五轴加工奇异区域内的刀具路径优化_王峰
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2 奇异区域内的优化方法
2.1 奇异点和奇异区域 由图 1 可知，当 α=0 时，刀轴与转台台面垂直，
C 角取任何值刀轴方向都不会改变，造成自由度丢 失。根据式(2)～(3)也可以看到，α=0 时，刀具方向 矢 量 为 (0,0,1)， 此时 γ = arctan(0 / 0) ， 无 解 ，在 Matlab 中规定为 0。对于 AC 双转台机床，刀轴方 向为(0,0,1) 的点就是奇异点。尽管在反运动学变换 过程中修正了 C 角的取值，但是如果刀具经过奇异 点附近即奇异区域时， Δγ 仍然很大，甚至可能达 到 π 。刀具进入奇异区域后，越接近奇异点，C 角 变化越剧烈，由此产生的非线性误差越显著，对工 件和刀具可能造成的损害也越大。需指出的是，刀 具经过奇异区域并不一定会经过奇异点，而经过奇 异点就一定是经过了奇异区域。
(1. 中国科学院研究生院 北京 100039； 2. 中国科学院沈阳计算技术研究所高档数控国家工程研究中心 沈阳 110168)
摘要：针对五轴加工在奇异区域内由于旋转轴运动的剧烈变化导致非线性误差过大并对工件、刀具和机床部件造成损害等问 题，给出一种奇异区域内加工路径的优化方法。以 AC 双转台五轴联动数控机床为研究对象，在反向运动学变化中根据正弦、 余弦三角函数的周期性对 C 轴转角进行初次优化；按照加工是否通过奇异点两种情况，采用设定奇异点处的 C 角值或者修改 奇异点附近的刀轴方向两种方法，进一步降低 C 轴过大转角；以当前加工区间的非线性误差是否超过允许值为判断条件，对 仍然不满足精度要求的区间进行递归插值处理。仿真试验和实际加工结果表明，与单纯采用线性插值方法相比，该方法在提 高奇异区域内加工精度的同时，有效减少新插入点的数量，从而尽量降低加工速度的损失。 关键词：五轴加工 奇异区域 刀具路径优化 运动控制 中图分类号：TP391
月 2011 年 10 月
王 峰等：五轴加工奇异区域内的刀具路径优化
175
AFFOUARD 等[6]提出通过多项式插补修改刀 具路径来避开奇异位置，但是插补算法复杂，计算 上代价较大。MUNLIN 等[7-8]通过选择奇异点附近 旋转轴运动的最短路径来减小误差，但该方法在选 择转角取值时，考虑的是相邻点转角变化量的相对 值最小，而相邻点之间转角变化量的绝对值可能较 大，出现这样的情况时误差仍然较大。SORBY[9]提 出的方法是在奇异点附近插入刀位点，同时修改 C 轴转角，避免加工通过奇异点时误差过大，但由于 之前没有对奇异区域的范围进行检测，因此当刀具 穿过奇异区域却不经过奇异点时，加工精度不够理 想。王丹等[10]给出的通用的五轴加工非线性误差控 制算法也可以运用到奇异区域的处理上，但由于单 纯采用线性插值，使奇异区域内的加工速度大大降 低，而且插值过密容易导致机床频繁地做加减速运 动，易引起刀具颤振。
1)。首先根据其机床结构和运动链建立机床正向运 动学方程。设工件坐标系坐标原点为 Ow，工件坐标 系下的刀具位置矢量为 pw=(xw yw zw)T，刀具方向 矢量为 uw=(i j k) T；机床坐标系原点为 Om，机床 线性轴运动矢量为 pm=(xm ym zm)T，机床旋转轴 为 A 和 C，对应的机床转角分别为 α 和 γ。
(0.100 0, –0.100 0, 0.989 9)，第 n+1 点的刀轴方向为
(–0.100 0, –0.100 0, 0.989 9)，直接依据式(3)计算出
来的 C 角分别为 3/ 4π 和 −3/ 4π ，相距 3/ 2π 。由式
(4)～(7)可知，线性轴的取值与旋转轴有关，C 角变
化剧烈会导致线性轴变化剧烈，从而产生较大的误
针对以上问题，本文在前人研究的基础上，以 AC 双转台五轴机床为例，给出一种将优化 C 轴转 角(简称 C 角)、修改刀轴方向、递归线性插值三者 结合的刀具路径优化算法，从而在提高奇异区域内 加工精度的同时，保证速度尽量快、加工更平稳。
1 五轴机床的运动学方程
1.1 AC 双转台五轴机床正向反向运动学变换 本文以 AC 双转台五轴机床作为研究对象(图
Technology, Chinese Academy of Sciences, Shenyang 110168)
Abstract：To solve problems of too large non-linear error and damages to the workpiece, the cutter and the machine tool caused by
lx, ly, lz ——机床 x 轴、y 轴、z 轴相对 A 轴 C 轴交点的位移量
RX, RZ ——回转运动的齐次坐标变换矩阵 T ——平移运动的齐次坐标变换矩阵
RM(Ω) ——绕 M 轴旋转 Ω 角，M=X, Z 经过反向运动学变换得到机床运动坐标为
α = arccos k 0 ≤ α ≤ π
0
=0
>0
0
>0
>0
(0, 1/2π)
>0
=0
1/2π
>0
<0
=0
<0
(1/2π, π)
π
<0
<0
(–π, –1/2π)
<0
=0
–1/2π
<0
>0
(–1/2π, 0)
由式(3)计算出的原始 C 角在(–π, π]之间。由表
1 可知，如果相邻点之间 i 或 j 的方向发生变化，C
角可能会发生剧烈变化。例如第 n 点刀轴方向为
第 47 卷第 19 期期
式中 γ n′+1 ——修改后的第 n+1 点的 C 角取值 γ n+1 ——修改前的第 n+1 点的 C 角取值 γ n ——修改前的第 n 点的 C 角取值
经过这样处理后，加工路径上 Δγ ( γ n+1 − γ n )都不超 过 π ，过大转角得到初步控制。对于 AC 双转台五 轴机床来说，C 轴对线性轴的影响大，A 轴较小[11]。 因此只需要对 C 角进行优化即可。
∗ 国家重点基础研究发展计划资助项目(973 计划，2011CB302400)。
20101214 收到初稿，20110628 收到修改稿
旋转轴的运动也使刀具姿态控制更为复杂，从而引 入许多五轴加工所特有的问题[3-4]。奇异点问题就是 其中重要的一个。当刀具通过奇异点附近区域(本文 称奇异区域)时，旋转轴会产生不连续并且急速的转 动，这大大增加了非线性误差，同时极易破坏工件， 甚至损伤机床部件[5-6]。因此，对奇异区域内的刀具 路径进行优化处理，对于提高加工精度和加工效率 至关重要。
zm = (xw − tx )sinα sin λ + ( yw − ty )sinα cos λ + (zw − tz ) cosα + tz (6)
1.2 对 C 角的初次优化
表 1 为式(3)得到的 i、j 与 C 角 γ 的关系。
表 1 i、j 与 C 角的取值关系
i
j
C 角取值或范围
=0
=0
第 47 卷第 19 期 2011 年 10 月
机械工程学报
JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERING
Vol.47 No.19 Oct. 2 0 1 1
DOI：10.3901/JME.2011.19.174
五轴加工奇异区域内的刀具路径优化*
王 峰 1, 2 林 浒 2 刘 峰 2 郑飂默 1, 2 郭晓鹤 1, 2
图 1 AC 双转台五轴机床结构和运动链
根据图 1 所示的运动链，AC 双转台五轴机床 的正向运动学方程如下
⎛i ⎜
xw
⎞ ⎟
பைடு நூலகம்
⎜j
⎜ ⎜
k
yw zw
⎟ ⎟ ⎟
=
T
(tx
,
t
y
,
tz
)
RZ
(−γ
)
RX
(−α
)
×
⎜⎝ 0 1 ⎟⎠
⎛ 0 0 0 1⎞
T
(lx
,
l
y
,
lz
)
⎜ ⎝
0
0
0
⎟ 1⎠
(1)
式中 tx, ty, tz ——A 轴中心到工件坐标系原点的长 度补偿矢量
Tool Path Optimization of Five-axis Machining in Singular Area
WANG Feng1, 2 LIN Hu2 LIU Feng2 ZHENG Liaomo1, 2 GUO Xiaohe1, 2
(1. Graduate University, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100039; 2. National High-end CNC Engineering Center, Shenyang Institute of Computing
对于奇异区域的范围，可以采用基于机床雅可 比矩阵条件数的方法来界定：首先根据机床的运动 学方程和相邻点各轴运动变化量建立五轴机床雅可 比矩阵，然后求解雅可比矩阵的条件数，如果条件 数超过给定值，则可以判定当前加工区间处于奇异 区域内[12]。
drastic motion of the rotational axis in singular area, an algorithm that optimizes the tool path of five-axis machining in singular area is proposed. Consider a table-tilting type machine tool with two rotational axes A and C. The initial optimization for C angle based on the periodicity of sine function and cosine function proceeds. Based on judging whether the tool passes the singular point, there are two ways to decrease too large rotation of C axis further. The one is setting the value of C angle at the singular point. The other is modifying the direction of tool axis near the singular point. The intervals whose non-linear errors still exceed the allowed range are interpolated recursively. The experiment is performed to test that the rapid motion of axis in singular area is effectively prevented and the non-linear error is largely reduced by such method. Simultaneously, compared with the method just using linear interpolation, the number of interpolated points is fewer and the processing speed is faster via such method.
Key words：Five-axis machining Singular area Tool path optimization Motion control
0 前言*
五轴加工在三轴加工基础上增加了两个旋转 轴，从而使加工方式更加灵活，材料去除率更高， 加工时间更短，可以处理更为复杂的工件[1-2]。但是
差。因此需要对原始的 C 角进行修正。由于正弦函
数和余弦函数都以 2π 为周期，因此利用这一特性在
反解三角函数的过程中修改 C 角的取值
γ
n′ +1
=
⎧γ ⎪⎨γ
n n
+1 +1
+ −
2π 2π
γ n+1 − γ n < − π γ n+1 − γ n > π
(7)
⎪⎩γ n+1
其他
176
机械工程学报
(2)
γ = arctan(i / j) − π < γ ≤ π
(3)
xm = (xw − tx ) cosγ − ( yw − ty ) sin γ + tx (4)
ym = (xw − tx ) cosα sin γ + ( yw − ty ) cosα cosγ − (zw − tz ) sinα + ty (5)
2.1 奇异点和奇异区域 由图 1 可知，当 α=0 时，刀轴与转台台面垂直，
C 角取任何值刀轴方向都不会改变，造成自由度丢 失。根据式(2)～(3)也可以看到，α=0 时，刀具方向 矢 量 为 (0,0,1)， 此时 γ = arctan(0 / 0) ， 无 解 ，在 Matlab 中规定为 0。对于 AC 双转台机床，刀轴方 向为(0,0,1) 的点就是奇异点。尽管在反运动学变换 过程中修正了 C 角的取值，但是如果刀具经过奇异 点附近即奇异区域时， Δγ 仍然很大，甚至可能达 到 π 。刀具进入奇异区域后，越接近奇异点，C 角 变化越剧烈，由此产生的非线性误差越显著，对工 件和刀具可能造成的损害也越大。需指出的是，刀 具经过奇异区域并不一定会经过奇异点，而经过奇 异点就一定是经过了奇异区域。
(1. 中国科学院研究生院 北京 100039； 2. 中国科学院沈阳计算技术研究所高档数控国家工程研究中心 沈阳 110168)
摘要：针对五轴加工在奇异区域内由于旋转轴运动的剧烈变化导致非线性误差过大并对工件、刀具和机床部件造成损害等问 题，给出一种奇异区域内加工路径的优化方法。以 AC 双转台五轴联动数控机床为研究对象，在反向运动学变化中根据正弦、 余弦三角函数的周期性对 C 轴转角进行初次优化；按照加工是否通过奇异点两种情况，采用设定奇异点处的 C 角值或者修改 奇异点附近的刀轴方向两种方法，进一步降低 C 轴过大转角；以当前加工区间的非线性误差是否超过允许值为判断条件，对 仍然不满足精度要求的区间进行递归插值处理。仿真试验和实际加工结果表明，与单纯采用线性插值方法相比，该方法在提 高奇异区域内加工精度的同时，有效减少新插入点的数量，从而尽量降低加工速度的损失。 关键词：五轴加工 奇异区域 刀具路径优化 运动控制 中图分类号：TP391
月 2011 年 10 月
王 峰等：五轴加工奇异区域内的刀具路径优化
175
AFFOUARD 等[6]提出通过多项式插补修改刀 具路径来避开奇异位置，但是插补算法复杂，计算 上代价较大。MUNLIN 等[7-8]通过选择奇异点附近 旋转轴运动的最短路径来减小误差，但该方法在选 择转角取值时，考虑的是相邻点转角变化量的相对 值最小，而相邻点之间转角变化量的绝对值可能较 大，出现这样的情况时误差仍然较大。SORBY[9]提 出的方法是在奇异点附近插入刀位点，同时修改 C 轴转角，避免加工通过奇异点时误差过大，但由于 之前没有对奇异区域的范围进行检测，因此当刀具 穿过奇异区域却不经过奇异点时，加工精度不够理 想。王丹等[10]给出的通用的五轴加工非线性误差控 制算法也可以运用到奇异区域的处理上，但由于单 纯采用线性插值，使奇异区域内的加工速度大大降 低，而且插值过密容易导致机床频繁地做加减速运 动，易引起刀具颤振。
1)。首先根据其机床结构和运动链建立机床正向运 动学方程。设工件坐标系坐标原点为 Ow，工件坐标 系下的刀具位置矢量为 pw=(xw yw zw)T，刀具方向 矢量为 uw=(i j k) T；机床坐标系原点为 Om，机床 线性轴运动矢量为 pm=(xm ym zm)T，机床旋转轴 为 A 和 C，对应的机床转角分别为 α 和 γ。
(0.100 0, –0.100 0, 0.989 9)，第 n+1 点的刀轴方向为
(–0.100 0, –0.100 0, 0.989 9)，直接依据式(3)计算出
来的 C 角分别为 3/ 4π 和 −3/ 4π ，相距 3/ 2π 。由式
(4)～(7)可知，线性轴的取值与旋转轴有关，C 角变
化剧烈会导致线性轴变化剧烈，从而产生较大的误
针对以上问题，本文在前人研究的基础上，以 AC 双转台五轴机床为例，给出一种将优化 C 轴转 角(简称 C 角)、修改刀轴方向、递归线性插值三者 结合的刀具路径优化算法，从而在提高奇异区域内 加工精度的同时，保证速度尽量快、加工更平稳。
1 五轴机床的运动学方程
1.1 AC 双转台五轴机床正向反向运动学变换 本文以 AC 双转台五轴机床作为研究对象(图
Technology, Chinese Academy of Sciences, Shenyang 110168)
Abstract：To solve problems of too large non-linear error and damages to the workpiece, the cutter and the machine tool caused by
lx, ly, lz ——机床 x 轴、y 轴、z 轴相对 A 轴 C 轴交点的位移量
RX, RZ ——回转运动的齐次坐标变换矩阵 T ——平移运动的齐次坐标变换矩阵
RM(Ω) ——绕 M 轴旋转 Ω 角，M=X, Z 经过反向运动学变换得到机床运动坐标为
α = arccos k 0 ≤ α ≤ π
0
=0
>0
0
>0
>0
(0, 1/2π)
>0
=0
1/2π
>0
<0
=0
<0
(1/2π, π)
π
<0
<0
(–π, –1/2π)
<0
=0
–1/2π
<0
>0
(–1/2π, 0)
由式(3)计算出的原始 C 角在(–π, π]之间。由表
1 可知，如果相邻点之间 i 或 j 的方向发生变化，C
角可能会发生剧烈变化。例如第 n 点刀轴方向为
第 47 卷第 19 期期
式中 γ n′+1 ——修改后的第 n+1 点的 C 角取值 γ n+1 ——修改前的第 n+1 点的 C 角取值 γ n ——修改前的第 n 点的 C 角取值
经过这样处理后，加工路径上 Δγ ( γ n+1 − γ n )都不超 过 π ，过大转角得到初步控制。对于 AC 双转台五 轴机床来说，C 轴对线性轴的影响大，A 轴较小[11]。 因此只需要对 C 角进行优化即可。
∗ 国家重点基础研究发展计划资助项目(973 计划，2011CB302400)。
20101214 收到初稿，20110628 收到修改稿
旋转轴的运动也使刀具姿态控制更为复杂，从而引 入许多五轴加工所特有的问题[3-4]。奇异点问题就是 其中重要的一个。当刀具通过奇异点附近区域(本文 称奇异区域)时，旋转轴会产生不连续并且急速的转 动，这大大增加了非线性误差，同时极易破坏工件， 甚至损伤机床部件[5-6]。因此，对奇异区域内的刀具 路径进行优化处理，对于提高加工精度和加工效率 至关重要。
zm = (xw − tx )sinα sin λ + ( yw − ty )sinα cos λ + (zw − tz ) cosα + tz (6)
1.2 对 C 角的初次优化
表 1 为式(3)得到的 i、j 与 C 角 γ 的关系。
表 1 i、j 与 C 角的取值关系
i
j
C 角取值或范围
=0
=0
第 47 卷第 19 期 2011 年 10 月
机械工程学报
JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERING
Vol.47 No.19 Oct. 2 0 1 1
DOI：10.3901/JME.2011.19.174
五轴加工奇异区域内的刀具路径优化*
王 峰 1, 2 林 浒 2 刘 峰 2 郑飂默 1, 2 郭晓鹤 1, 2
图 1 AC 双转台五轴机床结构和运动链
根据图 1 所示的运动链，AC 双转台五轴机床 的正向运动学方程如下
⎛i ⎜
xw
⎞ ⎟
பைடு நூலகம்
⎜j
⎜ ⎜
k
yw zw
⎟ ⎟ ⎟
=
T
(tx
,
t
y
,
tz
)
RZ
(−γ
)
RX
(−α
)
×
⎜⎝ 0 1 ⎟⎠
⎛ 0 0 0 1⎞
T
(lx
,
l
y
,
lz
)
⎜ ⎝
0
0
0
⎟ 1⎠
(1)
式中 tx, ty, tz ——A 轴中心到工件坐标系原点的长 度补偿矢量
Tool Path Optimization of Five-axis Machining in Singular Area
WANG Feng1, 2 LIN Hu2 LIU Feng2 ZHENG Liaomo1, 2 GUO Xiaohe1, 2
(1. Graduate University, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100039; 2. National High-end CNC Engineering Center, Shenyang Institute of Computing
对于奇异区域的范围，可以采用基于机床雅可 比矩阵条件数的方法来界定：首先根据机床的运动 学方程和相邻点各轴运动变化量建立五轴机床雅可 比矩阵，然后求解雅可比矩阵的条件数，如果条件 数超过给定值，则可以判定当前加工区间处于奇异 区域内[12]。
drastic motion of the rotational axis in singular area, an algorithm that optimizes the tool path of five-axis machining in singular area is proposed. Consider a table-tilting type machine tool with two rotational axes A and C. The initial optimization for C angle based on the periodicity of sine function and cosine function proceeds. Based on judging whether the tool passes the singular point, there are two ways to decrease too large rotation of C axis further. The one is setting the value of C angle at the singular point. The other is modifying the direction of tool axis near the singular point. The intervals whose non-linear errors still exceed the allowed range are interpolated recursively. The experiment is performed to test that the rapid motion of axis in singular area is effectively prevented and the non-linear error is largely reduced by such method. Simultaneously, compared with the method just using linear interpolation, the number of interpolated points is fewer and the processing speed is faster via such method.
Key words：Five-axis machining Singular area Tool path optimization Motion control
0 前言*
五轴加工在三轴加工基础上增加了两个旋转 轴，从而使加工方式更加灵活，材料去除率更高， 加工时间更短，可以处理更为复杂的工件[1-2]。但是
差。因此需要对原始的 C 角进行修正。由于正弦函
数和余弦函数都以 2π 为周期，因此利用这一特性在
反解三角函数的过程中修改 C 角的取值
γ
n′ +1
=
⎧γ ⎪⎨γ
n n
+1 +1
+ −
2π 2π
γ n+1 − γ n < − π γ n+1 − γ n > π
(7)
⎪⎩γ n+1
其他
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(2)
γ = arctan(i / j) − π < γ ≤ π
(3)
xm = (xw − tx ) cosγ − ( yw − ty ) sin γ + tx (4)
ym = (xw − tx ) cosα sin γ + ( yw − ty ) cosα cosγ − (zw − tz ) sinα + ty (5)