电路的简化和等效变换

第一部分电路的等效变化
在处理较复杂的混联电路问题时，常常因不会画等效电路图，难以求出等效电阻而直接影响解题。

为此，向同学们介绍一种画等效电路图的方法《快速三步法》。

快速三步法画等效电路图的步骤为：
⑴ 标出等势点。

依次找出各个等势点，并从高电势点到低电势点顺次标清各等势点字母。

⑵ 捏合等势点画草图。

即把几个电势相同的等势点拉到一起，合为一点，然后假想提起该点“抖动”一下，以理顺从该点向下一个节点电流方向相同的电阻，这样逐点依次画出草图。

画图时要注意标出在每个等势点处电流“兵分几路”及与下一个节点的联接关系。

⑶ 整理电路图。

要注意等势点、电阻序号与原图一一对应，整理后的等效电路图力求规范，以便计算。

例1、图1所示电路中，R1=R2=R3=3Ω，R4=R5=R6=6Ω，求M、N两点间的电阻。

解：该题是一种典型的混联电路，虽然看上去对称、简单，但直接看是很难认识各个电阻间的联接关系的，因此必须画出等效电路图。

下面用快速三步法来解。

1.在原电路图上标了等势点a、b、c。

2.捏合等势点画草图。

从高电势点M点开始，先把两个a点捏合到一起，理
顺电阻，标出电流在a点“兵分三路”，分别经R1、R2、R3流向b点；
再捏合三个b点，理顺电阻，标出电流在b点“兵分三路”，分别经R4、R5、R6流向c点；最后捏合c点，电流流至N点。

（见图2）
3.整理电路图如图3所示。

从等效电路图图3可以清楚地看出原电路各电
阻的联接方式，很容易计算出M、N两点间的电阻R=3Ω。

◆练习：如图4所示，R1=R3=4Ω，R2=R5=1Ω，R4=R6=R7=2Ω，求a、d两点间的电阻。

解：（1）在原电路图上标出等势点a、b、c、d
（2）捏合等势点画草图，首先捏合等势点a，从
a点开始，电流“兵分三路”，分别经R2流向b
点、经R3和R1流向d点；捏合等势点b，电流
“兵分两路”，分别经R5流向c点，经R4流向d点；捏合等势点c，
电流“兵分两路”，分别经R6和R7流向d点。

（3）整理电路如图7所示
从等效电路图可清楚地看出原电路各电阻的联接关系，很容易计算出a、d两点间的电阻R=1Ω。

第二部分竞赛中纯电阻电路的简化和等效变换
计算一个电路的电阻，通常从欧姆定律出发，分析电路的串并联关系。

实际电路中，电阻的联接千变万化，我们需要运用各种方法，通过等效变换将复杂电路转换成简单直观的串并联电路。

本节主要介绍几种常用的计算复杂电路等效电阻的方法。

1、等势节点的断接法
在一个复杂电路中，如果能找到一些完全对称的点（以两端连线为对称轴），那么可以将接在等电势节点间的导线或电阻或不含电源的支路断开（即去掉），也可以用导线或电阻或不含电源的支路将等电势节点连接起来，且不影响电路的等效性。

这种方法的关键在于找到等势点，然后分析元件间的串并联关系。

常用于由等值电阻组成的结构对称的电路。

【例题1】在图8-4甲所示的电路中，R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R ，试求A、B两端的等效电阻R AB。

模型分析：这是一个基本的等势缩点的事例，用到的是物理常识是：导线是等势体，用导线相连的点可以缩为一点。

将图8-4甲图中的A、D缩为一点A后，成为图8-4乙图。

3R 。

答案：R AB =
8
【例题2】在图8-5甲所示的电路中，R1 = 1Ω，R2 = 4Ω，R3 = 3Ω，R4 = 12Ω，R5 = 10Ω，试求A、B两端的等效电阻R AB。

模型分析：这就是所谓的桥式电路，这里先介绍简单的情形：将A、B两端接入电源，并假设R5不存在，C、D两点的电势相等。

因此，将C、D缩为一点C后，电路等效为图8-5乙
对于图8-5的乙图，求R AB 是非常容易的。

事实上，只要满足21R R =4
3R R 的关系，该桥式电路平衡。

答案：R AB = 415Ω 。

【例题3】在如图所示的有限网络中，每一小段导体的电阻均为R ，试求A 、B 两点之间的等效电阻R AB 。

【例题4】用导线连接成如图所示的框架，ABCD 是正四面体，每段导线的电阻都是1Ω。

求AB 间的总电阻。

2、电流分布法
设有电流I 从A 点流入、B 点流出，应用电流分流的思想和网络中两点间不同路径等电压的思想，（即基耳霍夫定理），建立以网络中各支路的电流为未知量的方程组，解出各支路电流与总电流I 的关系，然后经任一路径计算A 、B 两点间的电压
AB U ，再由I U R AB AB =即可求出等效电阻。

【例题1】7根电阻均为r 的电阻丝接成如图所示的网络，试
求出A 、B 两点之间的等效电阻AB R 。

【例题2】10根电阻均为r 的电阻丝接成如图所示的网络，试求出A 、B 两点之间的等效电阻AB R 。

【例题3】8根电阻均为r 的电阻丝接成如图所示的网络，C 、D 之间是两根电阻丝并联而成，试求出A 、B 两点之间的等效电阻AB R 。

A B D
C A B
C D
A B
3. 有限网络电阻
例1 如图所示电路中，R 1=R 3=R 5=……=R 99=5Ω，R 2=R 4=R 6=……=R 98=10Ω, R 100=5Ω,求AB 间得总电阻。

解：电阻R 99和R 100串联的阻值为10Ω，与R 98并联后的电阻为5Ω，再与R 97串联的总电阻为10Ω，依次类推，虚线后面的电阻为10Ω，与R 2并联后再与R 1串联，得到R AB =10Ω。

二、无限网络电阻
１、”自相似性”法
例2 在图2甲所示无限网络中，每个电阻的阻值均为R ，试求A 、B 两点间的电阻R AB 。

解：该类问题具有”自相似性”特点。

所谓”自相似性”是指：“并联一个R 再串联一个R ”是电路每一级，总电路是这样无穷级的叠加。

在图乙中，虚线部分右边可以看成原有无限网络，当它添加一级后，仍为无限网络，即R AB ∥R + R = R AB 解这个方程就得出了R AB 的值R AB = 251+R 。

２、电流注入法
例3 如图3所示的无限网络中每根电阻丝的电阻都为R ，求A 、B 两点间的电阻R AB 。

应用电流注入法的依据是：（1）对于任何一段导体或一个等效电阻R ，欧姆定律都适用；
（2）若电路中有多个电源,则通过电路中任一支路中的电流
等于各个电动势单独存在时,在该支路上产生的电流之和
(代数和)。

解:设A 点接电源正极，无穷远接电源负极，即从A 点
注入电流I 时，根据对称性,AB 间电阻丝的电流必为I/3 ；
再设Ｂ点接电源负极，无穷远接电源正极，从B 点流出电
流I 时，根据对称性,AB 小段导体的电流必为I/3 ；那么，
当上面“注入”和“流出”的过程同时进行时，即从A 点
“注入”电流I,从B 点“流出”电流I,则由叠加性，AB 小
段导体的电流必为2I/3 。

应用欧姆定律，对AB 间的电阻
丝得：U=32
IR ，对整个网络得：U=I R AB ，解得 R AB =32R 。