第二讲 函数、基本初等函数

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► 探究点二 函数的图象的分析与判断 例2 (1)设a<b，则函数y＝(a－x)(x－b)2的图象可能是 )
图1－2－1
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1 (2)[2012· 课程标准卷] 已知函数f(x)＝ ，则y lnx＋1－x ＝f(x)的图象大致为( )
图1－2－2
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[思考流程] (1)(分析)欲判断函数图象需研究函数的性质 ⇨ (推理)函数有两个零点，从函数零点的位置和性质考虑 ⇨ (结论)结合选项图象作出判断． (2)(分析)欲判断函数图象需研究函数的性质 ⇨ (推理)从 函数的整体性质考虑，函数的定义域、值域、单调性 ⇨ (结 论)结合选项图象作出判断．
即－1<x<0或0<x≤2.故选B.
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(2)考查分段函数的奇偶性、单调性、值域等，解决本题 利用定义、图象等解决．若当x为无理数时，x＋T也为无理 数，则D(x＋T)＝D(x)；故D(x)是周期函数，故C错误； 若x为有理数，则－x也为有理数，则D(－x)＝D(x)，若x 为无理数，则－x也为无理数，则D(－x)＝D(x)，故D(x)是偶 函数，故B正确；结合函数的图象，A选项D(x)的值域为 {0,1}，正确；且D(x)不是单调函数也正确，所以C错误．
[答案] (1)B
(2)C
[解析] (1)f(10)＝lg10＝1，所以f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝ 2，选B. (2)根据幂函数y＝x0.5的单调性可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1， 即b<a<1；根据对数函数y＝log0.3x的单调性，可得 log0.30.2>log0.30.3＝1，即c>1.所以b<a<c.
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[思考流程] (1)(分析)求函数值需要根据解析式 ⇨ (推理)求 解的是一个复合函数值 ⇨(结论)由内层到外层逐次计算即可． (2)(分析)欲比较大小就需知函数性质 ⇨(推理)构造指数函 数、对数函数和幂函数，根据单调性作出判断 ⇨(结论)综合比 较a，b，c的大小．
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► 例3
探究点三
基本初等函数的性质及其应用
x2＋1，x≤1， 若函数f(x)＝ lgx，x>1，
(1)[2012· 江西卷]
则
f(f(10))＝( ) A．lg101 B．2 C．1 D．0 1 (2)设a＝ 2 0.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小 关系是( ) A．a>b>c B．a<b<c C．b<a<c D．a<c<b
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方法2：(特殊值检验法)x＝0时，函数无意义，排除选项 1 1 1 －1＝ D中的图象，x＝ －1时，f e ＝－e<0，排除 e 1 1 ln －e－1 e 选项A，C中的图象，故只能是选项B中的图象．注：这里选 1 取特殊值x＝ －1∈(－1,0)，这个值可以直接检验选项A， e C，这种取特值的技巧在解题中很有用处
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函数的概念的理解和性质的应用 1 例1 (1)[2012· 山东卷] 函数f(x)＝ ＋ 4－x2 的 lnx＋1 定义域为( ) A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2] C．[－2,2] D．(－1,2] 1，x为有理数， (2)[2012· 福建卷] 设函数D(x)＝ 则下列 0，x为无理数， 结论错误的是( ) A．D(x)的值域为{0,1} B．D(x)是偶函数 C．D(x)不是周期函数 D．D(x)不是单调函数 ► 探究点一
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(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函 数满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其一个周期T＝|a|. 3．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质 (1)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0， a≠1)的图象和性质，分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函 数图象中的两种情况的公共性质； (2)幂函数y＝xα的图象和性质，分幂指数α>0，α<0两种 情
第2讲 │ 二轮复习建议
预计2013年基本的考点不会发生变化，仍然会从函数概念、 性质、图象的应用等方面进行考查，但函数试题有非常大的灵活 性，出现一些创新性试题的可能性也很大． 复习建议：函数是高中数学最重要的基础知识，在一套高考 试卷中考查到函数以及与函数相关问题的试题数量是较多的，但 在本节中我们主要是研究函数概念、函数表示方法、函数性质， 以及指数函数、对数函数、幂函数本身的问题，在复习时要以此 为重点．函数问题中的重点是函数的性质，难点是函数性质的综 合运用，特别是在抽象函数中函数性质的综合运用，在复习中注 意引导学生抓住这个重点，通过例、习题掌握使用函数性质分析 问题、解决问题的基本方法．
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[点评] 在计算复合函数值时要注意从内层到外层逐次计 算，如果已知的函数是分段的，在求解时要不断判断求解的 函数值使用哪段的解析式．在指数式、对数式比较大小时， 要根据实际情况构造适当的函数，使用函数的单调性进 行．如果是指数相同、底数不同则构造幂函数，如果是底数 相同、指数不同则构造指数函数．比较大小的一个基本技巧 是寻找中间值，如0,1等，把要比较的对象的取值画在不同的 区间，这样就可以根据取值的情况对比较的对象作出判断．
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(2)方法1：函数f(x)满足x＋1>0且ln(x＋1)－x≠0，即x> 1 －1且ln(x＋1)－x≠0，设g(x)＝ln(x＋1)－x，则g′(x)＝ x＋1 －x －1＝ ，由于x＋1>0，显然当－1<x<0时，g′(x)>0，当 x＋1 x>0时g′(x)<0，故函数g(x)在x＝0处取得极大值，也是最大 值，故g(x)≤g(0)＝0，当且仅当x＝0时g(x)＝0，故函数f(x)的 定义域是 (－1,0)∪(0，＋∞)，且函数g(x)在(－1,0)∪(0，＋∞)的 值域为(－∞，0)，故函数f(x)的值域也是(－∞，0)，且在x＝ 0附近函数值无限小，观察各个选项中的函数图象，只有选项 B中的图象符合要求．
考点统计
题型(频 率)
考例(难度)
2012课程标准卷 考点1 函数概念的 10(B)， 理解和性质的应 选择(2) 2011课程标准卷 用 2(A) 2011课程标准卷 考点2 函数图象的 选择(2) 12(C)，2011课程 分析与判断 标准卷10(B) 说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题 2009宁夏、海南卷
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1.函数的概念及其表示 函数的定义域和值域均为非空的数集，定义域和对应关 系相同的两个函数是同一函数． 2．函数的性质 (1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．证 明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下 结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则； (2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函 数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上 具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关 于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性；
第2讲│ 要点热点探究
变式题 已知函数 f(x)和 f(x＋2)都是定义在 R 上的偶函 数，当 x∈[－2,2]时，f(x)＝g(x)．则当 x∈[－4n－2，－4n＋ 2]，n∈Z 时，f(x)的解析式为( ) A．g(x) B．g(x＋2n) C．g(x＋4n) D．g(x－4n)
第2讲│ 要点热点探究
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[答案]
(1)B
(2)B
[解析] (1)方法1：从各个选项看a>0，此时x＝0时，y＝ ab2>0，即函数图象与y轴正半轴有一个交点；x＝a是函数的 变号零点，x＝b是函数的不变号零点．综合上述特征，只能 是选项B中的图象． 方法2：函数是一个三次项为负的三次函数，这类函数的 基本特征是从左到右先单调递减，再单调递增(如果无极值点 则仍然单调递减)，再单调递减，由此看只能是选项A，B中 的图象，再结合y′＝ －(x－b)2＋(a－x)· 2(x－b)＝(x－b)[－3x＋2a＋b]得出函 数有一个极值点x＝b，即可确定只能是选项B中的图象．
[答案] C
[解析] 根据已知f(x)＝f(－x)，f(2＋x)＝f(2－x)，故f(4＋x) ＝f(2－(2＋x))＝f(－x)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期 函数，当x∈[－4n－2，－4n＋2]时，x＋4n∈[－2,2]，f(x)＝ f(x＋4n)＝g(x＋4n)．
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标系内的大致图象为(
)
图 1－2－3
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[答案] C
1 y＝lnx＝－ln|x|，是偶函数，且在
[解析] 函数
x>0 时，
函数单调递减，排除选项 A，B；函数 y＝ － x2＋1中 y≤－1，排除选项 D 中的图象，只能是选项 C 中的图象．
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专题一 集合与常用逻辑用语、 函数与导数、不等式
第1讲 集合与常用逻辑用语 第2讲 函数、基本初等函数 Ⅰ的图象与性质 第3讲 函数与方程、函数模 型及其应用 第4讲 不等式与简单的线性 规划 第5讲 导数在研究函数性质 中的应用
第2讲 函数、基本初等函 数Ⅰ的图象与性质
第2讲 │ 云览高考
[云览高考]
第2讲 │ 二轮复习建议
二轮复习建议
命题角度：函数部分的命题通常围绕三个方面进行．第一个方 面是围绕函数概念、函数的解析式、函数的性质(单调性、奇偶性、 周期性)展开，主要考查对函数概念的理解、函数定义域的求解、函 数值的求解(一般是分段函数)、函数的最值的求解、函数性质在解题 中的综合运用等；第二个方面是围绕函数图象展开，主要考查根据 函数的解析式判断函数图象的大致形状，根据函数图象通过数形结 合的方法解决一些问题等；第三个方面是围绕指数函数、对数函 数、幂函数的图象与性质的运用展开，主要考查这三个函数的图象 与性质在解决问题中的应用，如比较含有指数与对数的数的大小、 含有指数函数与对数函数的分段函数的最值等．
第2讲│ 要点热点探究
[点评] 根据函数的解析式判断函数图象，要从定义域、 值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进 行全面分析，有时可结合部分特殊函数值进行辅助推断，这 是解决函数图点热点探究
变式题 函数
1 y＝lnx与
y＝－ x2＋1在同一平面直角坐
第2讲│ 要点热点探究
[思考流程] (1)(分析)观察所给函数解析式的形式 ⇨ (推理) 利用对数、分式和根式有意义的条件列出不等式组 ⇨ (结论) 解不等式组并求交集得出函数的定义域． (2)(分析)欲判断选项结论需根据新函数定义和函数性质进 行 ⇨ (推理)根据D(x)的定义，利用函数值域、偶函数、周期 函数、函数单调性概念，逐项作出判断 ⇨ (结论)参照选项作 出选择．
第2讲│ 要点热点探究
[答案] (1)B
(2)C
[解析] (1)方法一(特值法)：当x＝－2时，ln(x＋1)无意 义，排除A，C；当x＝0时，ln(0＋1)＝ln1＝0，不能充当分 母，所以排除D.故选B. 方法二：要使函数有意义，则有 x>－1， x≠0， －2≤x≤2， x＋1>0， lnx＋1≠0， 4－x2≥0， 即
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[点评] 本例第二题是历史上有名的函数“狄利克雷”函 数，这个函数的著名的性质之一就是其为周期函数，任何非零 实数都是其周期，这个函数没有最小正周期．函数的奇偶性和 周期性都是函数在其定义域上的整体性质，即对定义域内任意 的一个自变量都满足的性质，在证明函数的奇偶性和周期性 时，一定要注意这个特点，如本题中我们在证明D(x)为偶函数 时，就是对定义域内任意无理数证明其满足偶函数的定义，也 得证明对定义域内任意有理数也满足偶函数的定义，缺少任何 一个方面的证明都是不完整的，作出的结论也就可能是错误 的．本例第一题是求函数的定义域，求函数定义域的主要依 据：①分式的分母不为零；②偶次方根被开方数不小于零；③ 对数函数的真数必须大于零；④指数函数和对数函数的底数必 须大于零且不等于1.