初中数学逆向思维的教学案例

初中数学逆向思维的教学案例

初中数学逆向思维的教学案例【案例背景:】人们习惯于沿着事物发展的正方向去思考问题并寻求解决办法。其实，对于某些问题，尤其是一些特殊问题，从结论往回推，倒过来思考，从求解回到已知条件，反过去想或许会使问题简单化，使解决它变得轻而易举，甚至因此而有所发现，创造出惊天动地的奇迹来，这就是逆向思维和它的魅力。

有一道趣味题是这样的:有四个相同的瓶子，怎样摆放才能使其中任意两个瓶口的距离都相等呢,可能我们琢磨了很久还找不到答案。那么，办法是什么呢,原来，把三个瓶子放在正三角形的顶点，将第四个瓶子倒过来放在三角形的中心位置，答案就出来了。把第四个瓶子“倒过来”，多么形象的逆向思维啊～

一、从正、逆两个方向去理解概念

数学概念、定义总是双向的，因此在概念的教学中，除了让学生理解概念本身及其常规应用外，还要善于引导启发学生反过来思考，从而加深理解概念的内涵和外延。作为定义的数学命题，其逆命题总是成立的。因此，学习一个新概念，如果注意从逆向提问，学生不仅对概念辨析得更清楚，理解得更透彻，而且能够培养学生养成双向考虑问题的良好习惯。

如:讲述:“同类二次根式”时明确“化简后被开方数相同的几个二次根式是同类二次根式”。反过来，若两个根式是同类二次根式，则必须在化简后被开方数相同。

与是同类二次根式，求x 例1、若

略解，2x-1=2-x，即x,1。

如:“方程的解”这一概念，它就包含了以下两方面的特征:“凡使方程左右两边的值相等的未知数的值，就是方程的解”与“方程的解，就是使方程左右两边的值相等的未知数的值”。还可以通过下列问题进一步认识方程的解的特征。

2例2、不解方程，求作一个新方程，使它的根分别是方程x,6x，5,0的两根的 2倍。

略解，若设所求方程的根y，依题意，y=2x，则x=，因为是已知方程的根，所以()22,6×+5,0，即y,12y，20= 0即为所求方程(

2222例3、已知a?b，且a，3a,7,0，b，3b一7=0，求 a，b

2解: 由方程根的定义知， a、b是方程x，3x,7=0的两根，

222?a，b,,3，ah=一7，?a，b=(a，b)-2ab=23。

二、加强公式逆向应用的训练

数学中的公式都具有双向性。正向运用它们的同时，加强公式的逆向应用训练，不仅可以加深学生对公式的理解的掌握，培养学生灵活运用公式的能力，还可以培养学生的双向思维能力。

例4、设a、b、c、d均为实数，且ad,bc=1，,l，

求abcd的值。

分析:由第二个等式联想到用完全平方公式(

由已知得，即:

即得 a, b= d,,c，而 ad,bc= l，可得 =，从而得 abcd=一=- 三、逆用运算法则的训练

数学中的很多运算都有一个与它相反的运算作为逆运算，如:加法和减法、乘法和除法、乘方和开方都是互为逆运算，彼此依存，共同反映某种变化中的数量关系。而且在同一级运算中，可以互相转化，如利用相反数的概念，减法可以转化为加法，利用倒数的概念，除法可以转化为乘法。

例5、计算，

作变形。有些学生竟然对它进行通分，却不会逆用分式的减法法则

解:原式,

例6、已知:，，求:的值.

分析:该题将同底数幂除法法则逆用后得到结果。

解:原式.

四、定理教学中逆向思维的训练

不是所有的定理的逆命题都是正确的，引导学生探究定理的逆命题的正确性，不仅能使学生学到的知识更加完备，而且能激发学生去探索新的知识。

勾股定理、一元二次方程根的判别式定理、韦达定理的逆定理都是存在的，应用也十分广泛。

例7、设、、满足，求:的取值范围。

解:原方程组变形得:，根据韦达定理的逆定理可知:

、为关于的一元二次方程的两根，

的取值范围为:。

五、加强执果索因的思维方法训练(即分析法训练)

分析法是执果索因，综合法是由因导果。在研究问题时，往往兼用这两种思维方法，从分析中得到思路，用综合法严谨地表述解题过程。这样可促进双向思维的培养，也可简化思维过程。

b，c，d均为正数，求证例8、已知a，

，即证明就是要证，

找到证题起点。

、已知p,0 ,q,0 且,2，求证p，q?2

，即证:

显然成立。

六、加强从反面思考的思维方式训练

(一)加强反证法训练

反证法是一种间接证法，当某些数学问题用直接证法相当困难时，常常被采用的证法。它是从待证结论的反面出发，推出矛盾，从而否定要证结论的反面，肯定待证的结论。加强反证法的训练是促进学生逆向思维逐步形成的必要措施(

例10、取什么实数时，抛物线的顶点不在第四象限, ,分析,抛物线的顶点“不在第四象限”，所指的范围很广，可以在第一象限、第二象限、第三象限，还可以在坐标轴上。如果对上述各种情况逐一讨论，在各种情况下求出的集合，再取其并集，可见其讨论范围之大。若反过来，从问题的反面考虑，直接求出抛物线的顶点在第四象限时的集合，再取其补集，显然简便得多。

解:令抛物线的顶点在第四象限，由顶点坐标公式得:

解这个不等式得:(

可知，当时，抛物线的顶点在第四象限。

所以，当?2或?4时，抛物线的顶点不在第四象限。

例11、若关于的方程至多有一个负根，求的取值范围。

分析:逆向思维，用反证法，“一元二次方程至多一个负根”的反面就是“两个根都是负根”，由此下手，此题可解。

解:假设两个根都是负根，则必须满足下列不等式组:

解得:，?的取值范围为。 (二)加强举反例训练

用命题形式给出的一个数学问题，要判断它是错误的，只要举出一个满足命题的条件，但结论不成立的例子，就足以否定这个命题，这样的例子就是通常意义下的反例。学会构造反倒不仅对加深记忆，深入理解定义、定理或公式等起着重要的作用，同时它也是纠正错误的常用方法，是培养逆向思维能力的重要手段。

例如:命题“若两多边形的对应边成比例，则必相似”，只需举一个菱形或一个正方形即可判其为假命题。说明“一组对边平行，一组对边相等的四边形为平行四边形”为假命题，只需举一个等腰梯形即可。

七、编排逆向训练的习题

为了训练学生的逆向思维，在教学中，可有意识地编排顺逆双向配对的练习题供学生训练。学生通过练习，可以逐步养成逆向思维的习惯，提高逆向思维的能力。

总之，在初中数学教学中，确保学生具备丰富而扎实的“双基”知识的前提下，量力而行;有意识地对学生进行双向思维交替的训练，从而提高学生由正向思维转换到逆向思维的能力，为逆向思维的形成和建立奠定了良好的基础。另外，逆向思维解题方法的培养和应用，对克服思维定势和思维的呆板性起到了积极的作用，也为创造思维提供了灵活的思维方式;为教育教学的改革开辟了又一新的途径。