第2章卫星轨道

轨道元素
要确定t时刻卫星的绝对(即惯性)坐标，我们需要6个 已知参量即所谓的轨道元素。其实描述某一特定轨 道的参数可以远多于6个，而且具体采用哪6个参数 也没有明确的规定。我们一般选择卫星通信中常用 的一套参量：偏心率e，半长轴a，近地时刻 t p ，上 升极点的右上升角 ，倾角i，以及近地点参量 。
M (t tp ) E e sin E
平均异常角M是卫星经过近地点后,以平均角速度 沿外接圆运动的弧
长(单位为弧度)。
若我们已知近地点时刻 t p 、偏心率e以及半长轴长度a，就具备了确定卫
星在轨道平面内位置坐标(r0,0 )和x( 0 , y0)的足够参量。具体求解步骤如下：
1.计算出
2.计算出M 3.求出E 4.根据所求得的E,求出r0.
地球的转动轴为穿过地球北极的 轴z。i 轴自xi 地心指向白羊官第一
星。这种坐标系在太空中不是静止不动的，当地球沿绕日轨道运动 时，它也会逐渐变化．但它并不随地球的旋转而旋转。无论地球运
动到轨道上的什么位置， 轴总xi是指向白羊官第一星的。由于( )
平xi面, y包i 含了地球赤道，因而通常称之为赤道平面。
开普勒行星运动三大定律
Johannes Kepler(157l-1630)是一位德国天文学家和科学家，他 根据多年来观测太阳系内行星运动所得到的数据以及匈牙利天文 学家Tycho Brahe提供的一些详细观测据，推导出了行星运动定 律。开普勒三大定律如下： l.任何物体环绕较大物体的运动轨道都是椭圆形的，并且较大物 体的中心位于该椭圆中的一个焦点上。 2.较小物体在相等时间内扫过的轨道面积相等。 3.物体环绕较大物体运动周期的平方等于一个常数与半长轴的三 次方的乘积，即T2 = (4π2a3)/μ，其中T是轨道周期，a是椭圆轨 道的半长轴，μ是开普勒常数。若轨道为圆形，则此时a即前面 定义的距离半径r。
因此，太空舱在轨道中的速度为
2 a /T=41 645 .83／5370.13=7 .755 km／s
也可以利用式v= ( / r)1/ 2 求解。其中 =3.986 004 418 ， r=(6378.14+250.0)km， 从而求得v=7.755 km/s。 7.8 km/s是低轨道卫星的典型速度。随着卫星高度的增加，其速度会随之减小
均太阳时。宇宙时间是以时、分、秒或以一天的几分之一为 计时单位的，它比北京时间早8个小时，因此08:00:00 北京 时间相当于0:00:00 h UT。一天是从00:00:00 h UT开始的， 通常也写做0 h，该时刻也是前一天的午夜(24:00:00)。天文 学家们还采用了一种儒略日期计时系统。儒略日期从UT正午 开始，以1899年12月31日作为儒略日期2415020的开始，通 常写做241 5020。关于这一点，参考文献[2]做了详细讲述， 参考文献[14]还提供了一些补充内容。例如，2000年12月31 日中午正是儒略日期245 1909的开始。儒略日期可以利用小 数来表示时间；2001年1月1日00 00：00 h UT(第三个千年 的0时0分0秒)可以表示为儒略日期245 1909.5。要确定某一 时刻卫星的准确位置，需要已知轨道元素的参数值。
GEO（geosynchronous earth orbit) 36000千米
HEO (high earth orbit)
20000～36000千米
MEO (medium earth orbit)
6000～15000千米
LEO (low earth orbit)
400～1500千米
卫星主要受力：离心力，地心引力。 若这两个力大小相等，则卫星可以在稳定的轨道中运动。
上升极点的右上升角记做 。轨道平面与赤道平面(两平面的交线
即为两极点的连线)所成的夹角为倾角i。
利用变量 和i，我们可以进一步确定相对赤道面的轨道平面。
要确定以赤道坐标系为参照的轨道坐标系，我们还需要引入西近地
点变量 。该角是轨道上升极点与近地点所成的夹角。
在太空以及其他许多科学和工程研究中，一般习惯采用宇宙 时间(UT)——也称为祖鲁时间(z)——作为标准时间。该标准 时间实际上是位于英国伦敦附近的格林尼治观察站测得的平
ab
矢量自卫星运动开始，在G时间内扫过的微分面积为
dA
0.5r02
( d0
dt
)dt
0.5hdt
注意，h是卫星环绕角动量的大小。由于角动量守恒，所以，在相等时间内，
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半径矢量扫过的面积是相等的。此即开普勒第二定律。卫星扫过轨道一周
的面积即该椭圆的面积( )，a因b而我们可以推导出轨道周期T的表达式，
通常 利用某时刻的平均异常角M求解。
例题：对地静止卫星轨道半径 地球自转一周的时间为一个恒星日，即24小时56分4.09 秒。求GEO的轨道半径。 解 ：轨道周期平方的公式（单位为秒）：
T 2 (4 2a3 ) /
可得轨道半径a为
a3 T 2 /(4 2 )
对一个恒星日．T=86164.09秒。因此
56..求计出算x00 和 y0
以地面为参照确定卫星的位置
我们总结了在轨道平面的直角坐标系中确定卫星位置(x0, y0)的方法。 它是以地心为参照的。但在多数情况下，我们需要知道的是卫星相 对观察点的位置，而观察点与地心是不重合的，因此我们有必要推 导出卫星相对旋转地面位置的变换式.我们以地心赤道坐标系为基础，
可求得轨道周期T为
T=5370.30s=89min 30.3s 该轨道周期值可以说是非常小的.由于飞行高度很低，太空舱极容易因为与地球大气 中的微粒发生摩擦而逐步减速，并导致坠落至地面。因此．处于稳定地球轨道上的 太空舱的运行周期一般都超过了89分30.3秒。
轨道周长为 2 a ＝41 645.83 km。
即
T 2 (4 2a3 ) /
该式即是开普勒行星运动第三定律的数学表达式。式中环绕周期T是以惯性空间为参 照的，即是以银河系为参照的。
卫星轨道要保持完全对地静止，必须满足以下三个条件：
轨道形状必须为圆形
轨道必须具有正确的周期
轨道必须位于赤道平面内
若某卫星轨道与赤道面的夹角不为零或者其偏心率非零，但其环绕周期 正确，则该卫星通常称为对地同步卫星。地面上的观测者观测到的对地 同步卫星的位置会在一个视角均值左右摆动。
r0
1
p e cos(0
0 )
其中θ0是常数，e是椭圆的偏心率，椭圆的半焦弦p为 p = h2/μ
其中h是卫星环绕角动量的大小
h r2 d dt
轨道方程是椭圆方程、即开普勒行星运动第一定律。 长半轴a和短半轴b的值为
a = p/(1-e2)
b = a(1-e2)1/2 运行轨道中卫星与地球距离最近的点称为近地点，卫星与地球距离最远的点称为远地点。 为了使θ0=0，我们必须适当地选择x0轴，以使近地点和远地点均位于x0轴。
第2章 卫星轨道
太空的定义： 国际协约规定，各国上空160千米高度开
始的空间为太空，飞行器的飞行高度在160千米以下时，必须得 到该国的许可方可在该国上空飞行。
当飞行器从太空返回地球时，从距离地面122千米高度处开始， 便可以感觉到大气阻力的作用。由于执行一项任务一般需要数月 的时间，多数卫星被发送到距离地面至少400千米的轨道上。即 使是在如此高的轨道上，大气阻力的作用仍然很明显。
y0 r0 sin 0
前面曾经提到，轨道周期T是卫星在惯性空间中旋转一周所用的时间，
一周内旋转弧度为 ，2因 而平均角速度为
(2 ) / T (1/2 ) /(a3/2 )
若轨道的形状为椭圆，则卫星在轨道上各点的瞬时角速度各不相同。
若我们在椭圆外作一个半径为a的外接圆。则以恒定角速度 环绕
卫星轨道方程
假设卫星的质量为m，它与地心的距离矢量为r，按上图建立坐标系，卫
星受到的地球引力F为
v F
GM E r3
mrv
其中ME是地球的质量，G=6.672×10-11Nm2/kg2。由于力=质量x加速度，
因而：
v F
m
d
2rv
dt 2
即
d 2rv dt 2
rv r3
0
上式是一个二阶线性微分方程，求解方程是比较困难的。
利用变换 可得 以及
x0 = r0cosΦ0
y0 = r0sinΦ0
xˆ0 rˆ0 cos0 ˆ 0 sin0 yˆ0 ˆ 0 cos0 rˆ0 sin 0
d 2r0 dt 2
r0
(
d0 dt
)
r02
r0
(
d 2 dt 2
0
)
2(
dr0 dt
)(
d dt
0
)
0
可以推导出卫星轨道半径的方程 ：
我们还可推导出中心异常角E与平均角速度 的关系式，即
dt (1 e cos E)dE
设t p 为近地点时刻。该时刻不仅是卫星距离地球最近的时刻，也是卫
星穿过x0 轴的时刻以及E=0的时刻。将上式两边同时积分，可得
(t tp ) E e sin E
通常称此式的左边项为平均异常角，记为M.因而
例：椭圆轨道 某卫星运行于一椭圆轨道，其近地点为1000千米，远地点为4000千米。 地球平均半径为6378.14千米，试求轨道周期(以时分秒表示)和轨道的偏 心率。 解：椭圆轨道的长轴是近地点和远地点之间的连线。因此，设半长轴为
其中T是恒星时，不是我们日常习惯的太阳时。
GEO卫星的环绕周期是一个恒星日，为23小时56分4.1秒。一个恒星日是除 太阳以外的任意恒星连续两次经过地球上某一特定经度所用的时间。平均太 阳日是太阳连续两次经过地球上某一经度所用的时间，其值为24小时，这也 是在地球上某点观测到的相邻两次日出时间间隔的年平均值。由于地球绕太 阳一周的时间为365.25天，因而太阳日比恒星日长24×60/365.25=3.94分钟。
x 示。赤轨道道平面面与内赤从道面i 垂轴直向相东交测的得两的个角交距点离称称为为极右点上，升在角上，升用极R点A表，
卫星穿过赤道面向上运动；在下降极点，卫星穿过赤道面向下运动， 注意此时地球按常规北极朝上，即沿地心坐标系正z轴方向。其实 在太空中是没有上下之分的，只是在地面由于重力的作用，我们感 觉到有上下的分别。对于太空中的失重物体(如环轨运动的飞船)而 言，除非是以某一固定点为参照点，否则区分上下是毫无意义的。
为了避免求解 rv 的微分，我们可以选择另一种坐标系，使三个轴
方向的单位矢量均为常量。该坐标系以卫星轨道平面作为参考 面．如图：
在新坐标系下，轨道方程可表示为
xˆ0
(
d 2x0 dt 2
)
yˆ0
(
d 2 y0 dt 2
)
( x0 xˆ0
(x02
y0 yˆ0 ) y02 )3/ 2
0
在极坐标中求解比在笛卡儿坐标中要容易得多，具体极坐标 系如图所示：
该圆运动的物体的运动周期与卫星环绕椭圆轨道运行一周的时间T是
完全相同的。在外接圆中，找到过卫星的垂线与外接圆的交点记为
A)。经过椭圆中心(c)与该点(A)的直线与
卫星的中心异常角。E与半径 的r关0 系为
轴的x0 夹角为E；E通常称为
r0 a(1 e cos E)
因而有
a r0 ae cos E
作用在卫星上的向心力为 FIN = m×(μ/r2) = m×(GME/r2)
离心力为
FOUT = m×(v2/r)
若卫星处于受力平衡状态，可以求出圆形轨道上运行的卫星 的速度为
v = (μ/r) 1/2
若卫星的运行轨道为圆形,则卫星环绕地球运行一周的距离为 2πr, 因而卫星的轨道周期T为
T = 2πr/v = 2πr3/2/μ1/2
确定轨道中卫星的位置
将轨道方程写为
r0
a(1 e2 )
1 e cos0
角0 自 x0轴开始，一般称为异常角(异常角是天文学家估计行星距离其
近日点角距离的标准量.该术语可用于天体理论中的所有环绕物)。若我
们定义穿过近地点的方向为y轴的正方向，0 则代表卫星瞬时位置与近
地点的夹角。卫星的直角坐标系为
x0 r0 cos0
a3 (86164.1)2 3.986004418105 /(4 2 )
＝ 7.4960202511013 km3
a = 42164.17 km
例题： 低地球轨道 太空舱是低地球轨道卫星的一个典型例子。有时，其环绕高度仅距离地球250千 米．在此高度的大气层中仍存在有一定数量的分子。平均地球半径大约为6378.14千 米。利用以上数据，估计太空舱环绕高度为250千米时的运行周期(假定轨道形状为 圆形)以及其沿轨道切线方向的线性速度。 解： 250千米高度的太空舱的轨道半径为(re+h)=6378.14+250.0=6628.14 km。