排列组合的综合问题 课件

(3)恰有 2 个盒子不放球，也就是把 4 个不同的小球只放
14 400(个)．
(3)上述七位数中，3 个偶数排在一起，4 个奇数也排在一
起的有 C34·C54·A33·A44·A22＝5 760(个)．
(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把 4 个奇数排好，
再把
3
个偶数分别插入
5
个空当，共有
C
3 4
பைடு நூலகம்
·C54
·A44
·A
3 5
＝
28 800(个)．
跟踪练习
排列组合的综合问题
基础梳理
1．排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可 能的配置的数目问题．它们之间的主要区别在于是否要考虑 选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要 考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元 素进行排队．因此，分析解决排列组合问题的基本思维是 “先组，后排”．
第一类：三位数字全相同，如111,222，…，999，共9个； 第二类：三位数字全不同，共648个； 第三类：由间接法可求出，只含有2个相同数字的三位数， 共有900－9－648＝243(个)．
分组与分配问题
有6本不同的书． (1)甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？ (2)分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？ (3)分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不 同的分堆方法？ (4)分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本， 有多少种不同的分配方法？ (5)分成3堆，有2堆各1本，另一堆4本，有多少种不同的 分堆方法？ (6)摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？
1．用0到9这十个数字， (1)可以组成多少个没有重复数字的四位数？在这些四位 数中，奇数有多少个？ (2)可以组成多少个只含有2个相同数字的三位数？
解析：(1)可以组成9A39＝4 536个四位数． 适合题意的四位奇数共有 A15 A18 A82＝2240(个)．
(2)0到9这10个数字构成的三位数共有900个，分为三类：
解析：(1)在 6 本书中，先取 2 本给甲，再从剩下 4 本书 中取 2 本给乙，最后 2 本给丙，共有 C26·C42·C22＝90(种)．
(2)6 本书平均分 3 堆，用上述方法重复了 A33倍，故共有 C26·AC4233·C22＝15(种)．
(3)从 6 本书中，先取 1 本作一堆，再在剩下的 5 本中取 2 本作一堆，最后 3 本作一堆，共有 C16·C52·C33＝60(种)．
(1)共有几种放法？
(2)恰有1个空盒，有几种放法？
(3)恰有2个盒子不放球，有几种放法？ 解析：(1)44＝256(种)． (2)先从 4 个小球中取 2 个放在一起，有 C24种不同的取法， 再把取出的两个小球与另外 2 个小球看作三堆，并分别放入 4 个盒子中的 3 个盒子里，有 A34种不同的放法．根据分步乘法 计数原理，不同的放法共有 C24A34＝144(种)．
由分类计数原理，共有8+12+6+1=27（种）.
2．6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，跑道中甲不 能站在第一跑道也不能站在第二跑道，乙必须站在第五跑道 或第六跑道，则不同的排法种数共有___1_4_4___．
3．从集合{O，P，Q，R，S}与{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中各 任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母 O，Q和数字0至多只出现一个的不同排法种数是__8__4_2_4__(用 数字作答)．
解析：(1)分步完成：
第一步：在 4 个偶数中取 3 个，可有 C34种情况； 第二步：在 5 个奇数中取 4 个，可有 C45种情况； 第三步：把 3 个偶数，4 个奇数进行排列，可有 A77种情 况．所以符合题意的七位数有 C34·C54·A77＝100 800(个)． (2)上述七位数中，3 个偶数排在一起的有 C34·C45·A33·A55＝
2．解排列组合的应用题，要注意四点：
(1)仔细审题，判断是组合问题还是排列问题；要按元素 的性质分类，按事件发生的过程进行分步．
(2)深入分析、严密周详，注意分清是乘还是加，既不少 也不多，辩证思维，多角度分析，全面考虑．这不仅有助于 提高逻辑推理能力，也尽可能地避免出错．
(3)对于附有条件的比较复杂的排列组合应用题，要周密 分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基 本问题后应用分类计数原理或分步计数原理来解决．
A. 1个
B. 27个 C. 39个
D. 8个
解析：分别由x2+1=2,x2+1=5,x2+1=10解得 x=±1,x=±2,x=±3.由函数的定义，定义域中元素的选取分四种
①取三个元素：有C12·C12· C12=8（种）②取四个元素： 先从±1，±2，±3三组中选取一组C13，再从剩下的两组中选 两个元素C12·C12，故共有C13·C12·C12=12（种）;③取五个元素： C56=6（种）;④取六个元素：1种.
(4)由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验 证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决问题的方 案是否完备，有无重复或遗漏，也可采用多种不同的方法求 解，看看是否相同．在对排列组合问题分类时，分类标准应 统一，否则易出现遗漏或重复．
自测自评
1. 值域为{2,5,10}，其对应关系为y=x2+1的函数的个数为 B
(4)在(3)的分堆中，甲、乙、丙 3 人各取 1 堆，共有 C16·C52·C33·A33＝360(种)．
(5)平均分堆要除以堆数的全排列数，不平均分堆则不除， 故共有C16·AC5122·C44＝15(种)．
(6)本题即为 6 本书放在 6 个位置上，共有 A66＝720(种)．
跟踪练习
2．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子 内．
排列组合中特殊元素和特殊位置
从1到9的九个数字中取三个偶数和四个奇数． (1)能组成多少个没有重复数字的七位数？ (2)在(1)中的七位数中，三个偶数排在一起的有几个？ (3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起 的有几个？ (4)在(1)中的七位数中，任意两个偶数都不相邻的七位数 有几个？