第一章计数原理复习课(习题课)111

小结：本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制， 又有排列的问题，一般是先元素（即组合）后排列。
六、分清排列、组合、等分的算法区别
例1: (1)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲一件, 乙二件和丙三件,有多少种分法? (2) 今有10件不同奖品, 从中选6件分给三人,其中1 人一件1人二件1人三件, 有多少种分法? (3) 今有10件不同奖品, 从中选6件分成三份,每份2 件, 有多少种分法?
1 5 4 6
18、变式引申：
7 ( x y ) 1、 的展开式中，系数绝对值最大的项是（
）
A.第4项
1 n 2、若 ( x x 2 ) 展开式中的第6项的系数最大，则不
3
B.第4、5项 )
C.第5项
D.第3、4项
含x的项等于( A.210
B.120
C.461
D.416
例1. 书架上放有3本不同的数学书,5本不同的 语文书,6本不同的英语书, (1)若从这些书中任取一本,有多少种不同的选法? (2)若从这些书中取数学书、语文书、英语书各 一本, 有多少种不同的选法? (3)若从这些书中取不同科目的书两本, 有多少种 不同的选法?
n 1 2 = n
n n
C
n 1 2 n
n
且最大
C C 2
奇数项二项式系数和 偶数项二项式系数和： C C C
0 n 2 n 4 n
C C C
1 n 3 n 5 n
2
n 1
一、公式的逆用
例1、计算：
( x 1)5 5( x 1)4 10( x 1)3 10( x 1)2 5( x 1)
16、补偿练习 带有编号1,2,3,4,5的五个球. （1）全部投入4个不同的盒子里； （2）放进不同的4个盒子里，每盒至少一个；
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19（1）变式：从7盆不同的盆花中选出5盆摆放在主 席台前，其中有两盆花不宜摆放在正中间，则一共有 _____种不同的摆放方法（用数字作答）。
解： A A 1800
解法1:
2 1 1 C10 C8 C7 2520
4 2 2 C10 C4 A2 2520
解法2:
七、分类组合,隔板处理
例: 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每 校至少有1人,这样有几种选法? 分析:问题相当于把个30相同球放入6个不 同盒子(盒子不能空的)有几种放法?这类问 可用“隔板法”处理. 5 解:采用“隔板法” 得 C: 29 4095 小结：把n个相同元素分成m份每份,至少1个元素,问 有多少种不同分法的问题可以采用“隔板法”得出共 m1 C 有n1 种.
(2)变式1.（徐州二模）从6人中选4人组成 4×100m接力赛，其中甲不跑第一棒，乙不跑最 后一棒，有多少种选法？
分析：（一）直接法 （二）间接法
（2）变式2：将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列 车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么 不同的停放方法有（ ） （A）120种 （B）96种 （C）78种 （D）72种
先选后排
只选不排
学情反馈
• 提升空间：
• Βιβλιοθήκη Baidu：审题不认真：
• 18、19（2）
• 2. 基础不扎实：
• （2）、（7）
• • • •
3. 能力待提升： （17）、（22） 4、努力再突破：（21） 需讲题目
• （2）（8）、（ 11）、(15)、（16）、（17）、（21）
常见方法: 1.优限法（一般适用于在与不在问题） 捆绑法 2. (一般适于相邻问题) 插空法 3. (一般适于不相邻问题) 排除法 4. (至多、至少、不都等问题)
r r n
n n n
3.一般地， (a b) 展开式的二项式系数
n
C , C , C
0 n
1 n
（ 1） C （ 2） C
n n 有如下性质： m nm （对称性） n n
C
m n
C
m 1 n
C
m n 1
n 2 n
（3）当n为偶数时， C
最大
当n为奇数时， C
（ 4） C
0 n 1 n
例2.从5男4女中选4位代表，其中至少2位男 士，且至多2位女士，分到四个不同的工厂调 查，不同的分配方法有多少种？
练习: 某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生 和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参 加，则有不同参赛方法______种.
3 1 2 3 解：采用先组后排方法: C5 C3 C4 A3 1080
由乘法原理可知 2×2×2×2×2×2-1=63
1.有4名男生，3名女生排成一排
• （1）若男生甲既不站在排头又不站在排尾，则有多少不 同的排法？ • （2）若男生甲不站在排头，女生乙不站在排尾，则有多 少不同的排法？ • （3）若女生全部站在一起，则有多少不同的排法？ • （4）若3名女生互不相邻，则有多少不同的排法？ • （5）若男女相间，则有多少不同的排法？ • （6）若有且仅有两名女生相邻，则有多少不同的排法？ • （7）若甲乙两人必须排在一起，丙丁两人不能排在一起， 则有多少不同的排法？ • （8）如果3名女生不全在一起, 有多少种不同的排法? • （9）如果甲在乙左, 丙在乙右,顺序固定, 有多少种不同的 排法?
( x 1) 4( x 1) 6( x 1) 4( x 1) 1 练1.化简：
4 3 2
.
6
练2、设A 3 C 3 C 3 C 3, B C 3
7 2 7 5 4 7 3 6 7 1 7
C 3 C 3 1, 则A B的值为（ ）
练习： 从6双不同颜色的手套中任取4只， 其中至少有一双同色手套的不同取法共有 ____种
解：
4 4 1 4 C12 C6 (C2 ) 255
三、“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”
例： 七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲乙 都不与丙相邻，则不同的排法有（ ）种 (A)960种 （B）840种 （C）720种 （D）600种
1、二项定理: 一般地，对于n N*有
0 n 1 n 1 2 n 2 2 ( a b )n C n a Cn a b Cn a b
C a
r n
n r
b
r
C b
n n
n
通项公式 Tr+1 = C a b
n
1 n 2 2 n
r n-r n
r
2、 (1+ x) 1 + C x + C x + + C x + + C x
排列组合、二项式定理 复习课
本章知识结构框图 两个计数原理
排列、排列数公式 组合、组合数公式
二 项 式 定 理
应用
一、两个原理的区别与联系：
名称 内容
分类原理
做一件事，完成它可以有n类办法， 第一类办法中有m1种不同的方法， 第二类办法中有m2种不同的方法…， 第n类办法中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+…mn 种不同的方法
（2）求展开式中所有的有理项
n
(1 2 x) 的展开式中第6项与第7项的系数相 例 2、 等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的 项。
n
变式引申：
7 ( x y ) 1、 的展开式中，系数绝对值最大的项是（
）
A.第4项
1 n 2、若 ( x x 2 ) 展开式中的第6项的系数最大，则不
练习1.某运输公司有7个车队，每个车队的车多于 4辆，现从这7个车队中抽取10辆，且每个车队至 少抽一辆组成运输队，则不同的抽法有（ ） A.84 B.120 C.63 D.301 练习2.有编号为1、2、3的3个盒子和10个相同的 小球，现把这10个小球全部装入3个盒子中，使 得每个盒子所装球数不小于盒子的编号数，这种 装法共有（ ） A.9 B.12 C.15 D.18
解：A A A A 78
4 4 1 3 1 3 3 3
A 2 A A 78
5 5 4 4 3 3
（9）变式：9个人排成一排，甲、乙、丙 顺序一定
A 6 N A9 60480 A
9 9 3 3
2.9个人排成一排
(1)前排三人，中间三人，后排三人； 3 3 3 9 9 6 3 9
四、混合问题，先“组”后“排”
例1. 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品, 一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次 品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法 有种可能？ 解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5 次测试是次品。故有：C 3C1 A4 576 种可能
4 6 4
3 7 4 5 7 2
A.128
B.129 C.4
7
D.0
1 2 3 n 2Cn 4Cn 2 n1 Cn 练3. Cn 等于 （ ） n n n 3 1 3 n A. 3 B. 3 1 C. D. 1
2
2
二、二项式定理通项公式的应用
（一）求二项式的特定项
例1、已知 3 x 3 的展开式中第6项为常数项 3 x （1）求n
分步原理
做一件事，完成它可以有n个步骤， 做第一步中有m1种不同的方法， 做第二步中有m2种不同的方法……， 做第n步中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N=m1· m2· m3·…·mn 种不同的方法.
定 义
相同点 不同点
做一件事或完成一项工作的方法数
直接（分类）完成 间接（分步骤）完成
二、排列和组合的区别和联系：
D 例2 如图，某电子器件是由三个电 C A B 阻组成的回路,其中有6个焊接 点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱 落，整个电路就会不通。现发现电路不通 了, 那么焊接点脱落的可能性共有（ ） 63种 （B）64种 （C）6种 （D）36种
F
E
1 2 6 分析:由加法原理可知 C6 C6 C6 63
2 4 2 A A A 解： 2 4 5 960
2 5 1 A5 A4 960 另解：A2
练习1 某城新建的一条道路上有12只路灯，为了 节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三 盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的 两盏灯，可以熄灭的方法共有（ ） 3 3 3 3 C C C （A） 8 种（B） A8 种 （C） 9 种 （D） 11 种 3 解： C8 练习2 某人射击8枪，命中4枪，那么命中的4枪中恰有3 枪是连中的情形有几种？ 练习3 一排8个座位，3人去坐，每人两边至少有一个空 座的坐法有多少种？ 练习4：停车场有12个停车位，现有8辆车停放，若要求 四个空车位连在一起，则_______种不同的停车方法。
区别
A C m An nA
m n m1 n1
Ann n !
n( n 1) ( n m 1) C n! m! m 0 0! 1 C n m!(n m )! C n 1 m m n m
A
m n
C C
n m n
C C C
m n1 m n
m 1 n
解：（1）C C C 12600
1 10 2 9 3 7
1 2 3 3 （2）C10 C9 C7 A3 75600
(3)
C (C C C ) 3150 (C C C / A )
6 10 1 3 A3 2 6 2 4 2 2
2 10 2 8 2 6 3 3
练习. 在今年国家公务员录用中，某市农 业局准备录用文秘人员二名，农业企业管 理人员和农业法制管理人员各一名，报考 农业局公务人员的考生有10人，则可能出 现的录用情况有____种（用数字作答）。
N A A A A
(2)前排一人，中间二人，后排六人； 点评：分排问题直排处理
二、注意区别“恰好”与“至少”
例：从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有 一双同色的手套的不同取法共有（ ） (A) 480种（B）240种 （C）180种 （D）120种
1 2 1 1 解：C6 C5 C2 C2 240
名称 定义 排 列 组 合
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列 从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
种数
符号 计算 公式 关系
所有排列的的个数
所有组合的个数
m Cn
m n
A
m An
m n
Anm n(n 1) (n m 1)
n! (n m)!
性质