解析几何运算的简化例析
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＋Ｙ
１ ０题 ） 已知 Ｆ为抛物线 Ｃ ： Ｙ ＝４ ｘ的焦点 ， 过 点 Ｆ作两条互相垂直 的直线 ｚ 。 、 ｚ ： ， 直线 ｚ 与ｃ 交 于 、 Ｂ两 点 ， 直线 Ｚ ： 与 Ｃ交 于 Ｄ、 Ｅ两 点 ， 则
Ｉ Ａ Ｂ ｌ ＋ ｌ ＤＥ Ｉ的最 小 值 为 … … … … （
的方程 ， 则其两根 即为 直线 Ｐ ： Ａ与 直线 Ｐ Ｂ的 斜率 ， 于是 由韦达定理知 ＝一１ ， 即２ ｍ一
点Ｐ （ １ ， １ ） 、 Ｐ ２ （ ０ ， １ ） 、 Ｐ ３ ｌ 一 １ ， ） 、 Ｐ ４ （ １ ，
厅、 ｌ 中恰有ｉ点在椭圆 ｃ 上
．
如 图 ３ ， 已 知 抛 物 线 ２ ＝ ｙ ， 点 Ａ （ 一 丢 ， ÷ ） 、 。 ｌ ＝ ） ＋ 一 ） ． 最 后 借 助 于 探 求 此 函 Ｂ （ ３ ， 詈 ） ， 抛物线上的点Ｐ （ ， ） 数最值使 问题 获解． （ 一 丢 ＜ ＜ 丢 ） ． 过 点 作 直 线 ４ Ｐ 的 垂 线 ， 垂 题 目涉及 焦 点 弦 长 度 ， 考 虑 运 用 极 坐 标 系
’ Ｊ
Ｊ Ｄ ２ （ Ｄ ）
题思路 往 往具 有很 强 的程 序性． 但是 ， 盲 目的 操作常常会带来烦琐 的讨 论或 繁杂 的计 算． 本 文以２ ０ １ ７年部分高考试题 的分析 为例 ， 总结介
绍解析几何 中简化运算 的方法与技巧． １ 建 立 适 当 的 坐标 系 。 选 择 适 当方 程 形 式 坐标系 的建 立 是应 用解 析 法 的前提 和基 础． 坐 标 系 的选 择 （ 直 角 坐标 系 、 极坐 标 系 ） 与 建立 （ 坐标 系的定 位 ） ， 都将直接 影响到 运算量 的大 小． 从 直线 和 圆 、 圆锥 曲线 方 程 的多种 形 式中， 结 合题 设 特 征 以及所 求 目标 ， 选 用恰 当 的形式 ， 也 是 简 化解 析 几何 运 算 的一 种 有 效 途径．
＼ 一
＼
＼
，
一Leabharlann Baidu
图 １
如图 １ ， 以点 Ｐ 为原点 ０ ， Ｙ轴为 ｙ 轴， 建
ｔ ２
立新坐标 系 ０ ～ Ｙ， 则椭 圆方程化 为 ＋（ Ｙ ＋
１ ） ＝１ ， 即 ＋Ｙ 应 ＋２ ｙ ＝０ ． 设 直线 ｚ 在新 坐 标 系下 的方 程 为 ｍ ＋ｎ ｙ ： １ ， 代 人 椭 圆方 程
１ ．
Ｐ ， Ｂ的斜 率 的和 ” ， 在 联 立 直线 与 椭 圆 的方 程 后， 没有 使用 传统 的消元 法 ， 而 是 巧妙 地运 用
“ １代 换 ” ， 得 到 了 、 ｙ 齐 次 方 程． 请 读 者 用 心 体会这一技巧．
、
２
例２ （ ２ ０ １ ７年高考 全 国卷 Ｉ 理 科试 题第
（ Ａ）１ ６ ； （ Ｂ）１ ４； （ Ｃ）１ ２ ； （ Ｄ）１ ０ ．
对于 （ Ⅱ） ， 为“ 翻译 ” 题设 条件 ， 需 表示 出
直线 Ｐ ： Ａ与 直线 Ｐ Ｂ 的斜 率 ， 此时， 若 借助 于 坐标 系平移将点 Ｐ移 至原点 ， 则运 算显然 得到
简 化．
）
２ ０ １ ８年第 ３ 期
３— ３ ２
数 学 数 学
２ ０ １ ８ 年第 ３期
解 析 几 何 运 算 的 简 化 例 析
薛 党 鹏
（ 陕西省 西安 中学 ， 陕西 西安 ７ １ ０ ０ ２ １ ）
解 析几何是高 中数 学 的重要 内容之 一 ， 在 高 考 考 查 中 占有 相 当 大 的 比 例 ． 这 部 分 内容 的 精华 在于数形结合而 又动 态地处 理 问题 ， 其 解
２ ｎ＝１ ．于 是 直 线 Ｚ 在 新 坐标 系 下恒 过 点 （ ２ ，
一
（Ｉ）求 Ｃ的方 程 ；
２ ） ． 故在原坐标 系下 ， 直线 ｆ 恒过点 （ ２ ， 一１ ） ．
上 述解 法 中 ， 为 了翻 译 “ 直 线 Ｐ： ４ 与 直 线
（ Ⅱ）设直线 ｆ 不经过点 Ｐ 且 与 ｃ相交于 Ａ、 日两点 ， 若直线 Ｐ Ａ与直线 Ｐ ： Ｂ的斜率的和 为 一ｌ ， 证明： Ｚ 过 定 点． 分析 ：（Ｉ ） 利用 椭 圆 的对称 性 ， 可知 Ｐ 、 Ｐ 在 椭 圆上 ， 进 而 易 求 得 椭 圆 Ｃ 的方 程 为
ｔ ２
．
有 ＋Ｙ 瞳＋２ ｙ （ ｍＸ ＋ｎ ｙ ） ＝ｏ， 整理得 （ ２ ｎ＋
例１ （ ２ ０ １ ７年高考 全 国卷 Ｉ 理科试 题第
２ ２
２ Ｏ题 ） 已 知椭 圆 ｃ： ＋ ＝１ （ ０＞ｂ＞０ ）， 四
ｎ Ｄ
１ ） （ Ｘ ／ １ ＋ ２ ｍ （ ） ＋ １ ＝ ０ ， 视 此 式 为 关 于
数学 教 学
得 问题 得 到 简 便 解 决 ．
３— ３ ３
分析 ： 此题 的传统解法为设直线 ｚ 的斜 率 为ｋ ， 求 出直线 ｚ 的方程 ， 并 与 ｃ方程 联 立 消
例３ （ ２ ０ １ ７年高考 浙江卷试 题第 ２ １ 题）
Ｙ ， 再 利 用 抛 物 线 定 义， 由 韦 达 定 理 求 得 Ｉ Ａ Ｂ ｌ＝ １＋ ２ ＋２ ＝ ｋ ） ， 于是 Ｉ Ａ Ｂ ｌ ＋
求解． 如图２ ， 以点 Ｆ为极 点 ， 轴 正方 向为极 轴方 向 ， 建立极坐标系． 设 点 ４的极 坐标 为 （ Ｐ ， ０ ） ， 则 由抛物线定 义知 ｐ ｃ ｏ ｓ ０＋２ ＝Ｐ ， 即 Ｐ＝
， ＇ ， ’
足为点 Ｑ ．
Ｊ
高
１
一
・ 于是 Ｉ仙 Ｉ 高
ｃ ｏ ｓ （ ＋竹） 一
Ｊ
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一
０
ｓ ｉ ｎ ２ ０ ， 从 而 有 ”
０
１ ０题 ） 已知 Ｆ为抛物线 Ｃ ： Ｙ ＝４ ｘ的焦点 ， 过 点 Ｆ作两条互相垂直 的直线 ｚ 。 、 ｚ ： ， 直线 ｚ 与ｃ 交 于 、 Ｂ两 点 ， 直线 Ｚ ： 与 Ｃ交 于 Ｄ、 Ｅ两 点 ， 则
Ｉ Ａ Ｂ ｌ ＋ ｌ ＤＥ Ｉ的最 小 值 为 … … … … （
的方程 ， 则其两根 即为 直线 Ｐ ： Ａ与 直线 Ｐ Ｂ的 斜率 ， 于是 由韦达定理知 ＝一１ ， 即２ ｍ一
点Ｐ （ １ ， １ ） 、 Ｐ ２ （ ０ ， １ ） 、 Ｐ ３ ｌ 一 １ ， ） 、 Ｐ ４ （ １ ，
厅、 ｌ 中恰有ｉ点在椭圆 ｃ 上
．
如 图 ３ ， 已 知 抛 物 线 ２ ＝ ｙ ， 点 Ａ （ 一 丢 ， ÷ ） 、 。 ｌ ＝ ） ＋ 一 ） ． 最 后 借 助 于 探 求 此 函 Ｂ （ ３ ， 詈 ） ， 抛物线上的点Ｐ （ ， ） 数最值使 问题 获解． （ 一 丢 ＜ ＜ 丢 ） ． 过 点 作 直 线 ４ Ｐ 的 垂 线 ， 垂 题 目涉及 焦 点 弦 长 度 ， 考 虑 运 用 极 坐 标 系
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题思路 往 往具 有很 强 的程 序性． 但是 ， 盲 目的 操作常常会带来烦琐 的讨 论或 繁杂 的计 算． 本 文以２ ０ １ ７年部分高考试题 的分析 为例 ， 总结介
绍解析几何 中简化运算 的方法与技巧． １ 建 立 适 当 的 坐标 系 。 选 择 适 当方 程 形 式 坐标系 的建 立 是应 用解 析 法 的前提 和基 础． 坐 标 系 的选 择 （ 直 角 坐标 系 、 极坐 标 系 ） 与 建立 （ 坐标 系的定 位 ） ， 都将直接 影响到 运算量 的大 小． 从 直线 和 圆 、 圆锥 曲线 方 程 的多种 形 式中， 结 合题 设 特 征 以及所 求 目标 ， 选 用恰 当 的形式 ， 也 是 简 化解 析 几何 运 算 的一 种 有 效 途径．
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，
一Leabharlann Baidu
图 １
如图 １ ， 以点 Ｐ 为原点 ０ ， Ｙ轴为 ｙ 轴， 建
ｔ ２
立新坐标 系 ０ ～ Ｙ， 则椭 圆方程化 为 ＋（ Ｙ ＋
１ ） ＝１ ， 即 ＋Ｙ 应 ＋２ ｙ ＝０ ． 设 直线 ｚ 在新 坐 标 系下 的方 程 为 ｍ ＋ｎ ｙ ： １ ， 代 人 椭 圆方 程
１ ．
Ｐ ， Ｂ的斜 率 的和 ” ， 在 联 立 直线 与 椭 圆 的方 程 后， 没有 使用 传统 的消元 法 ， 而 是 巧妙 地运 用
“ １代 换 ” ， 得 到 了 、 ｙ 齐 次 方 程． 请 读 者 用 心 体会这一技巧．
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２
例２ （ ２ ０ １ ７年高考 全 国卷 Ｉ 理 科试 题第
（ Ａ）１ ６ ； （ Ｂ）１ ４； （ Ｃ）１ ２ ； （ Ｄ）１ ０ ．
对于 （ Ⅱ） ， 为“ 翻译 ” 题设 条件 ， 需 表示 出
直线 Ｐ ： Ａ与 直线 Ｐ Ｂ 的斜 率 ， 此时， 若 借助 于 坐标 系平移将点 Ｐ移 至原点 ， 则运 算显然 得到
简 化．
）
２ ０ １ ８年第 ３ 期
３— ３ ２
数 学 数 学
２ ０ １ ８ 年第 ３期
解 析 几 何 运 算 的 简 化 例 析
薛 党 鹏
（ 陕西省 西安 中学 ， 陕西 西安 ７ １ ０ ０ ２ １ ）
解 析几何是高 中数 学 的重要 内容之 一 ， 在 高 考 考 查 中 占有 相 当 大 的 比 例 ． 这 部 分 内容 的 精华 在于数形结合而 又动 态地处 理 问题 ， 其 解
２ ｎ＝１ ．于 是 直 线 Ｚ 在 新 坐标 系 下恒 过 点 （ ２ ，
一
（Ｉ）求 Ｃ的方 程 ；
２ ） ． 故在原坐标 系下 ， 直线 ｆ 恒过点 （ ２ ， 一１ ） ．
上 述解 法 中 ， 为 了翻 译 “ 直 线 Ｐ： ４ 与 直 线
（ Ⅱ）设直线 ｆ 不经过点 Ｐ 且 与 ｃ相交于 Ａ、 日两点 ， 若直线 Ｐ Ａ与直线 Ｐ ： Ｂ的斜率的和 为 一ｌ ， 证明： Ｚ 过 定 点． 分析 ：（Ｉ ） 利用 椭 圆 的对称 性 ， 可知 Ｐ 、 Ｐ 在 椭 圆上 ， 进 而 易 求 得 椭 圆 Ｃ 的方 程 为
ｔ ２
．
有 ＋Ｙ 瞳＋２ ｙ （ ｍＸ ＋ｎ ｙ ） ＝ｏ， 整理得 （ ２ ｎ＋
例１ （ ２ ０ １ ７年高考 全 国卷 Ｉ 理科试 题第
２ ２
２ Ｏ题 ） 已 知椭 圆 ｃ： ＋ ＝１ （ ０＞ｂ＞０ ）， 四
ｎ Ｄ
１ ） （ Ｘ ／ １ ＋ ２ ｍ （ ） ＋ １ ＝ ０ ， 视 此 式 为 关 于
数学 教 学
得 问题 得 到 简 便 解 决 ．
３— ３ ３
分析 ： 此题 的传统解法为设直线 ｚ 的斜 率 为ｋ ， 求 出直线 ｚ 的方程 ， 并 与 ｃ方程 联 立 消
例３ （ ２ ０ １ ７年高考 浙江卷试 题第 ２ １ 题）
Ｙ ， 再 利 用 抛 物 线 定 义， 由 韦 达 定 理 求 得 Ｉ Ａ Ｂ ｌ＝ １＋ ２ ＋２ ＝ ｋ ） ， 于是 Ｉ Ａ Ｂ ｌ ＋
求解． 如图２ ， 以点 Ｆ为极 点 ， 轴 正方 向为极 轴方 向 ， 建立极坐标系． 设 点 ４的极 坐标 为 （ Ｐ ， ０ ） ， 则 由抛物线定 义知 ｐ ｃ ｏ ｓ ０＋２ ＝Ｐ ， 即 Ｐ＝
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