曲线族（1）中，但过这曲线的每一点，有曲线族（1）中的一条曲线和他在这点相切。

例如，单参数曲线族
222)(R y c x =+-
（这里的R 是常数，C 是参数）表示圆心为（C ，0）而半径为R 的一族圆，此曲线族显然有包络
y=R 和 y=-R
（见图1）
3.包络跟奇解的关系
由奇解和包络的定义显然可知，若方程0),,(,=y y x F 的积分曲线族（即通解所对应的曲线族）的包络如果存在，则必定是方程0),,(,=y y x F 的奇解。

事实上，在积分曲线族包络上的点（x,y ）处的x,y 和,y （斜率）的值和在该点与包络相切的积分曲线上的x,y 和,y 满足方程0),,(,=y y x F 。

这就是说，包络是积分曲线。

其次，在包络的每一点，积分曲线族中都至少有一条曲线与包络相
切。

因此，包络是奇解，由此可知，如果知道了微分方程0),,(,=y y x F 的通积分，那么该通积分的包络就是奇解。

4.理论上证明C-判别曲线与P-判别曲线方法
但是，一般的曲线族并不一定有包络，例如同心圆族、平行直线族都是没有包络的，从而我们引出了C-判别曲线与P-判别曲线。

从奇解的定义可知，奇解是一种具有特殊几何意义的特解。

正如我们已见到的例子，在求解微分方程时只要注意一些例外情况就会得到这种特解. 这些奇解都是由定义来判定的. 但是由定义来判定奇解比较麻烦，下面介绍两种判别同时也是求奇解的方法：
由微分几何学可知，曲线族（1）的包络包含在由下列方程组
⎩⎨⎧=Φ=Φ0
),,(0),,(,c y x c y x c 消去 c 得到所谓 c -判别曲线．必须注意，在C-判别式曲线中有时出去包络外，还有其他曲线。

例1 求直线族
0sin cos =-+p y x αα (1)
的包络，这里的α是参数，P 是常数。

解：将（1）对α求导，得到
0cos sin =+-ααy x （2）
为了从（1），（2）中消去α，将（2）移项，然后平方，有
22222sin cos 2sin cos P =++ααααxy y x （3）
将（2）平方，又得
0sin cos 2cos sin 2222=-+ααααxy y x
（4） 将（3），（4）相加，得到
222P y x =+
（5） 容易检验，（5）是直线（1）的包络（见图2）
例2 求曲线族
0)(32)(2
2=---c x c y （6）
的包络。

解：将（6）对C 求导数。

得到
0)(3.32
)(22=-•+--c x c y
即
0)(2=---c x c y （7）
为了从（6）和（7）消去C ，将（7）代进（6），得
0)(32
)(34=---c x c x
即
032)()(3=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡---c x c x ， 从x-c=0得到
y=x （8）
从03
2=--c x 得到 9
2-=x y （9） 因此，C-判别曲线包括两条曲线（8）和（9），容易检验直线y=x 不是包络，
而直线9
2-=x y 是包络（见图3）
值得注意的是，在 c 判别曲线中除了可能有的包络(即奇解)外，还可能是曲线族中奇点的集合, 在奇点,曲线没有确定的切线. 因此这种 c 判别曲线不是解；还可能是不与积分曲线族相切的曲线.
这里介绍另外一种求奇解的方法。

由存在唯一定理知道，如果),,(,y y x F 关于x,y,,y 连续可微，则只要
0,
≠∂∂y F 就能保证解的唯一性，因此，奇解（存在的话）必须同时满足下列方程
),,(,
y y x F =0 0),,(,,=∂∂y y y x F （10） 于是我们有下面结论：
方程
0),,(=dx
dy y x F 的奇解包含在由方程组
⎪⎩⎪⎨⎧==0
),,(0),,(,p y x F p y x F p （11） 消去P 而得到的曲线中，这里F （x,y,p ）是x,y,p 的连续可微函数，此曲线称为方程（10）的P-判别曲线。

P-判别曲线是否是方程的奇解，需要进一步的检验
例3 求方程01)(
22=-+y dx
dy 的奇解。

解：从 ⎩⎨⎧==-+0
20122p y p 消去P 得到P-判别曲线
1±=y
容易验证，此两直线都是方程的奇解。

因为容易求得原方程的通解为：
y=sin(x+c)
而1±=y 是微分方程的解，且正好通解的包络。

例4 求方程2
2⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dx dy dx dy x y 的奇解
解：从 ⎩⎨⎧=--=0
2222
p x p xp y
消去P 得到P_判别曲线
2x y =
但2x y =不是方程的解，故此方程没有奇解
强调指出：上面介绍的两种方法，只是提供求奇解的途径，所以C-判别曲线与P-判别曲线是不是奇解，必须进行检验
补充：
4.1 克莱罗微分方程
形如 )(p f xp y += （12） 的方程，称为克莱罗微分方程，这里dx dy p =
，)(p f 是P 的连续可微函数，现在我们进一步讨论：
将（12）两边对x 求导，并以p dx
dy =代入，即得 dx dp p f p dx dy x
p )(,++=， 即
0))((,=+p f x dx dp 如果
0=dx dp ，则得到 P=C
将它代入（12），得到
)(c f cx y += （13）
这里的C 是任意常数，这就是（12）的通解。

如果0)(,=+p f x ，将它和（12）合并起来
⎩⎨⎧+==+)
(0)(,p f xp y p f x （14） 消去P 也得到方程的一个解。

注意，求得此解的过程真好与从通解（13）中的求包络的手续一样。

可以验证，此解的确是通解的包络，由此，我们知道，克莱罗微分方程的通解就是一直线族（在原方程以C 代P 即得），此直线族的包络就是方程的奇解。

例5：求解方程p xp y 1+
= 解：这就是克莱罗微分方程，因而它的通解就是
c
xc y 1+= 从 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+==-c cx y c x 1012 中消去C ，得到奇解
x y 42=
这方程的通解就是直线族，而奇解就是通解的包络
例6 求一曲线，使其在其上的每一点的切线截割坐标轴而成的直角三角形（见（图例6）中的三角形OAB ）的面积都等于2
解：设所要求的曲线切线方程为 1=+b
y a x 依题意有 ab=4
而 dx
dy a b -= 由上述三式消去a,b 得
dx dy dx dy x y 42-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛- 或 dx dy dx dy x
y -±=2 这是克莱罗微分方程，其通解为
x c c c x c y 21122-=-±= )0(1<c ，
这里1c c -±=为任意常数，易见此直线族的每一条直线都是满足题意的解。

现在求曲线族的包络，亦即微分方程的奇解，为此，从
⎩⎨⎧=--=0
122cx x c c y 中消去C 得到微分方程的奇解1=xy ，这是等腰双曲线，显然他就是满足要求的解。

现在，可以引进奇解的概念：微分方程的某一个解称为奇解，如果在这个解的每一点上至少还有方程的另外一个解的存在，也就是说奇解就是这样的一个解，在他上面的每一点至少有方程的两条积分曲线通过。

5.奇解的基本性质
5.1 定理１ 设),,(p y x F 及其各一阶偏导数是),,(p y x 的连续函数，若方程),,(dx
dy y x F 有奇积分曲线，则它必包含在P-判别曲线0),,(=y x ϕ之中 定理1 的性质是，在满足定理中连续可微的条件下，奇积分曲线必须从P-曲线中寻找，但是从P-判别曲线0),,(=y x ϕ中分解出来的一支或数支连续曲线是否就是),
,(dx
dy y x F 的奇积分曲线，尚需要进一步的依次验证：（1）该支曲线是),,(dx dy y x F 的积分曲线 ；（2）该支曲线上每一点处至少还有),,(dx
dy y x F 的另外一条积分曲线经过，且两者在该点相切。

如果（1）不成立，则该支曲线仅是一般的积分曲线，不是奇积分曲线，只有当（1）和（2）都成立时，该支曲线才是奇积分曲线，而他所对应的解才是奇解 例 1 重新考虑：0)(23=-y dx
dy 解 记p dx
dy =，则 0),,(23=-≡y p p y x F
032=-∂∂p p
F 消去P ，即得到P-判别曲线y=0，由本节开始时的讨论可知，他是奇解
如果把例1的0)(23=-y dx dy 改成032=-y dx dy ，仍记p dx
dy =，可得 0),,(32
=-≡y p p y x F
01≠=∂∂p F 即从P-判别式得不到曲线。

看来似乎与前面的讨论有矛盾，其实不然，因为这
里31
32--=∂∂y p F ，在y=0上不存在，而定理中假设y F ∂∂是连续的 例2 求方程01)(22=-+y dx
dy 的奇解 解 从0122=-+≡y p F ，
02==∂∂p p F 消去P ，得P-判别曲线012=-y ，他分解成两支y=-1和y=1,用直接代入的方法容易验证这两支都是方程的解，又因为方程可以写为
,12y dx
dy -±= 即 dx y dy
±=-21
故积分得 c x y +±=arcsin
于是得
[])sin()(sin c x c x ++-=+--ππ
=sin(x+c),
由于C 是任意常数，因此)sin(c x y +=与)sin(c x y +-=可以合并写成
)sin(c x y +=。

容易验证，对任意常数C ，他的确是原方程的解，这是一簇正弦曲线（如图），1±=y 上的每一点都与积分曲线族)sin(c x y +=中的一条曲线相切，故1±=y 是奇解
例3 求方程2,,2y xy y -=的奇解
解 记22),,(p xp y p y x F +-=。

F 关于(x,y,p)连续可微，符合定理条件。

由022=+-=∂∂p x p
F 得P=X ，代入0),,(=p y x F 中以消去P ，得P-判别曲线,02=-x y ，即,2x y =，通过直接验证可知,2x y =不是解，故原方程没有奇解，
5.2 定理２ 从定义知道，一阶微分方程的通解的包络一定是奇解；反之，微分方程的奇解（若存在的话）也是微分方程通解的包络，因而，为了求微分方程的奇解，可以先求出它的通解，然后求通解的包络。

5.3 定理３ 设),,(c y x Φ及其各一阶偏导数是（x,y,c ）d 连续函数，若),,(c y x Φ=0有包络，，并且该包络是一条连续曲线，且有连续转动的切线，则它必包含在C 判别曲线0),(=y x ϕ之中，必须指出，从C 判别曲线0),(=y x ϕ中分解出来的一支或数支曲线是否是包络，尚需要进一步按包络的定义验证 例4 求曲线0)()(32=---c x c y 的包络
解 命0)3()(),,(32=---≡Φx c y c y x ，则
0)(3)(22=-+--=∂Φ∂c x c y c
为了消去C ，将第二式代入第一式，得
0)9
4()(3=---c x c x 由x=c 得y=x ；再由094=-
-c x 得27
4-=x y 。

因此C 判别曲线分解成两条直线y=x 和274-=x y ，容易看出，y=x 不是包络，274-=x y 是包络
6.小结
综上所述，一阶常微分方程的奇解求解过程涉及了数学的许多理论知识与技巧，是个综合性问题。

一阶常微分方程的奇解可以有多种求法，例如C-判别法还有Ｐ－判别法，我们也可以根据其方程的性质来求其包络望以后能有更大的发现，得以广泛的应用！
参考文献：
《常微分方程及其应用—方法、理论、建模、计算机》科学出版社
《常微分方程》浙江大学出版社
《常微分方程》第三版高等教育出版。