111变化率问讲义题13914

一般 ,V1地 V2时 ,平均膨胀 r(V2率 ) r(V1) V2 V1
探究活动
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位： 米)与起跳后的时间 t（单位：秒）存在函数关系: h(t)=-4.9t2+6.5t+10 ，那么运动员在 0 秒到 0.5 秒时间 段内的平均速度是多少，在1秒到2秒时间段内呢，在 2 秒到 4 秒时间段内呢?
从而:“随着气球体积的增大,比值 (即平均膨胀率)越来越小”。
( (
半径的增加量) 体积的增加量)
气球的体积V（单位：L）与半径 r（单位：dm）
之间的函数关系是
引导：
V(r) 4r3
3
1 这一现象中，哪些量在改变？
2.变量的变化情况？
如果将半径 r 表示为体积V的函数，那么
V(r)4r3r(V)3 3V
Y=f(x) B
f(x2)-f(x1)=△y
直线AB的斜 率
f(x1) O
A
x2-x1=△xx
x1
x2
例 1.已知 f(x)函 x33 数 ,求 f(x)当 x由 2变3 时 到 的平均 . 变化率
求平均变化量的基本步骤： （1）先求 xx2x1
（2）再求函数的增量: ff(x0 x)f(x0)；
3
4
函数 r(V)=
3V
3
4π
(0≤V≤5 )的图象为:
利用函数图象计算：
r(0)=___0______ r(1)≈ _0_._6_2___ r(2)≈ _0_._7_8____ r(2.5)≈0_.8_5_____ r(4)≈ _1________
所以：
r(1)-r(0) 1-0
≈_0_._6_2_(dm/L)
f(x0+Δx) – f(x0) =
Δx
=
(2(x0+Δx)2+1) Δx
–
(2x02+1)
=4x0+2Δx
1
当x0=1, Δx= 2 时， Δy = 4x0+2Δx = 5
Δx
例3.
已知一次函数 y f(x) 在区间[-1，1]上的平均变化率为1，
且函数图象过点（0，2），试求此一次函数的表达式。
(2)求: 其从x0到x0+Δx的平均变化率，并求x0=1, 的平均变化率。
Δx=
1 2
时，
解: (1)
Δy Δx
=
f(x2) – f(x1) x2 – x1
=
(2x22+1) – (2x12+1)
x2 – x1
=2(x1+x2)
(2)
Δy Δx
f(x0+Δx) – f(x0) =
(x0+Δx) – x0
从 x 经过 △x ，量 f 的改变量为 ff(x x ) f(x )
量 f 的平均变化率为 f f(xx)f(x)
x
x
你能借助函数 f ( x)的图象说说平均变化率
f(x2 ) f ( x1) 表示什么吗？请在函数 x2 x1 图象中画出来．
fx0xf(x0)
x
y
连接函数图象上对应两点的割线的斜率f(x2)
问题2 高台跳水
在某段时间内，高度相对于时间的变化率用_平__均__速__度___描述。 在跳水运动中，运动员相对于水面高度h（单位:m）与起跳后的
时间t(单位:s)存在函数关系：h(t)= - 4.9 t2+6.5 t+10（如图）
t:0 0.5时,
v= h(0.5) - h(0) = 4.05(m/s) 0.5 - 0
111变化率问题13914
丰富多彩的变化率随问处题可.见 让我们从其中的两题个 ,开问 始变 化率与导数的学! 习吧
问题1 气球膨胀率
很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，
吹气球：每次都吹入差不多大小的一口气
观察：气球变大的速度 思考：每次吹入差不多大小的气体气球变大的速度一样吗？ 为什么？
可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的 直径增加的越来越慢.
（3）求平均变化率: f f(x0x)f(x0)；
x
x
练一练.已知函数 f (x) = 2 x +1, g (x) = – 2 x, 分别计算在 下列区间上 f (x) 及 g (x) 的平均变化率.
(1) [ –3 , –1] ;
(2) [ 0 , 5 ] .
例2： 已知f(x)=2x2+1
(1)求: 其从x1到x2的平均变化率；
r(2)-r(1) 2-1
≈_0_._1_6_(dm/L)
r(2.5)-r(2) 2.5-2
≈_0_._1_4_(dm/L)
r(4)-r(2.5) 4-2.5
≈_0_._1_0_(dm/L)
所以，随着气球体积逐渐变大，它的_平__均__膨__胀__率___逐渐变小了。
气球的平均膨胀率是一个特殊的情况，当空 气容量从 V1 增加到 V2 时,气球的平均膨胀率 是多少?
t:1 2时,
v= h(2) – h(1) = - 8.2(m/s) 2–1
一般地,t1 t2时,
v=
h(t2) – h(t1) t2 – t1
问题1 气球膨胀率:气球的体积V与半径r之间函数
关系为 r (V ) 3 3V
4
r(V2) r(V1) V2 V1
问题Βιβλιοθήκη Baidu 某段时间内的平均速度：高台跳水运动中，运动
例4.过曲线y f (x) x2上两点P(1,1) 和 Q(1x,1y) 作曲线的割线，求出当 x 0.1时割线的斜率。
员相对于水面的高度h与起跳后时间t存在函数关系为
h(t)4.9t26.5t10
h(t2) h(t1) t2 t1
如果上述两个问题中的函数关系用y=f(x)表示,
那么问题中用 的式 变 f(子 x化 2)f率 (x1)可 表,示 x2x1
函数y=f(x)，从x1到x2的平均变化率为： 习惯 x表 上 x2示 用 x1,即 : xx2x1
f
(x2) x2
f (x1) x1
注意：x是一个整,体 而符 不号 是 与x相乘 .
可把 x看作是相 x1的对 一于 个“ , 可 增x用 量 1” x代x替 2;
Δy
即，平均变化率= Δx
=
f(x2) - f(x1) x2 – x1
=
f(x1+Δx) – f(x1) Δx
设某个变量 f 随 x 的变化而变化，
从数学的角度，如何描述这种现象呢？
对思考的问题给一个科学的 回答，就需要把这个生活现 象从数学的角度，用数学语 言进行描述，解决问题
对一种生活现象的数学解释
“随着气球内空气容量的增加，气球半径增加的 越来越慢”的意思是：
随着气球体积的增大，当气球体积_增__加__量__相__同____时 相应半径的_增__加__量__越来越小.