高等代数教案

《高等代数》课程教学总体安排

一、课程名称：高等代数

二、课程性质与类型：专业必修课，理论课

三、课程总学时及学分：150学时，学分

四、教学目的与要求：

教学目的：高等代数是数学与应用数学专业必修基础课，也是一门重要主干课程，是中学代数的提高，也是近代数学的基础。通过本课程的教学，使学生掌握高等代数的基本知识，基本方法，基本思路，适当地了解代数的一些历史，一些背景，以加深对中学数学的理解，获得独立分析和解决有关的理论和实际问题的能力，并为进一步学习其他后继课程：近世代数、微分方程、泛函分析等，以及将来从事教学，科研及其他实际工作打下基础。

教学基本要求：基本掌握全书的基本概念；能独立处理书后的绝大部分习

题；通过本书抽象理论的学习，提高自学能力，数学思维，专业素质，以便阅读较深的文献。

五、教材及参考书目

教材：张禾瑞,郝炳新著，高等代数，高等教育出版社，2007年6月第四版，ISBN:7-04-021465-9，

主要参考书：

[1] 北京大学数学系，高等代数，高等教育出版社，2003年7月第三版ISBN:7-04-011915-3

[2] 李师正等编，高等代数解题方法与技巧，高等教育出版社，2004 年2月版ISBN:7-04-012942-6

[3] 徐仲,陆全,张凯院，高等代数考研教案，西北工业大学出版社，2006年6月出版，ISBN:7-5612-2088-X

六、考核方式及成绩计算方法

期末进行闭卷考试，综合平时学习态度、课堂表现、平时作业确定学生学习成绩。具体计算方法为：学科成绩=期末考试成绩×90%+平时成绩×10%

七、课程教学日历

第一章基本概念

教学安排说明

章节题目：§1.5数环数域

学时分配：2学时。教学时数为2学时

本章教学目的与要求：掌握数环和数域概念，判别方法，理解有理数域的最小性。其它：本章以自学为主，只讲授第五节

课堂教学方案

§1.5数环数域

课程名称：§1.5数环数域

授课时数：2学时

授课类型:理论课

教学方法与手段：讲授法

教学目的与要求：掌握数环和数域概念，判别方法，理解有理数域的最小性。

教学重点、难点：数域的基本概念；判定数的集合是否是一个数域

教学内容

§5 数环和数域

关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.代数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的.

定义1 设S是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果S中任意两个数的和、差、积仍然是S中的数，那么S就称为一个数环.

显然整数集、全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数环。这四个数环分别用字母Z、Q、R、C来代表。

例1取定一个数a，{}

=∈是一个数环

S na n Z

定义2 设F是一个数环，如果：

（1）F含有一个不等于0的数

（2） 如果,,0,a

b

a b F b F ∈≠∈则 那么就称F 是一个数域

又可定义为：设F 是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果F 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是F 中的数，那么F 就称为一个数域.

显然全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域.这三个数域分别用字母Q 、R 、C 来代表.全体整数组成的集合就不是数域.

如果数的集合P 中任意两个数作某一种运算的结果都仍在P 中，就说数集P 对这个运算是封闭的.因此数域的定义也可以说成，如果一个包含0，1在内的数集P 对于加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭的，那么P 就称为一个数域.

例2 所有可以表成形式

m

m n

n b b b a a a ππππ++++++ 1010

的数组成一数域，其中m n ,为任意非负整数，),,1,0;,,1,0(,m j n i b a j i ==是整数.

例3 所有具有形式

2b a +

的数（其中b a ,是任何有理数），构成一个数域.通常用)2(Q 来表示这个数域.

例4 所有奇数组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是封闭的. 定理：所有的数域都包含有理数域Q. 课后作业：P28 2，4，5

第二章多项式

教学安排说明

章节题目：§2.1 一元多项式的定义及运算，§2.2多项式整除性，§2.3 最大公因式，§2.4 多项式因式分解，§2.5重因式，§2.6 多项式函数与根，§2.7 C、R上的多项式，§2.8有理数域上多项式

学时分配：30学时。

§1一元多项式（2学时）；

§2 整除（2学时）；

§3 最大公因式（4学时）；

§4 因式分解（3学时）；

§5 重因式（2学时）；

§6多项式函数（4学时）；

§7复数域、实数域上多项式（3学时）；

§8 有理系数多项式（3学时）；

习题课及讨论（7学时）

本章教学目的与要求：

1）．掌握一元多项式的定义及运算律；理解并掌握多项式的次数及次数定理；

2）．理解并掌握多项式的整除概念和性质，掌握带余除法及其应用；

3）．理解最大公因式的存在性，掌握其求法及表示法；

4）．掌握多项式的互素概念及性质；

5）．掌握不可约多项式的概念、性质及唯一分解定理，了解标准分解式及应用；

6）．理解多项式导数的定义，求法及重因式概念，掌握多项式重因式的判别法；

7）．掌握多项式函数余式定理，理解多项式相等与多项式函数相等的关系；

8）．掌握复数域、实数域上多项式因式分解定理及不可约多项式的类型。

9）．掌握有理数域上多项式的可约性及有理根的求法，掌握高斯引理的应用。