微积分求极限的方法(2·完整版)

专题一 求极限的方法

【考点】求极限

1、 近几年来的考试必然会涉及求极限的大题目，一般为2-3题12-18分左右，而用极限的

概念求极限的题目已不会出现。一般来说涉及到的方法主要涉及等价量代换、洛必达法则和利用定积分的概念求极限，使用这些方法时要注意条件，如等价量代换是在几块式子乘积时才可使用，洛必达法则是在0比0，无穷比无穷的情况下才可使用，运用极限的四则运算时要各部分极限存在时才可使用等。 2、 极限收敛的几个准则：归结准则（联系数列和函数）、夹逼准则（常用于数列的连加）、

单调有界准则、子数列收敛定理（可用于讨论某数列极限不存在）

3、 要注意除等价量代换和洛必达法则之外其他辅助方法的运用，比如因式分解，分子有理

化，变量代换等等。

4、 两个重要极限0sin lim 1x x

x

→= 1

01lim(1)lim(1)x x x x x e x →∞→+=+=，注意变形，如将第二个式

子1

lim(1)x

x x e

→+=中的x 变成某趋向于0的函数()f x 以构造“1∞

”的形式的典型求极

限题目。

5、 一些有助于解题的结论或注意事项需要注意总结，如： （1） 利用归结原则将数列极限转化为函数极限

（2） 函数在某点极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。有时可以利用这点进行解

题，如

11

1

lim x x e

-→因左右极限不相等而在这点极限不存在。（当式子中出现绝对值和e

的无穷次方的结构时可以考虑从这个角度出发）

（3） 遇到无限项和式求极限时想三种方法：

①看是否能直接求出这个和式(如等比数列求和)再求极限 ②夹逼定理

③用定积分的概念求解。

（4）如果f(x)/g(x)当x →x0时的极限存在，而当x →x0时g(x)→0，则当x →x0时f(x)也 →0

（5）一个重要的不等式：sin x x ≤（0x >） *其中方法②③考到的可能性较大。

6、 有关求极限时能不能直接代入数据的问题。

7、 闭区间上连续函数的性质（最值定理、根的存在性定理、介值定理） 8、 此部分题目属于基本题型的题目，需要尽量拿到大部分的分数。

【例题精解·求极限的方法】

方法一：直接通过化简，运用极限的四则运算进行运算。

【例1】求极限 11

lim 1

m n x x x →--

解 1212111(1)()lim lim 1(1)()m m m n n n x x x x x x x x x x ----→→--++=--++…1…1=m

n

注：此题通过洛必达法则进行求解也非常方便。还可通过变量代换构造等价量。 【例2】求极限2

2lim (1)x x x x →+∞

+-

-

解 2

22211

lim (1)lim

2

1x x x x x x x x x

→+∞

→+∞

++-

-==++- 注：1、遇到“根号加减根号”基本上有两种方法——有理化和采取倒变量的方法。

2、一个最基本的多项式极限112112lim n n n

m m x n

a x a x a

b x b x b --→+∞++++++……(系数均不为0)：

①若n>m ，则极限为正无穷；

②若n

1

1

a b 。（本质为比较次数） 要注意的是x 是趋向于正无穷，而且分子分母遇到根号时要以根号里x 的最高次的1

2

次来

计算，如21x +的次数为1。

方法二：利用单调有界准则来证明极限存在并求极限 【例3】设1

12u ≥-，112(1,2,...)n n u u n +=+=,证明lim n n u →∞

存在并求之

方法三：利用夹逼定理——适用于无限项求极限时可放缩的情况。

【例4】求极限(1

lim

123...n n n n n n

→∞++++

解 因 (1111=123...=n n n

n n n n n n n n n

⋅<

+++<⋅ 而 lim1=lim =1n

n n n →∞

→∞

故由夹逼定理(1lim 123...n n n n n n

→∞

++++=1

方法四&方法五：等价量代换、洛必达法则——未定式极限。（化加减为乘除！）

【例5】求极限tan 0

lim tan x x

x e e x x

→--

解 原式=tan 00(1)(tan )lim lim 1tan tan x x x x x x e e e x x x x x x

-→→--==--

【例6】求极限112

1

lim ()x x x x a a

+→+∞

-

解

11

1111222(1)

1

1

1

lim ()=lim (1)lim 1(1)x x x

x x x x x x x x a a

x a

a

x a

-++++→+∞

→+∞

→+∞

--=⋅⋅-=

2

1

lim 1ln ln (1)

x x a a x x →+∞⋅⋅⋅=+