导数的应用(精品教案)

导数的应用（一）
【课前小测】
1. 曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )． A ．－9 B ．－3 C ．9 D ．15
2. 函数f (x )＝x 2－2ln x 的递减区间是( )． A ．(0,1]
B ．[1，＋∞)
C ．(－∞，－1)，(0,1)
D ．[－1,0)，(0,1]
3. 若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )． A ．2 B ．3 C ．6 D ．9
4. 已知函数f (x )＝14x 4－4
3x 3＋2x 2，则f (x )( )．
A ．有极大值，无极小值
B ．有极大值，有极小值
C ．有极小值，无极大值
D ．无极小值，无极大值 5. 已知x ＞－1，则函数y ＝x ＋1
x ＋1的最小值为( )．
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
【知识梳理】
（一）利用导数研究函数单调性
①()0f x '>⇒()f x 为增函数（()0f x '<⇒()f x 为减函数）. ②()f x 在区间(),a b 上是增函数⇒()x f `≥0在(),a b 上恒成立；
③在区间(),a b 上为减函数⇒
()x f `≤0在(),a b 上恒成立.
利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤: ①求()f x '，讨论()f x '的零点问题; ②确定()f x '在(),a b 内符号;
③若()0f x '>在(),a b 上恒成立，则()f x 在(),a b 上是增函数；若()0f x '<在(),a b 上恒成立，则()f x 在
(),a b 上是减函数
（二）利用导数研究函数的极值
极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理）
当函数)(x f 在点0x 处连续时（何为函数在点上连续？），
①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值. 求函数()y f x =在某个区间上的极值的步骤： ①先留意下)(x f 的定义域，再求导函数()f x '；
②求方程()0f x '=的根0x ，判定0x 是否落在所关注的区间内；
③检查()f x '在方程()0f x '=的根0x 的左右的符号：“左正右负”⇔()f x 在0x 处取极大值；“左负右正”
⇔()f x 在0x 处取极小值。

（三）利用导数研究函数的最值
最值定义：函数()f x 在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数()f x 在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。

求函数()y f x =在[,a b ]上的最大值与最小值的步骤： （1）求函数()y f x =在（,a b ）内的极值（极大值或极小值）；
（2）将()y f x =的各极值与()f a ，()f b 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。

注意：若要在开区间上讨论最值问题，此时端点值取不到，可能不存在最值。

（四）一般的三次函数)0()(2
3>+++=a d cx bx ax x f 的图象与性质：
导函数2()32(0)f x ax bx c a '=++>，抛物线开口向上，记方程2
()320f x ax bx c '=++=的判别式 .1．函数的定义域与值域均为R 。

2．图象有两种形状：
（1）若2
2120b ac =-≤△()， 其导数恒大于等于0，
原函数无极值，原函数图象如右所示
（2）若22120b ac =->△()，令2
()320f x ax bx c '=++=
两根为12,x x 且12x x <，其原函数图象如右所示
3、三次函数的图象与x
轴的交点个数的问题即三次方程解的个数的问题 由三次函数的图象分析可得方程0)(=x f 的解有以下几种情况：
有且只有一个实数解⇒
12
1
x x =2
x x =
有两个不同的实数解⇒
有三个不同的实数解⇒
思考：三次函数
()(23+++=a d cx bx ax x f 的图象？？？
（五）用函数的单调性来证明不等式： ①当，有； ②当，有；
【导学一】利用导数求函数的单调区间
【例1】已知函数f (x )＝x
2
－ax ＋3在(0,1)上为
减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值等于________．
【例2】已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，
则该函数的图象是( )．
12
【我爱展示1】
设)(x f '是函数f(x)的导函数，y=)(x f '的图象如图所示，则y= f(x)的图象最有可能的是（ ）
【例3】已知()1
--=ax e x f x
（1）求f(x)的单调增区间；
（2）若f(x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；
（3）是否存在a ,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.
【我爱展示2】
已知函数()13--=ax x x f
（1）若f(x)在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；
（2）是否存在实数a ,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由；
【导学二】利用导数求函数的极值和最值
【例4】已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.
(1)求a ，b 的值；
(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．
【我爱展示3】
1.已知3
2
()2=+-+f x ax bx x c 在2x =-时有极大值6，在1x =时有极小值， （1）求a ，b ，c 的值；（2）求()f x 区间[3,3]-上的最大值和最小值.
2. (2014·安徽卷)设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；
(2)当x ∈[0,1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值．
【导学三】高次方程的零点问题 【例4】已知函数()a ax x x x f -+-=
23
3
1 (a ∈R)． （1）当3-=a 时，求函数()x f 的极值；
（2）若函数()x f 的图象与x 轴有且只有一个交点，求a 的取值范围．
【我爱展示4】已知函数()3
2
f x x ax bx c =-+++在(),0-∞上是减函数，在()0,1上是增函数，函数()
f x 在R 上有三个零点，且1是其中一个零点．
（1）求b 的值；
（2）求()2f 的取值范围；
（3）试探究直线1y x =-与函数()y f x =的图像交点个数的情况，并说明理由．
【课后作业】
1.函数ln y x x =在区间(0,1)上是（ ） A ．单调增函数
B ．单调减函数
C ．在1(0,)e 上是减函数，在1(,1)e 上是增函数
D ．在1(0,)e 上是增函数，在1(,1)e
上是减函数 2.函数()f x 的定义域为开区间(,)a b ，导函数()f x '在(,)a b 内的图象如图所
示，则函数()f x 在开区间(,)a b 内有（ ）极小值点
A ．1个
B ．2个
C ． 3个
D ．4个
3.设函数32()91(0)f x x ax x a =+--<若曲线()y f x =的斜率最小的切线与直线126x y +=平行， 求：（1）a 的值；（2）函数()f x 的单调区间。

4.设函数323
()(21)6()2
f x ax a x x a R =+
--∈ （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程； （2）当1
3
a =
时，求()f x 的极大值和极小值； （3）若函数()f x 在区间(,3)-∞-上是增函数，求实数a 的取值范围。

5．设函数3
()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线076=-+y x 垂直，且在x ＝－2处取得极值．
（1）求a ，b ，c 的值； （2）求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值．
6.已知函数32()3(0)f x x ax bx c b =+++≠，且()()2g x f x =-是奇函数。

（1）求a ，c 的值；（2）求函数()f x 的单调区间。

【参考答案】
【课前小测】 C A D C C
【例1】解析 ∵函数f(x)＝x2－ax ＋3在(0,1)上为减函数， ∴a
2
≥1，得a≥2. 又∵g′(x)＝2x －a
x ，依题意g′(x)≥0在x ∈(1,2)上恒成立，得2x2≥a 在x ∈(1,2)上恒成立，有a≤2，∴a ＝2.
答案 2
【例2】解析 在(－1,0)上，f′(x)单调递增，所以f(x)图象的切线斜率呈递增趋势；在(0,1)上，f′(x)单调递减，所以f(x)图象的切线斜率呈递减趋势，故选B. 【展示1】C
【例3】解：)(x f '=e x -a.
（1）若a≤0，)(x f '=e x -a≥0恒成立，即f(x)在R 上递增.
若a>0,e x -a≥0,∴e x ≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞). （2）∵f （x ）在R 内单调递增，∴)(x f '≥0在R 上恒成立. ∴e x -a≥0，即a≤e x 在R 上恒成立. ∴a≤（e x ）min ，又∵e x >0，∴a≤0.
（3）方法一 由题意知e x -a≤0在（-∞，0］上恒成立. ∴a≥e x 在（-∞，0］上恒成立.∵e x 在（-∞，0］上为增函数.
∴x=0时，e x 最大为1.∴a≥1.同理可知e x -a≥0在［0，+∞）上恒成立. ∴a≤e x 在［0，+∞）上恒成立.∴a≤1，∴a=1.
方法二 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴)0('f =0,即e 0-a=0,∴a=1.
【展示2】解 由已知2'()3f x x a =-,∵()f x 在（-∞,+∞）上是单调增函数， ∴2'()30f x x a =-≥在（-∞,+∞）上恒成立，即23a x ≤对x ∈R 恒成立. ∵230x ≥,∴只需0a ≤,又=0a 时，2'()30f x x =≥,
故()13--=ax x x f 在R 上是增函数，则0a ≤.
（2）解 由2'()30f x x a =-≤在(-1,1)上恒成立，得23a x ≥,x ∈(-1,1)恒成立. ∵-1<x<1,∴233x ≤，∴只需3a ≥.当=3a 时2'()33f x x =-，
在x ∈(-1,1)上，2'()30f x x a =-≤,即f(x)在（-1，1）上为减函数，∴3a ≥. 故存在实数3a ≥,使f(x)在（-1，1）上单调递减. 【例4】解 (1)f ′(x )＝e x (ax ＋b )＋a e x －2x －4
＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4，
∵y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4， ∴f ′(0)＝a ＋b －4＝4，f (0)＝b ＝4， ∴a ＝4，b ＝4.
(2)由(1)知f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2(x ＋2) ＝2(x ＋2)(2e x －1)，
令f ′(x )＝0，得x ＝－2或ln 1
2，
列表：
x (－∞，－2) －2 ⎝
⎛⎭⎫－2，ln 12
ln 1
2 ⎝⎛⎭
⎫ln 12，＋∞ f ′(x )
＋
－
＋
↗ ↘ ↗
∴y ＝f (x )在(－∞，－2)，⎝⎛⎭⎫ln 1
2，＋∞上单调递增； 在⎝
⎛⎭⎫－2，ln 1
2上单调递减． 故f (x )极大值＝f (－2)＝4－4e －
2.
【展示3】1.解：（1）2
()322'=+-f x ax bx 由条件知
.38,21,31.
6448)2(,
0223)1(,
02412)2(===⎪⎩⎪
⎨⎧=+++-=-=-+='=--=-'c b a c b a f b a f b a f 解得
（2）32118()2
=+-+f x x x x ，2
()2'=+-f x x x
由上表知，在区间[－3，3]上，当x=3时，max 106=f ，当x=1时，min 2
=f ． 2. 解 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，
f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.
令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3，x 2＝－1＋4＋3a
3，x 1<x 2.
所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.
故f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)内单调递减，在(x 1，x 2)内单调递增． (2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0. ①当a ≥4时，x 2≥1，
由(1)知，f (x )在[0,1]上单调递增．
所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值． ②当0<a <4时，x 2<1，
由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2,1]上单调递减，所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a
3处取得最大值．
又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以
当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；
当a ＝1时，f (x )在x ＝0处和x ＝1处同时取得最小值； 当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．
【展示4】（1）解：∵()3
2
f x x ax bx c =-+++，∴()2
32f x x ax b '=-++．
∵()f x 在(),0-∞上是减函数，在()0,1上是增函数， ∴当0x =时，()f x 取到极小值，即()00f '=． ∴0b =． （2）解：由（1）知，()3
2
f x x ax c =-++，
∵1是函数()f x 的一个零点，即()10f =，∴1c a =-．
∵()2
320f x x ax '=-+=的两个根分别为10x =，223
a x =
． ∵()f x 在()0,1上是增函数，且函数()f x 在R 上有三个零点， ∴2213
a
x =
>，即32a >．
∴()()5
2841372
f a a a =-++-=->-． 故()2f 的取值范围为5,2⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
． （3）解：由（2）知()3
2
1f x x ax a =-++-，且3
2
a >
． 要讨论直线1y x =-与函数()y f x =图像的交点个数情况，
即求方程组3
2
1,
1y x y x ax a
=-⎧⎨
=-++-⎩解的个数情况．
由3
2
11x ax a x -++-=-， 得()()
()321110x a x x ---+-=．
即()(
)
()()()2
111110x x x a x x x -++--++-=．
即()()()2
1120x x a x a ⎡⎤-+-+-=⎣⎦． ∴1x =或()()2
120x a x a +-+-=．
由方程()()2
120x a x a +-+-=， （*）
得()()2
2
14227a a a a ∆=---=+-．
∵32
a >
，
若0∆<，即2
270a a +-<，解得
3
12
a <<．此时方程（*）无实数解．
若0∆=，即2
270a a +-=，解得1a =．此时方程（*）有一个实数解1x =
．
若0∆>，即2
270a a +->，解得1a >．此时方程（*）有两个实数解，分别为
112a x -=
，212
a x -=． 且当2a =时，10x =，21x =．
综上所述，当
3
12
a <<时，直线1y x =-与函数()y f x =的图像有一个交点．
当1a =或2a =时，直线1y x =-与函数()y f x =的图像有二个交点．
当1a >且2a ≠时，直线1y x =-与函数()y f x =的图像有三个交点． 【课后作业】 1.C 2.A
3.解：（1）因2
2
()91f x x ax x =+--，所以2
()329f x x ax '=+-2
23()933
a a x =---。

即当2
()933
a a
x f x '=---，取得最小值时。

因斜率最小的切线与126x y +=平行，即该切线
的斜率为-12，所以2
2912,93
a a --=-=即。

解得3a =±，由题设0a ＜，所以3a =-。

（2）由（1）知323,()391a f x x x x =-=---因此，2'()3693(3)(1)f x x x x x =--=-+。

令'()0f x =，解得：121,3x x =-=。

当(,1)x ∈-∞-时，'()0f x ＞，故()f x 在(,1)-∞-上为增函数；
当(1,3)x ∈-时，'()0f x ＜，故()f x 在(1,3)-上为减函数； 当(3,)x ∈+∞时，'()0f x ＞，故()f x 在(3,)+∞上为增函数。

由此可见，函数()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞；单调递减区间为(1,3)-。

4、解：（1）当3233
1,()6,()362
a f x x x x f x x x '==+-=+-时，
13
(1)3366,(1)2
k f f '=-=--=--=，∴136(1)2y x -=-+
即12210x y +-=为所求切线方程。

（2）当322111
,()6,()6332
a f x x x x f x x x '==--=--时，令()023f x x x '==-=得或
∴()(,2),(2,3)f x -∞--在增在递递减，在（3，+∞）递增
∴()f x 的极大值为2227
(2),()(3)32
f f x f -==-
的极小值为 （3）2
()33(21)63(1)(2)f x ax a x ax x '
=+--=-+
①若2
30,()6,(,2)2a f x x x ==-
--∞-此函在则数上单调递增。

∴满足要求。

②若
121
0,()0,2,a f x x x a '≠==-=
令得则 ∵()(,3),3,()0f x x f x '
-∞-<->在上是增函即数时恒成立，
1
0,3
a a >>-时则恒成立，即a ＞0，a ＜0时，不合题意。

综上所述，实数a 的取值范围是[0，+)∞
5.略
6.（1）因为函数()()2g x f x =-为奇函数，所以，对任意的x R ∈，()()g x g x -=-，即()2()2f x f x --=-+。

又32()3f x x ax bx c =+++，
所以32323232x ax bx c x ax bx c -+-+-=----+。

所以22a a c c =-⎧⎨-=-+⎩
，．
解得02a c ==，。

（2）由（1）得3()32f x x bx =++。

所以2()33(0)f x x b b '=+≠。

当0b <时，由()0f x '=得x = x 变化时，()f x '的变化情况如下表：
所以，当0b <)+∞上单调递增。

当0b >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()-∞+∞，上单调递增。