第6讲 图形的旋转-中心对称--提高班

第6讲图形的旋转-中心对称

知识点1图形的旋转

图形的旋转：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

旋转的三个要素：旋转中心、旋转的角度和旋转方向.

图形旋转的性质：

1、经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，

2、任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。

3、一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等。

【典例】

1.如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是

【答案】20°

【解析】解：如图．

∵∠AOC=∠2=50°时，OA∥b，

∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是70°﹣50°=20°。

2.如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为

【答案】90°

【解析】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转l20°得到△AB′C′，

∴∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，

∴∠AB′B=（180°﹣120°）=30°，

∵AC′∥BB′，

∴∠C′AB′=∠AB′B=30°，

∴∠CAB′=∠CAC′﹣∠C′AB′=120°﹣30°=90°。

3.如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠

CAD的度数为

【答案】180°﹣α

【解析】解：由题意可得，

∠CBD=α，∠ACB=∠EDB，

∵∠EDB+∠ADB=180°，

∴∠ADB+∠ACB=180°，

∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD=360°，∠CBD=α，

∴∠CAD=180°﹣α

4.如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm，现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置，则AB中水柱的长度约为

【答案】8cm

【解析】解：如图，AB中水柱的长度为AC，CH为此时水柱的高，设CH=x，竖直放置时短软管的底面积为S，

∵∠BAH=90°﹣60°=30°，

∴AC=2CH=2x，

∴细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置时，底面积为2S，

∵x•S+x•2S=6•S+6•S，解得x=4，

∴AC=2x=8，

即AB中水柱的长度约为8cm。

【方法总结】

由于旋转前、后两个图形中，对应点与旋转中心的距离总相等，因此对应点必在以旋转中心为圆心，分别以对应点到旋转中心的距离为半径的一组同心圆上，且对应点与旋转中心的连线所成角相等，都等于旋转角.

注意：在旋转过程中保持不动的点是旋转中心，保持不变的量是对应元素．

【随堂练习】

1．（2018•金牛区模拟）如图，在△ABC中，AC=BC=8，∠BCA=60°，直线AD ⊥BC，E是AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C按逆时针方向旋转60°得到FC，连接DF，则点E运动过程中，DF的最小值是_____．

【解答】解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．

∵AC=BC=8，∠BCA=60°，

∴△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，

∴CD=CG=AB=4，∠ACD=60°，

∵∠ECF=60°，

∴∠FCD=∠ECG．

在△FCD和△ECG中，

，

∴△FCD≌△ECG（SAS），

∴DF=GE．

当EG∥BC时，EG最小，

∵点G为AC的中点，

∴此时EG=DF=CD=BC=2．

故答案为：2．

2．（2018•南浔区一模）如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，取AC的中点E，△ABC绕E点旋转任意角度得到△GMN，直线BN，GC相交于点H，△GMN 绕点E旋转的过程中，线段AH的最大值是_____．

【解答】解：如图：连接EN，EB，MB，CN，MC

∵△ABC是等边三角形，E是AC中点

∴AE=CE=2，BE⊥AC即∠BEC=90°

∵AB=4

∴BE=2

∵旋转

∴BC=MN=4，GE=EM=2且△GMN是等边三角形∴EN⊥GM即∠NEC=90°

∴∠CEN=∠BEM，且EM=EC，BE=EN

∴△EBM≌△ECN

∴BM=CN

∵BM=CN，BN=BN，BC=MN

∴△MNB≌△BCN

∴∠BNM=∠CBN

∵BM=CN，且MN=BC，MC=MC

∴△MCB≌△MCN

∴∠MCB=∠CMN

∵∠BNM+∠CBN=∠MCB+∠CMN

∴∠MCB=∠CBN

∴MC∥BN

∵ME=EG=EC

∴△GCM为直角三角形即∠GCM=90°

∵MC∥BN

∴∠BHG=∠GCM=90°

∴H在以BC为直径的圆上

∴当AH过以BC为直径的圆的圆心时，线段AH长度最大

∴AH最大值为2+2

故答案为2+2

3．（2017秋•金堂县期末）如图，已知∠MON=30°，B为OM上一点，BA⊥ON 于A，四边形ABCD为正方形，P为射线BM上一动点，连结CP，将CP绕点C 顺时针方向旋转90°得CE，连结BE，若AB=，则BE的最小值为_____．

【解答】解法1：如图所示，将BC绕着点C顺时针旋转90°得FC，作直线FE 交OM于H，则∠BCF=90°，BC=FC，

∵将CP绕点C按顺时针方向旋转90°得CE，

∴∠PCE=90°，PC=EC，

∴∠BCP=∠FCE，

在△BCP和△FCE中，

，

∴△BCP≌△FCE（SAS），