直线与平面垂直的判定及其性质

第２个空 间角
平面的一条斜线和它 Ａ Ｏ 在平面内的射影所成的锐 角，叫做这条直线和这个 斜线在平面上的射影 平面所成的角
一条直线垂直于平面，它们所成的角是直 角 一条直线和平面平行，或在平面内， 它们所成的角是0 的角
直线和平面所成角的范围是[0，90]
斜线
Ａ

Ｐ
垂线
Ｏ a
找垂线
得射影
0
如果已知一直线垂直于一平面,你能得 到一些什么结论? 如果两条直线都垂直于一个平面呢?
直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线同时垂直于一个平面，那么
这两条直线平行。
a
b

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知识小结
1．直线与平面垂直的概念 2．直线与平面垂直的判定、性质
线线垂直
线面垂直
3．数学思想方法：转化的思想 空间问题
实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的 实例
旗杆与地面垂直
实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的 实例
大桥的桥柱与水面垂直
一条直线与一个平面垂直的意 A 义是什么？
α
B
旗杆AB所在直线与地面内任意一条过点 直线垂直于平面内的 B的直线垂直． 与地面内任意一条不过点 B的直线B1C1也 任意一条直线． 垂直．
B
过ΔABC所在平面α外一点P,作PO ⊥α,垂足 为O,连接PA,PB,PC. 1).若PA = PB = PC,则O是ΔABC的_____心. 2).若PA = PB = PC,∠C = 90 ,则O是AB边的__点. *3).若PA ⊥ PB,PB ⊥ PC,PC ⊥ PA,则O是ΔABC 的_____心.
C1
B1 C
斜线在平面上的射影1
D A1
1
分别指出对角 D 线A1C与六个面 所成的角. A
B
1
D1
A1
Q
例３ 在正方体ABCD—A1B1C1D1 中， 求:直线A1B与平面A1B1CD所成的角
C1
D1
C1 B1 F
B1
P
A1 C A D
O
D
1
C
B E
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A
变：１）求直线AC与平面A1B1CD所成的角 （２）E，F分别是BC，CC1的中点，求EF 与面ACC1A1所成的角.
C l C

C
B
直线与平面垂直判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直 线都垂直，则该直线与此平面垂直． l
a l b a b A 判定定理
线线垂直
la l b
b
A
a
线面垂直
例1 如图，已知 a // b, a ，求证b . 证明：在平面
因为直线
a ，
内作 两条相交直线m，n．
a
b
根据直线与平面垂直的定 义知 a m, a n.

m
n
又因为
b // a 又 m , n , m, n 所以 b .
所以
b m, b n.
是两条相交直线，

例2：课本67页练习1 练习：探究
斜线
Ｐ
垂线
直线与平面垂直
如果直线 l 与平面 内的任意 一条直线都垂直，我们说直线 l 与 平面 互相垂直， 记作 l ． 平面 的垂线 垂足 l 直线 l 的垂面


P
1: a , b a b 2.
思考：
( )
直线 l 垂直于平面α ，则直线 l 垂直于平面α中的任意一条直线
平面问题
线线垂直
性质定理
线面垂直
2.如果一条直线 l 和一个平面内的无数 条直线都垂直，则直线 l 和平面 α互 相垂直（ ）C l B
直线与平面垂直
除定义外，如何判定一条直线与平面 垂直呢？ A A
如图，准备一块三角形的纸片，做一个试
A A
P
验：

B
D
C
D
D
B D B ABC 的顶点 过 A 翻折纸片，得到折 当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时， 痕 AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上 AD 所在直线与桌面所在平面 垂直． （BD，DC于桌面接触）