高等代数教案

《高等代数》课程教学总体安排
一、课程名称：高等代数
二、课程性质与类型：专业必修课，理论课
三、课程总学时及学分：150学时，学分
四、教学目的与要求：
教学目的：高等代数是数学与应用数学专业必修基础课，也是一门重要主干课程，是中学代数的提高，也是近代数学的基础。

通过本课程的教学，使学生掌握高等代数的基本知识，基本方法，基本思路，适当地了解代数的一些历史，一些背景，以加深对中学数学的理解，获得独立分析和解决有关的理论和实际问题的能力，并为进一步学习其他后继课程：近世代数、微分方程、泛函分析等，以及将来从事教学，科研及其他实际工作打下基础。

教学基本要求：基本掌握全书的基本概念；能独立处理书后的绝大部分习
题；通过本书抽象理论的学习，提高自学能力，数学思维，专业素质，以便阅读较深的文献。

五、教材及参考书目
教材：张禾瑞,郝炳新著，高等代数，高等教育出版社，2007年6月第四版，ISBN:7-04-021465-9，
主要参考书：
[1] 北京大学数学系，高等代数，高等教育出版社，2003年7月第三版ISBN:7-04-011915-3
[2] 李师正等编，高等代数解题方法与技巧，高等教育出版社，2004 年2月版ISBN:7-04-012942-6
[3] 徐仲,陆全,张凯院，高等代数考研教案，西北工业大学出版社，2006年6月出版，ISBN:7-5612-2088-X
六、考核方式及成绩计算方法
期末进行闭卷考试，综合平时学习态度、课堂表现、平时作业确定学生学习成绩。

具体计算方法为：学科成绩=期末考试成绩×90%+平时成绩×10%
七、课程教学日历
第一章基本概念
教学安排说明
章节题目：§1.5数环数域
学时分配：2学时。

教学时数为2学时
本章教学目的与要求：掌握数环和数域概念，判别方法，理解有理数域的最小性。

其它：本章以自学为主，只讲授第五节
课堂教学方案
§1.5数环数域
课程名称：§1.5数环数域
授课时数：2学时
授课类型:理论课
教学方法与手段：讲授法
教学目的与要求：掌握数环和数域概念，判别方法，理解有理数域的最小性。

教学重点、难点：数域的基本概念；判定数的集合是否是一个数域
教学内容
§5 数环和数域
关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.代数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的.
定义1 设S是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果S中任意两个数的和、差、积仍然是S中的数，那么S就称为一个数环.
显然整数集、全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数环。

这四个数环分别用字母Z、Q、R、C来代表。

例1取定一个数a，{}
=∈是一个数环
S na n Z
定义2 设F是一个数环，如果：
（1）F含有一个不等于0的数
（2） 如果,,0,a
b
a b F b F ∈≠∈则 那么就称F 是一个数域
又可定义为：设F 是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果F 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是F 中的数，那么F 就称为一个数域.
显然全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域.这三个数域分别用字母Q 、R 、C 来代表.全体整数组成的集合就不是数域.
如果数的集合P 中任意两个数作某一种运算的结果都仍在P 中，就说数集P 对这个运算是封闭的.因此数域的定义也可以说成，如果一个包含0，1在内的数集P 对于加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭的，那么P 就称为一个数域.
例2 所有可以表成形式
m
m n
n b b b a a a ππππ++++++ 1010
的数组成一数域，其中m n ,为任意非负整数，),,1,0;,,1,0(,m j n i b a j i ==是整数.
例3 所有具有形式
2b a +
的数（其中b a ,是任何有理数），构成一个数域.通常用)2(Q 来表示这个数域.
例4 所有奇数组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是封闭的. 定理：所有的数域都包含有理数域Q. 课后作业：P28 2，4，5
第二章多项式
教学安排说明
章节题目：§2.1 一元多项式的定义及运算，§2.2多项式整除性，§2.3 最大公因式，§2.4 多项式因式分解，§2.5重因式，§2.6 多项式函数与根，§2.7 C、R上的多项式，§2.8有理数域上多项式
学时分配：30学时。

§1一元多项式（2学时）；
§2 整除（2学时）；
§3 最大公因式（4学时）；
§4 因式分解（3学时）；
§5 重因式（2学时）；
§6多项式函数（4学时）；
§7复数域、实数域上多项式（3学时）；
§8 有理系数多项式（3学时）；
习题课及讨论（7学时）
本章教学目的与要求：
1）．掌握一元多项式的定义及运算律；理解并掌握多项式的次数及次数定理；
2）．理解并掌握多项式的整除概念和性质，掌握带余除法及其应用；
3）．理解最大公因式的存在性，掌握其求法及表示法；
4）．掌握多项式的互素概念及性质；
5）．掌握不可约多项式的概念、性质及唯一分解定理，了解标准分解式及应用；
6）．理解多项式导数的定义，求法及重因式概念，掌握多项式重因式的判别法；
7）．掌握多项式函数余式定理，理解多项式相等与多项式函数相等的关系；
8）．掌握复数域、实数域上多项式因式分解定理及不可约多项式的类型。

9）．掌握有理数域上多项式的可约性及有理根的求法，掌握高斯引理的应用。

课 堂 教 学 方 案
§1一元多项式
课程名称： §1一元多项式 授课时数：2学时 授课类型：理论课
教学方法与手段：讲授法
教学目的与要求：掌握一元多项式的定义，运算及运算律；理解并掌握多项式的次数及次数定理；
教学重点、难点：多项式的形式定义 教学内容
§1 一元多项式的定义和运算
我们将在一个数环R 上来讨论多项式
一、 一元多项式的定义
定义1 设n 是一非负整数，形式表达式
0111a x a x a x a n n n n ++++-- (1)
其中n a a a ,,,10 全属于数域R ，称为系数在数域R 中的一元多项式，或者简称为数域R 上的一元多项式.
在多项式（1）中，i i x a 称为i 次项，i a 称为i 次项的系数.以后用 ),(),(x g x f 或
,,g f 等来表示多项式.
注意：这里定义的多项式是符号或文字的形式表达式.
定义2 如果在多项式)(x f 与)(x g 中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么)(x f 与)(x g 就称为相等，记为)()(x g x f =. 系数全为零的多项式称为零多项式，记为0.
在（1）中，如果0≠n a ，那么n n x a 称为多项式（1）的首项，n a 称为首项系
数，n 称为多项式（1）的次数.零多项式是唯一不定义次数的多项式.多项式)(x f 的次数记为0(())f x ∂.
二、多项式的运算 设
0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 0111)(b x b x b x b x g m m m m ++++=--
是数域R 上两个多项式，那么可以写成
∑==n i i
i x a x f 0
)( ∑==m
j j j x b x g 0
)(
在表示多项式)(x f 与)(x g 的和时，如m n ≥，为了方便起见，在)(x g 中令
011====+-m n n b b b ，那么)(x f 与)(x g 的和为
∑=---+=++++++++=+n
i i
i i n n n n n n x b a b a x b a x b a x b a x g x f 00011111)()
()()()()()(
而)(x f 与)(x g 的乘积为
001001111)()()()(b a x b a b a x b a b a x b a x g x f m n m n m n m n m n ++++++=-+--+
其中s 次项的系数是
∑=+--=
++++s
j i j
i
s s s s b
a b a b a b a b a 011110
所以)(x f )(x g 可表成
s m
n s s
j i j i x b a x g x f )()()(0∑∑+==+=.
显然，数域R 上的两个多项式经过加、减、乘运算后，所得结果仍然是数域R 上的多项式.
多项式的运算满足以下的一些规律： 1. 加法交换律：)()()()(x f x g x g x f +=+.
2. 加法结合律：))()(()()())()((x h x g x f x h x g x f ++=++
3. 乘法交换律：. )()()()(x f x g x g x f =
4. 乘法结合律：))()()(()())()((x h x g x f x h x g x f =
5. 乘法对加法的分配律：)()()()())()()((x h x f x g x f x h x g x f +=+
6. 乘法消去律：若)()()()(x h x f x g x f =且0)(≠x f ，则)()(x h x g =. 定理2.1.1
（1）对于多项式的加减法，当()()0f x g x +≠时，有
000(()())max((()),(()))f x g x f x g x ∂+≤∂∂.
(2)对于多项式的乘法，若0)(,0)(≠≠x g x f ，则0)()(≠x g x f ，并且
000(()())(())(())f x g x f x g x ∂=∂+∂
由以上证明看出，多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积.
显然上面的结果都可以推广到多个多项式的情形.
推论2.1.2 ()()0f x g x =当且仅当()f x 和()g x 至少有一个是零多项式 推论2.1.3 若是()()()()f x g x f x h x =，且()0f x ≠，那么()()g x h x = 定义 所有系数在数域R 中的一元多项式的全体，称为数域R 上的一元多项式环，记为[]R x ，R 称为[]R x 的系数域.
课后作业：P31 1，3
课 堂 教 学 方 案
课程名称： §2 多项式的整除性 授课时数：2学时 授课类型：理论课 教学方法与手段：讲授法
教学目的与要求：理解并掌握多项式的整除概念和性质，掌握带余除法及其应用； 教学重点、难点：带余除法 教学内容
§2 多项式的整除
在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆运算—除法并不是普遍可以做的.因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系.
以下限于讨论一个数域F 上一元多项式的整除性 设F 是一个数域，[]F x 是F 上的一元多项式环 一、整除的概念
定义 数域F 上的多项式)(x f 称为整除)(x g ，如果有数域F 上的多项式)(x h 使等式
()()()g x f x h x =
成立.用“()|()f x g x ”表示)(x f 整除)(x g ，用“()|()f x g x /”表示)(x f 不能整除)(x g .
当()|()f x g x 时，)(x f 就称为)(x g 的因式，)(x g 称为)(x f 的倍式. 二、整除的性质
1. 任一多项式)(x f 一定整除它自身.
2. 任一多项式)(x f 都能整除零多项式0.
3. 零次多项式，即非零常数，能整除任一个多项式.
4. 若)(|)(),(|)(x f x g x g x f ，则)()(x cg x f =,其中c 为非零常数.
5. 若)(|)(),(|)(x h x g x g x f ，则)(|)(x h x f （整除的传递性）.
6. 若r i x g x f i ,,2,1),(|)( =，则
))()()()()()((|)(2211x g x u x g x u x g x u x f r r +++ ,
其中)(x u i 是数域P 上任意的多项式.
通常，)()()()()()(2211x g x u x g x u x g x u r r +++ 称为)(,),(),(21x g x g x g r 的一个组合.
由以上性质可以看出，)(x f 与它的任一个非零常数倍)0)((≠c x cf 有相同的因式，也有相同的倍式.因之，在多项式整除性的讨论中，)(x f 常常可以用)(x cf 来代替.
定理 2.1.1（带余除法） 对于[]F x 中任意两个多项式)(x f 与)(x g ，其中0)(≠x g ，一定有[]F x 中的多项式)(),(x r x q 存在，使
)()()()(x r x g x q x f += (1)
成立，其中00(())(())r x g x ∂<∂或者0)(=x r ，并且这样的)(),(x r x q 是唯一决定的.
带余除法中所得的)(x q 通常称为)(x g 除)(x f 的商，
)(x r 称为)(x g 除)(x f 的余式.
当()0f x ≠时，带余除法给出了整除性的一个判别条件.
定理 2.1.2对于数域F P 上的任意两个多项式)(x f ，)(x g ，其中0)(≠x g ，)(|)(x f x g 的充要条件是)(x g 除)(x f 的余式为零.
带余除法中)(x g 必须不为零.但)(|)(x f x g 中，)(x g 可以为零.这时0)(0)()()(=⋅=⋅=x h x h x g x f .
当)(|)(x f x g 时，如0)(≠x g ，)(x g 除)(x f 的商)(x q 有时也用
)
()(x g x f 来表示.
例1 证明若)()(|)(),()(|)(2121x f x f x g x f x f x g -+，则
12()|()()|()g x f x g x f x
例2 求l k ,，使1|32++++kx x l x x .
例3 若)(|)(),(|)(x h x g x f x g /，则)()(|)(x h x f x g +/.
最后，两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变.即若)(x f ，)(x g 是[]F x 中两个多项式，F 是包含F 的一个较大的数域.当然，)(x f ，)(x g 也可以看成是[]F x 中的多项式.从带余除法可以看出，不论把)(x f ，)(x g 看成是[]F x 中或者是[]F x 中的多项式，用)(x g 去除)(x f 所得的商式及余式都是一样的.因此，若在[]F x 中)(x g 不能整除)(x f ，则在[]F x 中，)(x g 也不能整除)(x f .
课 堂 教 学 方 案
课程名称： §3 多项式的最大公因式
授课时数：4学时
授课类型：理论课
教学方法与手段：讲授法
教学目的与要求：理解最大公因式的存在性，掌握其求法及表示法，掌握多项式的互素概念及性质
教学重点、难点：最大公因式的存在性及其求法，多项式的互素概念及性质 教学内容
§3 多项式的最大公因式
设F 是一个数域，[]F x 是F 上的一元多项式环
一 、多项式的最大公因式
定义1 如果多项式()h x 既是)(x f 的因式，又是)(x g 的因式，那么()h x 就称为)(x f 与)(x g 的一个公因式.
定义2 设)(x f 与)(x g 是[]F x 中两个多项式. []F x 中多项式)(x d 称为)(x f ，)(x g 的一个最大公因式,如果它满足下面两个条件：
1）)(x d 是)(x f 与)(x g 的公因式；
2）)(x f ，)(x g 的公因式全是)(x d 的因式.
例如，对于任意多项式)(x f ，)(x f 就是)(x f 与0的一个最大公因式.特别地，根据定义，两个零多项式的最大公因式就是0.
引理 如果有等式
)()()()(x r x g x q x f += (1)
成立，那么)(x f ，)(x g 和)(x g ，)(x r 有相同的公因式.
由最大公因式的定义不难看出，如果)(),(21x d x d 是)(x f ，)(x g 的两个最大公因式，那么一定有)(|)(21x d x d 与)(|)(12x d x d ，也就是说0),()(21≠=c x cd x d .这就是说，两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的.两个不全为零的多项式的最大公因式总是一个非零多项式.
因此有：
定理2.3.1 []F x 的任意两个多项式)(x f ，)(x g 一定有最大公因式，除一次因式外，)(x f ，)(x g 的最大公因式是唯一的，这就是说，若)(x d 是)(x f 与)(x g 的公因式，且若)(x f ，)(x g 不全是零多项式时，只有形如()0,c cd x ≠的多项式才是)(x f ，)(x g 的最大公因式。

在这个情形，我们约定，用
（)(x f ，)(x g ）
来表示首项系数是1的那个最大公因式.
定理2.3.2 对于[]F x 的任意两个多项式)(x f ，)(x g ，设)(x d 为)(x f ，)(x g 在[]F x 的一个最大公因式，那么，在[]F x 里可以求得多项式)(),(x v x u 使：
)()()()()(x g x v x f x u x d +=. (2)
定理证明中用来求最大公因式的方法通常称为辗转相除法(division algorithm).
例 设
343)(234---+=x x x x x f
32103)(23-++=x x x x g
求（)(x f ，)(x g ），并求)(),(x v x u 使
)()()()()(x g x v x f x u x d +=.
注：定理2的逆不成立.例如令
1)(,)(+==x x g x x f ,
则
122)1)(1()2(2-+=-+++x x x x x x .
但1222-+x x 显然不是)(x f 与)(x g 的最大公因式.
但是当(2)式成立，而)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个公因式，则)(x d 一定是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式.
二、多项式互素
定义3 []F x 中两个多项式)(x f ，)(x g 称为互素（也称为互质）的，如果
1))(),((=x g x f
显然,两个多项式互素,那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式，反之亦然.
定理3 []F x 中两个多项式)(x f ，)(x g 互素的充要条件是有[]F x 中多项式)(),(x v x u 使
1)()()()(=+x g x v x f x u .
关于互素多项式有以下事实成立
（甲） 如果1))(),((1=x g x f ,1))(),((2=x g x f ,那么1))(),()((21=x g x f x f （已） 如果1))(),((=x g x f ，且)()(|)(x h x g x f ,那么
)(|)(x h x f .
（丙）如果)(|)(),(|)(21x g x f x g x f ，且1))(),((21=x f x f ,那么
)(|)()(21x g x f x f .
推广：对于任意多个多项式)2)((,),(),(21≥s x f x f x f s ，)(x d 称为
)2)((,),(),(21≥s x f x f x f s 的一个最大公因式，如果)(x d 具有下面的性质：
1）s i x f x d i ,,2,1),(|)( =;
2）如果s i x f x i ,,2,1),(|)( =ϕ，那么)(|)(x d x ϕ.
我们仍用))(,),(),((21x f x f x f s 符号来表示首项系数为1的最大公因式.不难证明)(,),(),(21x f x f x f s 的最大公因式存在，而且当)(,),(),(21x f x f x f s 全不为零时，
))()),(,),(),(((121x f x f x f x f s s -
就是)(,),(),(21x f x f x f s 的最大公因式，即
))(,),(),((21x f x f x f s =))()),(,),(),(((121x f x f x f x f s s -
同样，利用以上这个关系可以证明，存在多项式s i x u i ,,2,1),( =,使
))(,),(),(()()()()()()(212211x f x f x f x f x u x f x u x f x u s s s =+++
如果1))(,),(),((21=x f x f x f s ，那么)(,),(),(21x f x f x f s 就称为互素的.同样有类似定理3的结论.
注意 1)当一个多项式整除两个多项式之积时,若没有互素的条件,这个多项
式一般不能整除积的因式之一.例如222)1()1(|1-+-x x x ,但22)1(|1+/
-x x ,且22)1(|1-/-x x .
2) 推论1中没有互素的条件,则不成立.如1)(2-=x x g ,1)(1+=x x f , )1)(1()(2-+=x x x f ,则)(|)(),(|)(21x g x f x g x f ,但)(|)()(21x g x f x f .
注意:s )2(≥s 个多项式)(,),(),(21x f x f x f s 互素时,它们并不一定两两互素.例如,多项式
34)(,65)(,23)(232221+-=+-=+-=x x x f x x x f x x x f
是互素的,但2))(),((21-=x x f x f . 令F 是含F 的一个数域, )(x d 是[]F x 的多项式)(x f 与)(x g 在[]F x 中的首项系数为1的最大公因式,而)(x d 是)(x f 与)(x g 在[]F x 中首项系数为1的最大公因式,那么)()(x d x d =.
即从数域F 过渡到数域F 时, )(x f 与)(x g 的最大公因式本质上没有改变. 互素多项式的性质可以推广到多个多项式的情形：
1)若多项式),()()(|)(21x f x f x f x h s )(x h 与)(,),(),(,),(111x f x f x f x f s i i +- 互素，则)1)((|)(s i x f x h i ≤≤.
2) 若多项式)(,),(),(21x f x f x f s 都整除)(x h ，且)(,),(),(21x f x f x f s 两两互素，则)(|)()()(21x h x f x f x f s .
3) 若多项式)(,),(),(21x f x f x f s 都与)(x h 互素，则
1))(),()()((21=x h x f x f x f s .
课后作业：P48 1（1），2，4，7，8，10，12
课 堂 教 学 方 案
课程名称： §4 多项式的分解
授课时数：3学时
授课类型：理论课
教学方法与手段：讲授法
教学目的与要求：掌握不可约多项式的概念、性质及唯一分解定理，了解标准分解式及应用；
教学重点、难点：唯一分解定理
教学内容
§4 多项式的分解
一、不可约多项式
C
on i x i x x x R on x x x Q on x x x )2)(2)(2)(2()
2)(2)(2()
2)(2(42224+-+-=++-=+-=-. 定义 ,()c cf x 都是()f x 的因式，这样的因式称为()f x 的平凡因式。

定义 )(x f 为[]F x 的一个次数大于0的多项式，若()f x 只有平凡因式，()f x 就说是在数域F 上不可约，多项式()f x 称为数域F 上的不可约多项式(irreducible polynomical)，显然，这时它不能表成数域F 上的两个次数比()f x 的次数低的多项式的乘积.
根据定义，一次多项式总是不可约多项式.
一个多项式是否可约依赖于数域F .
显然，不可约多项式()f x 的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍()(0)cf x c ≠这两种，此外就没有了.反过来，具有这个性质的次数1≥的多项式一定是不可约的.由此可知，不可约多项式()f x 与任一多项式()g x 之间只可能有两种关
系，或者()|()f x g x 或者((),())1g x f x =.
不可约多项式的性质：
（a ）如果)(x p 是不可约多项式,(),0cp x c ≠也是不可约多项式
（b ）不可约多项式)(x p 与任一多项式()f x 之间只可能有两种关系，或者()|()p x f x 或者((),())1p x f x =.
（c ） 如果)(x p 是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式)(),(x g x f ，由)()(|)(x g x f x p 一定推出)(|)(x f x p 或者)(|)(x g x p .
推广：如果不可约多项式)(x p 整除一些多项式)(,),(),(21x f x f x f s 的乘积)()()(21x f x f x f s ，那么)(x p 一定整除这些多项式之中的一个.
二、因式分解定理
定理2.4.1：数域()F x 的次数1≥的多项式)(x f 都可以分解成数域()F x 的一些不可约多项式的乘积.
定理2.4.2（因式分解及唯一性定理） 数域F 上次数1≥的多项式)(x f 都可以唯一地分解成数域F 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式
)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ==,
那么必有t s =，并且适当排列因式的次序后有
s i x q c x p i i i ,,2,1,)()( ==.
其中),,2,1(s i c i =是一些非零常数.
应该指出，因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性，但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法.实际上，对于一般的情形，普遍可行的分解多项式的方法是不存在的.
在多项式)(x f 的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使它们成为首项系数为1的多项式，再把相同的不可约因式合并.于是)(x f 的分解式成为
)()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r =,
其中c 是)(x f 的首项系数，)(,),(),(21x p x p x p s 是不同的首项系数为1的不可约多项式，而s r r r ,,,21 是正整数.这种分解式称为标准分解式.
如果已经有了两个多项式的标准分解，就可以直接写出两个多项式的最大公因式.多项式)(x f 与)(x g 的最大公因式)(x d 就是那些同时在)(x f 与)(x g 的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带的方幂的指数等于它在)(x f 与)(x g 中所带的方幂中较小的一个.
由以上讨论可以看出，带余除法是一元多项式因式分解理论的基础.
若)(x f 与)(x g 的标准分解式中没有共同的不可约多项式，则)(x f 与)(x g 互素.
注意：上述求最大公因式的方法不能代替辗转相除法，因为在一般情况下，没有实际分解多项式为不可约多项式的乘积的方法，即使要判断数域F 上一个多项式是否可约一般都是很困难的.
例 在有理数域上分解多项式22)(23--+=x x x x f 为不可约多项式的乘积. 课后作业：P56 1（1）（2），3，4
课 堂 教 学 方 案
课程名称： §5 重因式 授课时数：2学时 授课类型：理论课 教学方法与手段：讲授法
教学目的与要求：理解多项式导数的定义，求法及重因式概念，掌握多项式有无重因式的判别法；
教学重点、难点：多项式有无重因式的判别法 教学内容
§5 重因式
一、重因式的定义
定义 不可约多项式)(x p 称为多项式)(x f 的k （k 为非负整数）重因式,如果
)(|)(x f x p k ,但)(|)(1x f x p k /+.
如果0=k ，那么)(x p 根本不是)(x f 的因式；如果1=k ，那么)(x p 称为)(x f 的单因式；如果1>k ，那么)(x p 称为)(x f 的重因式.
注意. k 重因式和重因式是两个不同的概念,不要混淆. 显然，如果)(x f 的标准分解式为
)()()()(2
121x p x p x cp x f s r s r r =,
那么)(,),(),(21x p x p x p s 分别是)(x f 的1r 重，2r 重，… ,s r 重因式.指数1=i r 的那些不可约因式是单因式；指数1>i r 的那些不可约因式是重因式.
不可约多项式)(x p 是多项式)(x f 的k 重因式的充要条件是存在多项式)(x g ,
使得)()()(x g x p x f k =,且)(|)(x g x p /
.
二、重因式的判别 设有多项式
0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- ,
规定它的导数或一阶导数（也称微商）是
1211)1()(a x n a nx a x f n n n n ++-+='--- .
通过直接验证,可以得出关于多项式微商的基本公式:
).
()()()()()(()())((),
()())()((x g x f x g x f x g x f x f c x cf x g x f x g x f '+'=''=''+'='+）
))()(())((1x f x f m x f m m '='-
同样可以定义高阶微商的概念.微商)(x f '称为)(x f 的一阶微商；)(x f '的微商
)(x f ''称为)(x f 的二阶微商；等等. )(x f 的k 阶微商记为)()
(x f
k .
一个)1(≥n n 次多项式的微商是一个1-n 次多项式；它的n 阶微商是一个常数；它的1+n 阶微商等于0.
定理 2.5.1 如果不可约多项式)(x p 是多项式)(x f 的一个)1(≥k k 重因式,那么)(x p 是微商)(x f '的1-k 重因式.
分析: 要证)(x p 是微商)(x f '的1-k 重因式,须证)(|)(1x f x p k '-,但
)(|)(x f x p k '/.
注意:定理2.5.1的逆定理不成立.如
333)(23++-=x x x x f , 22)1(3363)(-=+-='x x x x f ,
1-x 是)(x f '的2重因式,但根本不是)(x f 是因式.当然更不是三重因式.
推论 1 如果不可约多项式)(x p 是多项式)(x f 的一个)1(≥k k 重因式,那么
)(x p 是)(x f ，)(x f ',…,)()
1(x f
k -的因式,但不是)()
(x f
k 的因式.
推论2 不可约多项式)(x p 是多项式)(x f 的重因式的充要条件是)(x p 是)(x f 与)(x f '的公因式.
推论3 多项式)(x f 没有重因式1))(),((='⇔x f x f
这个推论表明，判别一个多项式有无重因式可以通过代数运算——辗转相除法来解决，这个方法甚至是机械的.由于多项式的导数以及两个多项式互素与否的事实在由数域F 过渡到含F 的数域F 时都无改变,所以由定理6有以下结论:
若多项式)(x f 在[]F x 中没有重因式,那么把)(x f 看成含F 的某一数域F 上的多项式时, )(x f 也没有重因式.
例1 判断多项式
2795)(234+-+-=x x x x x f
有无重因式
三、去掉重因式的方法
设)(x f 有重因式,其标准分解式为
s r s r r x p x p x cp x f )()()()(2121 =.
那么由定理5
),()()()()(1121121x g x p x p x p x f s r s r r ---='
此处)(x g 不能被任何),,2,1)((s i x p i =整除.于是
11211)()()()())(),((21---=='s r s r r x p x p x p x d x f x f
用)(x d 去除)(x f 所得的商为
)()()()(21x p x p x cp x h s =
这样得到一个没有重因式的多项式)(x h .且若不计重数, )(x h 与)(x f 含有完全相同的不可约因式.把由)(x f 找)(x h 的方法叫做去掉重因式方法.
例2 求多项式
16566520104)(23456++++--=x x x x x x x f
的标准分解式.
课后作业：P59 1（1）（2），2，4
课 堂 教 学 方 案
课程名称： §6 多项式函数，多项式的根 授课时数：4学时 授课类型：理论课 教学方法与手段：讲授法
教学目的与要求：掌握多项式函数概念及余式定理，理解两个多项式相等与多项式函数相等的区别和关系；
教学重点、难点：多项式函数概念及余式定理 教学内容
§6 多项式函数，多项式的根
到目前为止，我们始终是纯形式地讨论多项式，也就是把多项式看作形式表达式.在这一节，将从另一个观点，即函数的观点来考察多项式. 本节在数环R 上讨论多项式
一、多项式函数 设
0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- (1)
是[]R x 中的多项式，c 是R 中的数，在(1)中用c 代x 所得的数
1110n n n n a c a c a c a --++
++
称为)(x f 当x c =时的值,记为()f c .这样，多项式)(x f 就定义了一个数域上的函数.可以由一个多项式来定义的函数就称为数域上的多项式函数.
因为x 在与数域R 中的数进行运算时适合与数的运算相同的运算规律，所以不难看出，如果
,)()()(,)()()(21x g x f x h x g x f x h =+=
那么
12()()(),()()().h c f c g c h c f c g c =+=
定理 2.6.1(余数定理)用一次多项式x c -去除多项式)(x f ，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值()f c .
二、综合除法
根据余数定理,要求)(x f 当c x =时的值,只需用带余除法求出用c x -除)(x f 所得的余式.但是还有一个更简便的方法,叫做综合除法.
设
n n n n n a x a x a x a x a x f +++++=---122110)(
并且设
r x q c x x f +-=)()()(. (2)
其中
.)(12322110-----+++++=n n n n n b x b x b x b x b x q
比较等式(2)中两端同次项的系数.得到
.
,,,,121112201100-----=-=-=-==n n n n n cb r a cb b a cb b a cb b a b a
⇒ .
,,
,
,
1121212
10100n n n n n a cb r a cb b a cb b
a c
b b a b +=+=+=+==----
这样,欲求系数k b ,只要把前一系数1-k b 乘以c 再加上对应系数k a ,而余式r 也可以按照类似的规律求出.因此按照下表所指出的算法就可以很快地陆续求出商式的系数和余式:
r
b b b b cb cb cb cb a a a a a
c n n n n n |
)
|12
1
12101210-----
----------------------------+
表中的加号通常略去不写.
例1 用3+x 除94)(24-++=x x x x f .
例2 求k 使355)(234+++-=kx x x x x f 能被3-x 整除
注意 :若)(x f 缺少某一项,在作综合除法时该项系数的位置要补上零. 定义 如果)(x f 在x c =时函数值()0f c =，那么c 就称为)(x f 的一个根或零点. 由余数定理得到根与一次因式的关系.
定理2.6.2 c 是)(x f 的根的充要条件是()|()x c f x -.
由这个关系，可以定义重根的概念. c 称为)(x f 的k 重根，如果x c -是)(x f 的
k 重因式.当1=k 时，c 称为单根；当1>k 时，c 称为重根.
定理 2.6.3 []R x 中n 次多项式)0(≥n 在数域F 中至多有n 个不同的根，重根按重数计算.
三、多项式相等与多项式函数相等的关系
在上面看到，每个多项式函数都可以由一个多项式来定义.不同的多项式会不会定义出相同的函数呢？这就是问，是否可能有
)()(x g x f ≠,
而对于R 中所有的数c 都有
()()f c g c =?
由定理2.6.3不难对这个问题给出一个否定的回答.
定理2.6.4 如果多项式)(x f ,)(x g 的次数都不超过n ,而它们对n+1个不同的数有相同的值即
)()(i i g f αα=,
1,,2,1+=n i ,那么)(x f =)(x g .
定理2.6.5 两个多项式)(x f ,)(x g 相等，当且仅当它们所定义的R 上多项式函数
相等.
因为数域中有无穷多个数，所以定理2.6.4说明了，不同的多项式定义的函数也不相同.如果两个多项式定义相同的函数，就称为恒等，上面结论表明，多项式的恒等与多项式相等实际上是一致的.换句话说，数域R 上的多项式既可以作为形式表达式来处理，也可以作为函数来处理.但是应该指出，考虑到今后的应用与推广，多项式看成形式表达式要方便些.
四、拉格朗日插值公式
已知次数n ≤的多项式)(x f 在1n +个不同的点)1,,2,1(+==n i c x i 的值
)1,,,2,1()(+==n i b c f i i .设
∑+=++-----=1
11111)())(()()(n i n i i i c x c x c x c x k x f
依次令c x =代入)(x f ,得
)())(()(1111++-----=n i i i i i i i
i c c c c c c c c b k
∑
+=++-++---------=1
111111111)
())(()()
())(()()(n i n i i i i i i n i i i c c c c c c c c c x c x c x c x b x f
这个公式叫做拉格朗日(Lagrange)插值公式.
例3 求次数小于3的多项式)(x f ,使3)2(,3)1(,1)1(==-=f f f . 下面介绍将一个多项式表成一次多项式x c -的方幂和的方法.所谓n 次多项式
)(x f 表成x c -的方幂和，就是把)(x f 表示成
1110()()()()n n n n f x b x c b x c b x c b --=-+-+
+-+
的形式.如何求系数011,,,,b b b b n n -，把上式改写成
12110()[()()]()n n n n f x b x c b x c b x c b ---=-+-+
+-+,
就可看出0b 就是)(x f 被x c -除所得的余数，而
12111()()()n n n n q x b x c b x c b ---=-+-++
就是)(x f 被x c -除所得的商式.又因为
231121()[()()]()n n n n q x b x c b x c b x c b ---=-+-+
+-+.
又可看出1b 是商式)(1x q 被x c -除所得的余式，而
232132()()()()n n n n q x b x c b x c b x c b ---=-+-+
+-+.
就是)(1x q 被x c -除所得商式.这样逐次用x c -除所得的商式，那么所得的余数就是
n n b b b b ,,,,110- .
例4 将5)2()2(3)2(2)2()(234+-+---+-=x x x x x f 展开成x 的多项式. 解 令2-=x y ，则2+=y x .于是532)2(234++-+=+y y y y y f .问题变为把多项式532234++-+y y y y 表成2+y （即x ）的方幂和,
-2 | 1 2 -3 1 5
+) -2 0 6 -14 ------------------------------------------------------- -2 | 1 0 -3 7 | -9 +) -2 4 -2
------------------------------------------------------ -2 | 1 -2 1 | 5 +) -2 8
----------------------------------------------- -2 | 1 -4 | 9 +) -2
---------------------------------- 1 | -6
所以9596)(234-++-=x x x x x f .
注意：将)(x f 表成x c -的方幂和，把c 写在综合除法的左边，将x c -的方幂和展开成x 的多项式，那么相当于将)(x f 表成c c x +-)(的方幂和，要把c -写在综合除法的左边.
课后作业：P65 1，2，4（1），5，7
课 堂 教 学 方 案
课程名称： §7 复数和实数域上的多项式 授课时数：3学时 授课类型：理论课 教学方法与手段：讲授法
教学目的与要求：掌握复数域、实数域上多项式因式分解定理及不可约多项式的类型。

教学重点、难点：复数域、实数域上多项式因式分解定理 教学内容
§7 复数和实数域上的多项式
一、 复数域上多项式因式分解定理
定理 2.7.1 （代数基本定理） 每个次数1≥的复系数多项式在复数域中至少有一个根.
利用根与一次因式的关系，代数基本定理可以等价地叙述为：
复系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.
因此，复系数多项式具有标准分解式
s l s l l n x x x a x f )()()()(2121ααα---=
其中s ααα,,,21 是不同的复数，s l l l ,,,21 是正整数.标准分解式说明了每个n 次复系数多项式恰有n 个复根（重根按重数计算）.
定理2.7.2：每个n 次复系数多项式恰有n 个复根（重根按重数计算）. 每个次数1≥的复系数多项式在复数域上一定有一个一次因式.由此可知，在复数域上所有次数大于1的多项式都是可约的.换句话说，不可约多项式只有一次多项式.
二、实系数多项式因式分解定理 对于实系数多项式，以下事实是基本的：
定理 2.7.3 如果α是实系数多项式)(x f 的复根，那么α的共轭数α也是。