极值的概率分布

试求 X(n) 的渐近CDF与PDF并作图。
解: F ˆ ( x ) e n1 x / a 0 x a M
n(1 x / a ) ˆ f M ( x) ne /a 0 x a
西南交通大学
26
例1.8 总体X服从标准正态分布, 其PDF为:
( x)
1 2
西南交通大学

一般地，对极值变量
X (1) min X i , X ( n ) max X i
1 i n 1 i n
及其函数的统计估计、统计分析及其应 用，统称为极值统计。
西南交通大学
4
一
极值的确切分布
X1 , X 2 , , Xn
设来自总体 X~F(x) 的一个简单样本为 则 1) 它们相互独立; 2) 具有相同的分布
西南交通大学
18
1 样本的极大值的渐近分布
对于任意的分布 令转换变量为
Zn n 1 F ( X ) ( n )
1 F ( X ) 则 FZn ( z ) P Z n z P n ( n ) z


PX
P F ( X (n) ) 1 z / n
0 x 1
图形见 P158
14
0 x 1
西南交通大学
其样本的极小值的确切分布为:
FN ( x) 1 [1 F ( x)]
1 1 x
n
n
0 x1
n1
f N ( x) n(1 x)
0 x 1
西南交通大学
15
例1.4 总体X的PDF与CDF为标准正态分布:
6
N X (1) min X i 的确切分布: 1 i n
FN ( x ) P X (1) x P min X i x
1 i n




1 P X1 x, X 2 x,
, X n x P X n x
1 P X1 x P X2 x
n ( x FMy exp e
exp e
n ( x un )
x

un )


仍为重指数型
西南交通大学 32
2 样本的极小值的渐近分布 对于任意的分布 令转换变量为 则
Z1 nF ( X(1) )
FN ( x) 1 [1 F ( x)]
n
n
1 1 ( x )
f N ( x) n(1 ( x)) ( x)
n1
图形见 P159
西南交通大学
17
二
极值的渐近分布
探讨极值的渐近分布的意义在于: 1) 极值的确切分布比较复杂; 2) 极值的确切分布依赖与总体分布, 若分 布未知时,统计中无法应用
1 i n




P X1 x, X 2 x,
, X n x P X n x
n
P X1 x P X2 x
F ( x )F ( x )
n
F ( x) F ( x)
n1
f M ( x) [F ( x)] nF
西南交通大学
( x) f ( x)
1 FZ n n 1 F ( x ) 1 FZn g ( x )
其中
g( x) n1 F ( x) 0
西南交通大学 22
得样本的极大值的渐近CDF与PDF
n1 F ( x ) n1 F ( x ) ˆ FM ( x ) 1 1 e e
k k 0
n
k k x n
n( n 1) 2 x e 2!
x
( 1) e
n
n x
FM ( x ) exp ne

x0
图形见 P156
10
即分布近似为重指数型
西南交通大学
其样本的极小值的确切分布仍为指数分布:
FN ( x) 1 [1 F ( x)] 1 e
FZ1 ( z ) P Z1 z P nF ( X (1) ) z
P X F ( z / n) F F ( z / n)
x0 x0
其样本的极大值的确切分布为
FM ( x) F ( x) (1 e
n
x n
)
x0 x0
9
f M ( x) n (1 e
x n1 x
)
e
西南交通大学
易见:
FM ( x ) (1 e
1 ne
x
x n
) (1) C e
z
n
又有
lim(1 z / n ) e
n n
所以当n足够大时,应有
FZn ( z ) 1 e
FZn ( z) 0
z
z0
z0
20
西南交通大学
所以当n足够大时,应有
e f Zn ( z ) 0
z
z0 z0
1 F ( X ) 再由 Z n n ( n )
N X (1) min X i , M X ( n ) max X i
1 i n 1 i n
由概率论可得极值的确切分布:
西南交通大学
5
M X ( n ) max X i 的确切分布: 1 i n
FM ( x ) P X ( n) x P max X i x
n1 F ( x ) ˆ f M ( x ) ne f ( x)
西南交通大学
23
例1.5 总体X服从指数分布,其PDF为:
e x x 0 f ( x) x0 0
试求 X(n) 的渐近CDF与PDF并作图。
解: F ˆ ( x) e M
x n 1 (1 e )
Probability density function
分布函数= CDF Continuous distribution function
西南交通大学
8
例1.1 总体X具有指数式PDF与CDF:
e f ( x) 0
x
x0 x0
1 e F ( x) 0
x
西南交通大学
28
Cramer给出上式中X(n)的渐近解:
X ( n ) 2ln n ln ln n ln 4 2 2ln n ln Z n 2ln n
令 un 2ln n
ln ln n ln 4 2 2ln n
， n 2ln n
得:
1 X ( n) un ln Z n n




30
西南交通大学
对于一般的正态分布: X ~ N ( , )
2
因为
得上述结果, 则有X的渐近分布为:
Y
X
~ N (0,1)
FMx ( x ) P X ( n )

X (n) x x P

西南交通大学
31
x FMx ( x ) P Y( n )
e
x2 2
试求 X(n) 的渐近CDF与PDF并作图。
解:

1 F ( X ) 注意: Z n n ( n )
2
n
X( n )
e
t2 2
1 ( )( te dt 2 X( n ) t

西南交通大学
n
t2 2
)dt
27
1 ( )d (e 2 X( n ) t
f ( x) F ( x)
1
2 x 1
e
x2 2
( x) dx ( x )

2
n
e
x2 2
其样本的极大值的确切分布为
FM ( x) F ( x) ( x)
n
f M ( x) n
n1
( x) ( x)
16
西南交通大学
其样本的极小值的确切分布为:
k n 1 (1 1/ x ) 解: ˆ n / xk FM ( x ) e e
x1
ˆ ( x ) nke f M
n / xk
/x
k 1
x 1
25
西南交通大学
例1.7 总体X服从标准分布, 其PDF为:
1/ a f ( x) 0
0 xa 其它
西南交通大学
西南交通大学
李裕奇
1
一 极值的确切分布 二 极值的渐近分布 三 对称原理
利用样本的最大值、最小值对总体 作出判断的统计方法，统称为极值方法， 即极值统计方法。 极值统计方法应用于研究变量观察值 的极端情况，并对将来极端情况作出科学 预报。例如： 1）某地区地震的最大震级情况 2）某河流的最高水位与最低水位情况

n
t2 2
)
t2 2

n 1 e t 2
t2 2
|
X( n )
1 e 2 X( n ) t
dt
1 e 2 X ( n )
n
X (2n ) 2
1 1 O 2 X ( n)
1 [1 F ( x )][1 F ( x )] [1 F ( x )]
1 [1 F ( x)]
n
n1 f N ( x ) 1 [1 F ( x )] n[1 F ( x)] f ( x)
n
西南交通大学 7
注意:
概率密度函数= PDF
n
n
x 1 x 1
f M ( x) n(1 1/ x)
西南交通大学
n1
/x
2
图形见 P157
12
其样本的极小值的确切分布为:
FN ( x) 1 [1 F ( x)]
n
n
1 1 1 1/ x 1 1/ x
n
x1
f N ( x) n / x
西南交通大学 29
转换变量即为
Zn e
n ( X( n ) un )
得样本的极大值的渐近CDF与PDF
n1 ( x ) n ( x un ) ˆ FM ( x ) e exp e n ( x un ) n ( x un ) ˆ f M ( x ) ne exp e
n
nx
x0
f N ( x) ne
即分布为单指数型
nx
x0
西南交通大学
11
例1.2 总体X的PDF与CDF为多项式型:
1/ x f ( x) 0
2
x1 x1
1 1/ x x 1 F ( x) x1 0
其样本的极大值的确切分布为
FM ( x) F ( x) (1 1/ x)
e
ne x
x0
ˆ ( x ) ne f M
ne x
e
x
n e
n( e x x )
( x 0)
西南交通大学 24
例1.6 总体X的PDF为:
k / x k 1 x 1 f ( x) x1 0
试求 X(n) 的渐近CDF与PDF并作图。
1 (n)

19
F (1 z / n)
1
1 P X ( n ) F (1 z / n)
西南交通大学

1 FZ n ( z ) 1 FM F (1 z / n )
1 F F (1 z / n)
1


n
1 (1 z / n)
n
x 1
西南交通大学
13
例1.3 总体X的PDF与CDF为有界型式:
1 f ( x) 0
0 0 x 1 F ( x) x 其它 1
n n
x0 0 x1 其它
其样本的极大值的确切分布为
FM ( x) F ( x) x f M ( x) nx
n1
得
X( n ) F
1
1 Zn / n
西南交通大学
21
X( n ) F
P F
1
1 Zn / n
的分布函数即为
FX( n ) ( x ) P X ( n ) x
1


1 Z n / n x
P Z n n 1 F ( x ) P Z n g ( x )