二项式定理在数列求和中的应用

二项式定理在数列求和中应用
班级：数学1403
：王琪
学号:14404337
二项式定理在数列求和中的应用
【摘要】 本文利用二项式定理和辉三角的在联系，结合组合不等式，推导出形如(,,)a n a n a ==234的前n 项和的公式,并给出求更高次求和公式的一般方法。

【关键词】 二项式定理 组合数 方程的根 系数 一、项式定理和辉三角介绍：
1,二项式定理： ()n n n n r n r r
n n
n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b ---+=+++
++
00111222
其中r n C 叫做二项式系数。

2,辉三角：
二项式定理的应用非常广泛, 也很重要, 主要表现在两个方面: 一是它所揭示的方法富有启发性; 二是它与高等数学联系紧密.学习与掌握它, 既有利于培养学生联想和抽象思维的能力, 也有利于其今后进一步的学习.
二项式定理在中国被称为“贾宪三角”或“辉三角”，一般认为是北宋数学家贾宪所首创.它记载于辉的《详解九章算法》（1261）之中.在阿拉伯数学家卡西的著作《算数之钥》（1427）中也给出了一个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪的完全相同.在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算数书的封面上刻有此图，但一般称之为“帕斯卡三角形”.因为帕斯卡在1654
年也发现了这个结果.
而在1664年和1665年间，也就是由于瘟疫流行而迫使牛顿从剑桥躲开的前
夕，牛顿就开始了二项式定理的研究，值得注意的是，牛顿只处理了二项式的自乘幂是分数或负数的情况.牛顿第一次提到二项式定理是在1676年6月13日他写给奥尔登堡转给莱布尼兹的一封信中，此后牛顿对于该定理进行不断的推理、猜想和证明，最终建立了二项式定理.牛顿在建立了二项式定理以后，马上就抛弃了他以前用于求积的插值法，而把这个定理当做确定曲线下方面积的一个最简单最直接的方法来使用.
随着时间的推移，二项式定理被越来越多的人运用，直到今天，二项式定理已经是中学数学容的重要部分，也是当今高考的难点之一.
二项式定理是在处理有关两个元素和的方幂的问题时常常考虑到的一个重要公式，是组合数学中一个基础而重要的定理，在微积分、概率论、初等数论等许多数学分支中都可见其踪影. 二、二项式的性质
二项式定理：
(a +
(n .
理解二项式定理应注意：
（1）二项式中，a 是第一项，b 是第二项，顺序不能变； （2）展开式中有1n +项(比指数多1)； （3）0
1
,,
,n
n n n C C C 是二项式系数；
（4）a 的指数降幂，b 的指数是升幂，两者的指数的和等于n ； （5）二项式展开时要注意各项的符号规律； （6）注意二项式定理的可逆性.
二项式定理除了要注意以上几点外还具有一些性质：
性质一 ()n
a b +的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式
系数相等，即m n m
n n C C -=.
性质二 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数
之和，11m m m
n n n C C C -++=.
性质三 ()n
a b +的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n ，即
012.n
n n n n C C C ++
+= （令1a b ==即得，或用集合的子集个数的两
种计算方法结果相等来解释）.
性质四 ()n
a b +的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的
二项式系数的和，即
02213
21
12.r
r n n n n n n n C C C C C C +-++
++
=++
++
=（令
1,1a b ==-即得）.
三、重要组合恒等式:
（1）,r r r
n n n C C C ---+=111
证明：
()!()!
()!()!!()!r r
n n n n C C r n r r n r -----+=
+
----1111111
=
()!![()]!()!!()!
r
n n n r n r C r n r r n r -+-==--1（证 毕）
（2），()r r r r r r r r n n C C C C C n r +++-++++=>1
121
证明（数学归纳法）：
当n r =+1时 上式 左边=1 右边是r r C ++=1
11，所以是正确的。

假设上式对()n k k r =>正确 即r r r r r r r r k k C C C C C +++-++++=1121
那么就有r r r r r r r r r r k k k k C C C C C C C +++-+++++=+1121 再有组合不等式（1）可
得
r r r r r r r r r k k k C C C C C C +++-++++
++=1
1211
故综上所述 对于所有大于r 的正整数n （2）式都是成立的。

四、 一元n 次多项式根与系数的关系 对于多项式n n n n n x a x a x a x a ---++++=121210 若,,n x x x x 123
是它的n 个根
则有一下等式成立： ()n a x x x -=++
+11121
()n n a x x x x x x --=+++22121311
()i i i k k k a x x x -=∑121（所有i 个不同的根的乘积的和）
()n n a a a a -=123
1
五、应用举例
为了方便应用，（2）式也可以写成()r r r r r r r r r n r n C C C C C n r ++++-+++++=>1
121
当r=1，2，3，4的时候上式也就是： ()!
n n n +++
+=
+1
12312
(!n n ++
12 ()()()()()!!
n n n n n n n ++++
++=+++11
14101212334 ()()()()()()()!!
n n n n n n n n n ++++
+++=++++11
1515123123445 六、归纳总结
命题一：()()1111
1
-+=-+∑∑==m
n
k m n k m
n k k
证明：
()
()m
m m m n
k m
n n k 13211+++++=+∑=
m m m m n
k m
n k
++++=∑= 3211
两式相减有：()()1111
1
-+=-+∑∑==m
n
k m n
k m
n k k
命题二：n n
k =∑=1
1
由乘法的定义可知：n 个1相加的结果为n 。

命题三：()2
11+=
∑=n n k n
k 证明：由二项式定理知：()12122
++=+k k k ，从而：
()()∑∑==++=+n
k n k k k
k 1
2
1
2
121
即：()∑∑∑∑====++=+n
k n k n k n k k k k 1
1
1
2
1
2
121
由此可得：
()()()
1111
1221
1
2
1
2
1
+=--+=--+=∑∑∑∑====n n n
n k k k n
k n
k n
k n
k
即：()2
11
+=
∑=n n k n
k 命题四：()()12161
1
2++=∑=n n n k n
k
证明：由二项式定理可知：()1331233
+++=+k k k k ，从而
()()∑∑==+++=+n
k n k k k k
k 1
23
1
3
1331
即：()∑∑∑∑∑=====+++=+n
k n
k n
k n
k n
k k k k k 1
1
1
2
1
3
1
3
1331
由此可得：
()()()()()1212
1
2
13111
3133
1
1
1
1
3
3
1
2
++=
-+⋅
--+=---+=∑∑∑∑∑=====n n n n
n n n k k k k n
k n k n k n k n k
即：()()12161
1
2++=∑=n n n k n
k
命题五： ()2
1
321⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+=∑=n n k n
k 证明：由二项式定理可知：()146412344
++++=+k k k k k ，从而
()()∑∑==++++=+n
k n k k k k k
k 1
234
1
4
14641
即：()∑∑∑∑∑∑======++++=+n
k n k n k n k n k n k k k k k k 1
1
1
2
1
3
1
4
1
4
14641
由此可得：
()()()()()()[]
2
4
1
1
1
2
1
4
1
4
1
3
1214121616111
4614+=-+⋅-++⋅--+=----+=∑∑∑∑∑∑======n n n n n n n n n k k k k k n
k n
k n
k n
k n
k n
k
即： ()2
1
3
21⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+=∑=n n k n
k 命题六：()()()13312130
1
21
4-+++=
∑=n n n n n k n
k 证明：由二项式定理可知：()1510105123455
+++++=+k k k k k k ，从而
()()∑∑==+++++=+n
k n k k k k k k
k 1
2345
1
5
15101051
即：()∑∑∑∑∑∑∑=======+++++=+n
k n
k n
k n
k n
k n
k n
k k k k k k k 1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
5
15101051
由此可得：
()()()()()()()()()13312130
121512161102110111
510101522
5
1
1
1
2
1
3
1
5
1
5
1
4
-+++=-+⋅-++⋅-⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+⋅--+=-----+=∑∑∑∑∑∑∑=======n n n n n n n n n n n n n k k k k k k k n
k n
k n
k n
k n
k n
k n
k 下面我们讨论一般情况下数列的和，即：∑=n
k m k 1
由二项式定理可知：()0
11111111111
1++--+++++++++++=+m m m m m m m m m m m m C k C k C k C k C k ，从
而有()
()
∑∑=++--+++++=++++++=+n
k m m m m m m m m m m m n
k m C k C k C k C k C k 1
111111111111
1 可得：
()
()()
()⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡+++--+=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡+++--+=∑∑∑∑∑=++--++=++--+=+=+=+n
k m m m m m m n k m m m m m n
k m n
k m n
k m
m m C k C k C n C k C k C k
k k C
10
1111111
10
11111111
1
1
1
1
111
即：
()
()m m n k m m m m m m n
k m
C C k C k C n k
1
10
1111111
1
11+=++--++=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡+++--+=
∑∑
至此，我们求出了连续自然数任意次方的和。

推论 若多项式
()()()()f k k k k k a =---+121他的根分别是
,,,
a k k k k a ====-1230121，则
他的展开式中a k -1的系数是()()a a
a a -=-++++
+-=-
11012312
a a a k k k k k k -=++
+212131
同理'()()()
()f k k k k k a =---+122展开式中a k -2的系数是：
'()a a =-+++
+-10122
二项式定理有着广泛的应用，如果不能够准确把握其本质，则可能导致无法预测的结果.二项式定理多出现在高考题中，其中比较突出的就是利用二项式的通项公式解决特定项问题，除此之外，二项式定理在整除问题，余数问题，近似值问题等都有出现，但又不是所有问题都可以用二项式定理去做，因此要合理运用二项式定理，掌握其中的技巧，以便于快速解决问题，提高利用二项式定理解决实际问题的能力．。