利用初等变换求矩阵的秩

8.R(A E) R(A E) n
15
返回
3
3
3
3
4
45
8
返回
1 2 1 0 2
2 4 2 6 6 . 2 1 0 2 3
3
3
3
3
4
45
解: A
r2 2r1 r3 2r1
r4 3r1
1 2 1 0 2
0 0 0 6 2 0 3 2 2 1
0 9 6 3 2
1 2 1 0 2
r2 r3 0 3 2 2 1
Amn
I
Er 0
0 0mn .
I 称为A 的标准形, 其中Er 为 r 阶单位阵.
13
返回
(2). 若A B, 则 R(A) = R(B), 从而 A 与 B 有相同的标准形.
a11
(3). 设方阵
A
an1
a1n ,
ann
若 A 为可逆阵 (即|A|≠0), 则 R(A) = n , 从而 A 的标准形为 n 阶单位阵, 即 A E.
r3 r4 0 9 6 3 2
0 0 0 6 2
9
返回
1 2 1 0 2
r3 3r2 0 3 2 2 1 0 0 0 3 1
0 0 0 6 2
1 2 1 0 2
r4 2r3 0 3 0 0
2 2 1 = B 0 3 1
0 0 0 0 0
10
返回
D≠0
1 2 2 0 1
一、矩阵的初等变换
定义13. 对矩阵 Amn施行下列变换:
(1). ri rj ;
(2). k ri ;
(其中k为不等于零的数.)
(3). ri krj . 这三种变换称为矩阵A的初等行变换.
相应的有初等列变换.
(1)ci c j
(2)kci
(3)ci kc j
初等行变换、初等列变换统称为初等变换.
c3 c5 0 3 1 2
2
C
0 0 1 3 0
0 0 0 0 0 C4 0.
R( A) 3.
R(A) = R(B) = R(C) .
11
返回
二、求矩阵的秩的初等变换法
A 经有限次行变换 B (阶梯形), 则B 中
非零行的个数 r , 就是 A 的秩, 即 R(A) = r .
{阶梯形: 每一行第一个非零元素所在列的 下方全为零.}
例如:已知向量组1,2 ,3 ,4 , 问是否线性
相关,并求它的最大无关组(前例).
把 1,2 ,3 ,4 写成矩阵.
1, ,4 相关.
12
返回
[註]:
C 经过列变换
(0化)
1 0 0 0 0
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
E3 0
0 0 .
0 0 0 0 0
此阵叫做 A 的标准形.
(1). 若矩阵 Amn 的秩为r (r > 0) , 则
行向量组等价, 则行秩相等.
{ 从而行秩 = 列秩 = R(A) = R(B) }.
证毕.
7
返回
例如:
D≠0
1 2 3 4 5
B 0 6 7 8 9. 0 0 4 3 2
(阶梯阵) 0 0 0 0 0
而 B4 0, 秩 3.
例. 求矩阵的秩 1 2 1 0 2
A 2 4 2 6 6 . 2 1 0 2 3
5
返回
(2). 若A 经列变换 B, 则 R(A) = R(B);
(3). 若A ～— B, 则 R( A) R(B).
证明: 证(1). 1
1
i
A
ri krj
i
B,
j
j
m
m
6
返回
其中 i i k j .
B可由A线性表示.
i i k j ,
A可由B线性表示. A与B等价.
14
返回
矩阵秩的性质:
1. 0 R( Amn ) minm, n
2.R(T ) R(T ' )
3. P 0, Q 0 R(PAQ) R( A)
4.max R(A), R(B) R(A, B) R(A) R(B)
5.R(A B) R(A) R(B)
6.R( AB) minR( A), R(B)
1
返回
例如:
a
wenku.baidu.com
A
r
b s
c
t
r1 r2
r a
s b
t c
x y z
x y z
r2 k
r ka
s kb
t kc
x y z
2
返回
r
r3 r1
ka
x r
s kb
y s
t
kc
z t
s
c1 c2
kb
y s
r ka
x r
t kc .
z t
3
返回
定义14. 如果矩阵A经过有限次初等变换变成B,
则称矩阵A与B是等价的，记作A
B
性质：
(1)反身性：A A (2)对称性若：A B,则B A (3)传递性： 若A B,B C,则Ａ C
4
返回
定理四.
a11
a12
a1n
ai1
设
A
ai2
ain
a j1
aj2
a jn
am1 am 2 amn mn
(1). 若A 经行变换 B, 则 R(A) = R(B);