微分中值定理及其应用习题课(整理)

错误结论，事实上，因为 f ( x) 在点 0 处不连续，当然不可导． （2）下面是单侧导数极限定理，证明方法与导数极限定理相似．
1）设 f 在点 x 0 的右邻域 U ( x0 ) 内连续，在 U ( x0 ) 内可导，且极限 lim f ( x) f x0 0 存在，则 f 在点 x 0
x x0
令 h b a ，则有
内连续，则会导致错误的结论，例如 f ( x)
x, x 0 1, x 0
x 0
f ( x) 在 u 0 (0) 中可导，且 f ( x) 1 ，于是有 lim f ( x) ，若认为 f (0) 存在，且 f (0) 1 ，这就导致
1, 0 x 1, 所以在开区间 (1,1) 内找不到使得等式 g ( ) 0 成立的点 ，如图， 1, 1 x 0,
3
无水平切线( 图 2)． 函数 h( x) x, x [0,1] ．h( x) 在 [0,1] 上不满足罗尔中值定理的条件(3)，因为 h( x) 在区间端点的函数 值不相等， 即 h(0) h(1) ． 由于 h( x) 1, x (0,1) ， 所以在开区间 (0,1) 内找不到使得等式 h( ) 0 成 立的点 ，如图，无水平切线( 图 3)．
2 x 2 x
在 x 0 处没有定义，则原函数在 x 0 不可导） ，即不符合加强条件；但它满足定理的三个条件，有水 平切线(图) 6.罗尔定理结论中的 值唯一吗？ 答 不一定唯一,可能有一个,几个，甚至无限多个． 例如
0
y y=f (x)
3
x
1 4 x sin 2 , x 0; f ( x) 在 1,1 上满足罗尔定理的三个条件．显然, x 0, x 0.


则在（ a , b ）内至少存在一点 ，使得 f ( )
f (b) f (a) ． ba
1
注 看到函数增量，或隐含增量（含条件 f a 0 ） ，经常要考虑拉格朗日中值定理；看到导数有界， 经常要考虑拉格朗日中值定理． 3） ．柯西中值定理 设函数 f 和 g 满足 （i）在 [a, b] 上都连续；(ii)在 ( a, b) 上都可导；(iii) f ( x)和g ( x) 不同时为零；(iv) g (a) g (b) 则存在 (a, b) ，使得
1 2 x sin , x 0, 例 设函数 f x 则 f x 在 U 0 中连续，且在 U 0 内可导， x x 0. 0,
1 1 f x 2 x sin cos , x 0. x x
微分中值定理及其应用习题课
一 基本定理 1） ．罗尔中值定理 若函数 f 满足如下条件： （ⅰ） f 在闭区间 a, b 上连续； （ⅱ） f 在开区间 a, b 内可导； （ⅲ） f (a) f (b) ,
则在 ( a, b) 内至少存在一点 ,使得 f ( ) 0 注 罗尔中值定理主要用于说明 f x 0 有根，关键是要找两点使这两点函数值相等． 注 介值定理主要用于说明 f x 0 有根，关键是要找两点使这两点函数值异号．
（5）证至少存在一点 ，使含 的代数式
G a, b, f a , f b , , f , f f n 0 成立的常用方法是构造辅助函数，然后对辅助函数用罗
尔定理． 2） ．拉格朗日中值定理 若函数 f 满足如下条件： （ⅰ） f 在闭区间 [a, b] 上连续； （ⅱ） f 在开区间 a, b 内可导，
注 看到有二阶以上导数，经常要考虑泰勒中值定理． 注 对中值定理为了帮助读者记忆，给出以下口诀
f ( n ) ( x0 ) f ( n1) ( ) n ( x x0 ) ( x x0 ) n1 n! (n 1)!
一阶有界用拉格，二阶以上想泰勒； 中值等式罗拉柯，辅助函数逃不脱； 函数增量想拉柯，易积结论用阿罗； 多个中值多次用，把握特征心自得． 二 疑难解答 1．极值与最值有什么区别与联系？ 答 1）极值是一个局部概念,因为 f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的极值,是与 x0 的某邻域 U x0 上的函数值 f ( x) 比较而言的；而最值是对整个区间而言的,是一个整体概念．
a b0 a ba0
a
ba
1，令
a
ba
，则有 0 1 ，
a (b a) ，于是有
② f (b) f (a) f (a (b a))(b a), 0 1 ； ③ f (a h) f (a) f (a h)h,0 1. 注 值得注意的是，拉格朗日公式无论对于 a b ，还是 a b 都成立，而 则是介于 a 与 b 之间的某一 定数 8． 试问应用导数极限定理时，应当注意哪些问题？ 答： （1） 在应用导数极限定理时， 如果只注意 lim f ( x) 存在的条件， 而忽视了 f 在点 x 0 的某邻域 U ( x0 )
x x0
右可导，且
f x0 lim f ( x) f x0 0 ．
x x0 x x0
2）设 f 在点 x 0 的左邻域 U ( x0 ) 内连续，在 U ( x0 ) 内可导，且极限 lim f ( x) f x0 0 存在，则 f 在点 x 0
f ( x) 0 ．
5.为什么不将罗尔条件(i)(ii)合并为 f ( x) 在 a, b 上可导？ 答 可以，但条件加强了，就排斥了许多仅满足三个条件的函数．例如函数 f ( x) (3 x) x ,
x [0, 3] ， f ( x) 3(1 x) ，显然 x 0 时，函数不可导（ f ( x) (3 x) x 是初等函数， f ( x) 3(1 x)
若函数 f 在 [a, b] 上存在直至 n 阶的连续导函数，在 ( a, b) 内存在 (n 1) 阶导函数，则对任意给定的
x, x0 [ a, b] ，至少存在一点 (a, b) ，使得
f ( x0 ) f ( x) f ( x 0 ) f ' ( x0 )(x x0 ) ( x x0 ) 2 2!
x, 0 x 1, 在 [0,1] 上不满足罗尔中值定理的条件 (1) ，因为 f ( x) 在点 x 1 处不连 x 1, 0,
续．由于 f ( x) 1, x (0,1) ，所以在开区间 (0,1) 内找不到使得等式 f ( ) 0 成立的点 ，如图，无 水平切线(图 1)； 函数 g ( x) x , x [1,1] ， g ( x) 在 [1,1] 上不满足罗尔中值定理的条件(2)，因为 g ( x) 在点 x 0 处不 可导．由于 g ( x)
2
2） 闭区间 a, b 上的连续函数必有最值,且最大值和最小值各有一个,最大值大于最小值 （常函数除外） , 但可能无极值（因为极值点 x 0 必在区间的内部，不能是区间的端点，而最值有可能在端点取） ．即使有 极值,也可能不止一个,极小值也可能大于极大值．因此若 f a (是函数的最值,则 f a 不可能是极值; 若 f ( x0 ) （ x0 (a, b) ）是函数的最值,则一定是极值．即（最值不一定是极值，反之,极值也不一定是 最值,极值一般可能很多个,但若极值只有一个,即为最值） ． 3）在区间内部的（非端点的）最值点是极值点，且最大值点是极大值点，最小值点是极小值点． 2．极值点与稳定点的关系，极值点可能是哪些点？ 答：1）由费马定理可知,可导的极值点是稳定点． 2）稳定点未必是极值点．例如 f ( x) x ， x 0 为它的稳定点（因为 f (0) 0 ） ，但由 f ( x) x 的
（1）证 f x 0 有根
法1 法2
用介值定理（若此时易找两点使函数值异号）. 将f x 0转化为f x g x 0, 对g x 用罗尔定理 若很容易求出g x ，使f x g x ，且对g x 很容易 找两点使函数值相等.
法1 费马定理（易找极值点或内部最值点）, 法2 罗尔定理 易找两点使函数值相等 .
（2）证 f x 0 有根
（3）证根唯一的方法 （4）证 f
n
法1 单调性, 法2 反证法+罗尔定理.
x 0 有根，经常对 f n1 x 用罗尔定理．
尽管如此，但是不能说这三个条件是罗尔定理的必要条件．例如，函数 f ( x)
0, x [0,1) 在 0, 2 不 可 导 ， f 0 f 2 ， 但 f ( x)


0, x 0,1 ， 0,1 上 点 都 满 足 1, x 1, 2
3 3


图像和极值点的定义易知 x 0 不是 f ( x) x 的极值点．
3
3 ）导数不存在的点也可能是函数的极值点．例如由 f ( x) x 的图像和极值的定义易知 f ( x) x 在
x 0 取得极小值，但在 x 0 不可导，即极值点未必是稳定点．
极值点有可能是稳定点和不可导的点． 3．导函数的介值定理有什么作用？ 答：据此定理可以了解什么样的函数可能成为其它函数的导函数，那么不具有介值性的函数一定不能 做为其它函数的导函数，如具有第一类间断点的函数． 4. 罗尔定理有三个条件，缺少其中一个条件罗尔定理是否成立？如果不成立，能否说这三个条件是罗 尔定理的必要条件？ 答 罗尔定理有三个条件，缺少其中一个条件罗尔定理就可能不成立．例如 函数 f ( x)
4
1 1 1 3 1 4 x sin 2 2 x 2 sin cos , x 0 在 (-1,1) 内存在无限多个 c n f ( x) (n 1,2,), x x x 2n 0 , x 0 .