高中数学导数的概念

解 : f (10) 1.5表示服药后10min时,血液中药物
浓度上升的速度为1.5g /(mL min),也就是说,如
果保持这一速度, 每经过1分钟时间, 血液中的药
物浓度将上升1.5g / mL.
f (100) 0.6表示服药后100min时,血液中药物浓
度下降的速度为0.6g /(mL min),也就是说,如果保
例2一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作, 生产的食品数量y(单位: kg)是其工作时间x(单位: h) 的函数y f (x).假设函数y f (x)在x 1和x 3处 的导数分别为: f (1) 4和f (3) 3.5,试解释它们 的实际意义.
解 : f (1) 4表示该工人上班后工作1h的时候, 其生产速度(即工作效率)为4kg / h.也就是说, 如果保持这一生产速度, 那么他每时可以生产 4kg的食品.
到3(2 x),函数值y关于x的平均变化率为:
f (2 x) f (2) 3(2 x) 3 2 3x 3(m3 / s).
x
x
x
当x趋于2时,即x趋于0, 平均变化率趋于3, 所以
f (2) 3m3 / s.
导数f (2)表示当x 2s时水量的瞬时变化率,即水流 的瞬时速度.也就是如果水管中的水以x 2s时的瞬 时速度流动的话, 每经过1s, 水管中流过的水量为3m3.
数值的改变量与自变量的改变量之比,即 :
y f (x2 ) f (x1) .
x
x2 x1
我们用它来刻画函数值在区间[x1, x2 ]上变化的快慢.
对于一般函数y f (x),在自变量x从x0变到x1的
过程中,若设x x1 x0,则函数的平均变化率是:
y f (x1) f (x0 ) f (x0 x) f (x0 ) .
复习回顾
什么是平均变化率?什么是瞬时变化率?
对一般的函数y f (x)来说,当自变 量x从x1变为x2时,函数值从f (x1) 变为f (x2 ),它的平均变化率为: f (x2 ) f (x1) .
x2 x1
通常我们把自变量的变化x2 x1称作自变量的改变量, 记作x,函数值的变化f (x2 ) f (x1),称作函数值的改 变量, 记作y.这样,函数的平均变化率就可以表示为函
持这一速度, 每经过1分钟时间, 血液中的药物浓度
将下降0.6g / mL.
课堂练习
物体自由落体的运动方程是:
S(t)=12 gt2,
如何求t=3这时刻的瞬时速度呢？
解：取一小段时间：［3,3+△t]
△Ｓ= 1 g(3+△t)2－ 9 g
V
=
2
△Ｓ △t

g
2
(6+△t)
2
解：取一小段时间：［3,3+△t]
f (3) 3.5表示该工人上班后工作3h的时候, 其生产速度为3.5kg / h.也就是说,如果保持这 一生产速度, 那么他每时可以生产3.5kg的食品.
例3服药后, 人体血液中的药物浓度y(单位 :
g / mL)是时间t(单位: min)的函数y f (t),
假设函数y f (t)在t 10和t 100处的导 数分别为f (10) 1.5和f (100) 0.6,试解 释它们的实际意义.
x
x1 x0
x
当x1趋于x0时, x趋于0时,如果平均变化率趋于一个固
定的值, 那么这个值就是函数y f (x)在x0点的瞬时变
化率.
在数学中, 称瞬时变化率为函数 y f (x)在点x0处
的导数,通常用符号 f (x0 )表示,记作 :
f (x0 ) lim f (x1 ) f (x0 ) lim f (x0 x) f (x0 ) .
f
(x0 )

lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
例题讲解
例1一条水管中流过的水量y(单位: m3)时间x(单位: s) 的函数y f (x) 3x.求函数y f (x)在x 2处的导数 f (2),并解释它的实际意义.
解 :当x从2变到2 x时,函数值从3 2变
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x1 x0
x1 x0
x1 x0
x
导数的定义:
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
lim f (x0 x) f (x0 ) lim f ,
x0
x
x0 x
我们称它为函数y f (x)在x x0
处的导数, 记作f (x0 )或y xx0 ,即:
△Ｓ= 1 g(3+△t)2－ 9 g
2
2
V=
△Ｓ △t

g 2
(6+△t)
当△t 0时，v 3g =29.4
１．平均速度
瞬时速度；
２．平均变化率
瞬时变化率；
３．导数
f’(x0)=△lxim0
f(x0+△x)－f(x0)
△x
x
x1 x0
x
而当x趋于0时, 平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变
化率,瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.
分析推导
设函数y f (x),当自变量x从x0变到x1时,函数值从f (x0 )
变到f (x1),函这数个值值y称关为于:x当的x平1趋均于变x0时化,率为
y f (x1)平 f均(x变0 )化率f (的x0极限.x) f (x0 ) .