小波变换课件ch4Mallat算法及二维小波.ppt

以边界点为对称中心的对称周期延拓
step1 从 s(n)到 s(n) ， N’＝2N－2
step2 s(n) 作N’周期延 拓
主周期内以n=0和 n=N-1为对称中心
延拓后的信号不存 在周期性的剧烈突 变
不重复S(0),S(N-1)
当 c(n)不对称时，数据总量几乎增大一倍 当 c(n)对称时，数据总量保持不变
1
J
塔式数据 塔式算法
初始化问题
f (x) V0 , f (x) a0,k(x k) , a0,k =？
k
按照定义
a0,k f (x),(x k) f (x)(x k)dx
实际上， f (x) { fn} fn f (nx)
a0,k fn (n k )
n
a0,k fk
(1)L=2K+1,c(n)=c(-n)
K
K
x(n) c(k)s(n k) c(k)s(n k)
k K
kK
K
K
c(k)s(n k) c(k)s(n k) x(n)
kK
kK
K
K
x(N 1 n) c(k)s(N 1 n k) c(k)s(N 1 n k)
k K
k K
n
s
s
a j,n hn2k a j h(2k )
n
hk hk
d j1,k a j g(2k )
g k g k
多级分解
无需尺度函数和小波函数的具体表达式
离散小波变换的数据量不变性质
近似序列
j=0
细节序列
j=-1
从j=0开始经J级分解后最后得到
{aJ ,k },{dJ ,k }, ,{d1,k }
如何分解？
结论：序列 {a j1,k } 和 {d j1,k } 可分别由序列 {a j,k } 通过数字滤波器{ h' }和{ g ' }，并对输 出作偶数点抽样得到 。
近似序列
细节序列
推导:
j1,k (x) 2( j1) 2(2 j1 x k) 2( j1) 2 2 hs(2(2 j1 x k) s) s
以及同级尺度函数的平移正交性，有
j,l , j1,k hs , j1,2ls j1,k hk 2l
s
j,l , j1,k g k 2l
2l+s=k,<.,.>=1
则 a j1,k a jl hk2l d jl gk2l
l
l
令
aj,m
a j,m 0
2
m偶 m奇
d j,m
四种延拓方法
补零延拓 简单周期延拓 以边界点为对称中心的对称延拓 边界值重复的对称周期延拓
补零延拓
简单 保留多于N/2的
信息才能重构 长度为N的序列 如果信号的边 界点的值与0差 别很大，则会 在边界处产生 阶跃变化
简单周期延拓
数据总量保持不变 当信号序列的两端
边界值相差很大时， 延拓后的信号将存 在周期性的剧烈突 变
a j,l j,l , j1,k d jl ,jl j1,k
l
l
考虑到
j,l (x) 2 j 2(2 j x l) 2 j 2 2 hs(2(2 j x l) s) s
hs 2( j1) 2(2( j1) x (2l s)) hs j1,2ls (x)
s
s
d j,m 0
2
m偶 m奇
原数据每两个 之间补0所得
则 a j1,k ajmhkm d j,m gkm a h(k ) d g(k )
m
源自文库
m
重构算法 多级重构算法
4.3边界处理
以下两式的前提式信号为双向无限长序列
， a j1,k a j h(2k)
d j1,k a j g(2k )
fn fk
(n k) 1
n
原始数据就是j＝0的近似序列
DWT的相图
DWT分解树
W1
8点的DWT相图
W2
V1
W3
V3
V2
4.2重构算法
由已知近似序列 {a j,k } 和细节序列{d j,k }求出
序列 {a j1,k }
a j1,k Aj1(x), j1,k (x) (a j,l j,l d jl jl ), j1,k (x)
实际信号是有限长序列，矛盾
解决方法：将信号以某种方式延拓为双向
无限长序列
边界处理问题
一般的，数据 aj (n) 的下标范围是0～N， 滤波器记为c(n)，n K1, K1 1, , K2 ，其长度
L K2 K1 1 ，那么分解过程就是
K2
x(n) c(k)s(n k) k K1
y(n) x(2n)
第四章 Mallat算法 及二维小波
小波变换应用于信号处理的一般过程
4.1 基于正交小波的分解算法
由已知序列 {a j,k }分别求出 j 1 级的近似序 列{a j1,k } 和 j 1级细节序列 {d j1,k }
分解目标： Vj Vj1 Wj1
f (x) a j-1,k j-1,k (x) d j-1,k j-1,k (x)
K
c(k)s(N 1 n k) x(N 1 n) kK
输出序列是2N-2的周期序列，且在一个周期内有两个对称中心，只需 保留[0,N-1]的数据，然后进行下采样得到N/2点的序列 a j1(n) 和 d j1(n) 并采用同样的延拓方式实现重构。 (滤波器的对称中心为0)
(2) L=2K+2, c(n)=±c(-1-n)
k K 1
K
c(1 k)s(N 1 n k)
k K 1
K 1
c(k)s(N 1 n 1 k) x(N 2 n) kK
输出序列是2N-2的周期序列，且在一个周期内有两个对称中心，只需 保留[0,N-1]的数据，然后进行下采样得到N/2点的序列 a j1(n) 和 d j1(n) 并采用同样的延拓方式实现重构。(滤波器的对称中心为-0.5)
hs 2 j 2(2 j x (2k s)) hs j,2ks (x)
s
s
j1,k (x) gs j,2ks (x)
s
a j1,k f (x), j1,k (x) f (x), hs j,2ks (x) s
hs f (x), j,2ks (x) hs a j,2ks
K
x(n) c(k)s(n k)
k K 1
K
K
c(k)s(n k ) c(1 k)s(n k)
k K 1
k K 1
K 1
c(k)s(n 1 k) x(n 1)
kK
K
K
x(N 1 n) c(k)s(N 1 n k) c(k)s(N 1 n k)
k K 1