物理竞赛微元法 (1)

三、微元法

方法简介

微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。

赛题精讲

例1：如图3—1所示，一个身高为h 的人在灯以悟空速度v 沿水平直线行走。设灯距地面高为H ，求证人影的顶端C 点是做匀速直线运动。

解析：该题不能用速度分解求解，考虑采用“微元法”。

设某一时间人经过AB 处，再经过一微小过程Δt （Δt

→0），则人由AB 到达A ′B ′，人影顶端C 点到达C ′点，

由于ΔS AA ′= v Δt 则人影顶端的移动速度：

v C =CC t 0S lim t

'∆→∆∆=AA t 0H S H h lim t '∆→∆-∆=H H h -v 可见v c 与所取时间Δt 的长短无关，所以人影的顶端C 点做匀速直线运动。

例2：如图3—2所示，一个半径为R 的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A 端固定在球面的顶点，B 端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为ρ 。试求铁链A 端受的拉力T 。

解析：以铁链为研究对象，由由于整条铁链的长度不能忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质点，分析每一小段铁边的受力，根据物体的平衡条件得出整条铁链的受力情况。在铁链上任取长为ΔL 的一小段（微元）为研究对象，其受力分析如图3—2—甲所示。由于该元处于静止状态，所以受力平衡，在切线方向上应满足：

T θ + ΔT θ = ΔGcos θ + T θ ，ΔT θ = ΔGcos θ = ρg ΔLcos θ

由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大ΔT θ ，所以整个铁链对A 端的拉力是各段上ΔT θ的和，即：

T = ΣΔT θ = Σρg ΔLcos θ = ρg ΣΔLcos θ

观察ΔLcos θ的意义，见图3—2—乙，由于Δθ很小，所以CD ⊥OC ，∠OCE = θΔLcosθ表示ΔL 在竖直方向上的投影ΔR ，所以ΣΔLcos θ = R ，可得铁链A 端受的拉力： T = ρg ΣΔLcos θ = ρgR

例3：某行星围绕太阳C沿圆弧轨道运行，它的近日点A离太阳的距离为a ，行星经过近日点A时的速度为v A，行星的远日点B离开太阳的距离为b ，如图3—3所示，求它经过远日点B时的速度v B的大小。

解析：此题可根据万有引力提供行星的向心力求解。

也可根据开普勒第二定律，用微元法求解。设行星在近

日点A时又向前运动了极短的时间Δt ，由于时间极短可

以认为行星在Δt时间内做匀速圆周运动，线速度为v A，

半径为a ，可以得到行星在Δt时间内扫过的面积：

v AΔt⋅a

S a =1

2

同理，设行星在经过远日点B时也运动了相同的极短时间Δt ，则也有：

S b =1

v BΔt⋅b

2

v A

由开普勒第二定律可知：S a = S b。即得：v B =a

b

（此题也可用对称法求解。）

例4：如图3—4所示，长为L的船静止在平静的水

面上，立于船头的人质量为m ，船的质量为M ，不计

水的阻力，人从船头走到船尾的过程中，问：船的位移为

多大？

解析：取人和船整体作为研究系统，人在走动过程中，系统所受合外力为零，可知系统动量守恒。设人在走动过程中的Δt时间内为匀速运动，则可计算出船的位移。设v1、v2分别是人和船在任何一时刻的速率，则有：mv1 = Mv2①两边同时乘以一个极短的时间Δt ，有：mv1Δt = Mv2Δt ②

由于时间极短，可以认为在这极短的时间内人和船的速率是不变的，所以人和船位移大小分别为Δs1 = v1Δt ，Δs2 = v2Δt

由此将②式化为：mΔs1 = MΔs2③

把所有的元位移分别相加有：mΣΔs1 = MΣΔs2④

即：ms1 = Ms2⑤

此式即为质心不变原理。其中s1、s2分别为全过程中人和船对地位移的大小，又因为：L = s1 + s2⑥

L

由⑤、⑥两式得船的位移：s2 =m

+

M m

例5：半径为R的光滑球固定在水平桌面上，有一质量为M

的圆环状均匀弹性绳圈，原长为πR ，且弹性绳圈的劲度系数为

k ，将弹性绳圈从球的正上方轻放到球上，使弹性绳圈水平停

留在平衡位置上，如图3—5所示，若平衡时弹性绳圈长为

R ，求弹性绳圈的劲度系数k 。

解析：由于整个弹性绳圈的大小不能忽略不计，弹性绳圈不能看成质点，所以应将弹性绳圈分割成许多小段，其中每一小段Δm 两端受的拉力就是弹性绳圈内部的弹力F 。在弹性绳圈上任取一小段质量为Δm 作为研究对象，进行受力分析。但是Δm 受的力不在同一平面内，可以从一个合适的角度观察。选取一个合适的平面进行受力分析，这样可以看清楚各个力之间的关系。从正面和上面观察，分别画出正视图的俯视图，如图3—5—甲和2—3—5—乙。

先看俯视图3—5—甲，设在弹性绳圈的平面上，Δm 所对的圆心角是Δθ ，则每一小段的质量：Δm =2∆θπ

M Δm 在该平面上受拉力F 的作用，合力为： T = 2Fcos 2π-∆θ= 2Fsin 2

∆θ 因为当θ很小时，sin θ≈θ ，所以：T = 2F

2∆θ= F Δθ ① 再看正视图3—5—乙，Δm 受重力Δmg ，支持力N ，二力

的合力与T 平衡。即：T = Δmg ⋅tan θ

现在弹性绳圈的半径为：R

所以：sin θ =r R ，θ = 45°，tan θ = 1 因此：T = Δmg =2∆θπ

Mg ② 将①、②联立，有：

2∆θπMg = F Δθ ，解得弹性绳圈的张力为：F =Mg 2π

设弹性绳圈的伸长量为x ，则：

R －π1) πR

所以绳圈的劲度系数为：k =F

x 例6：一质量为M 、均匀分布的圆环，其半径为r ，几何轴与水平面垂直，若它能经受的最大张力为T ，求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速

度。

解析：因为向心力F = mr ω2 ，当ω一定时，r 越大，向

心力越大，所以要想求最大张力T 所对应的角速度ω ，r 应

取最大值。