数形结合

初试牛刀
(1
)方程
y =
1− x
B:抛物线
2ຫໍສະໝຸດ Baidu
表示的图形为（ D ）
A:双曲线 C：圆
D:圆的一部分
(2)若函数 f (x) = x3 + (a −1)x2 + 2x + 4 的导函数 f ' ( x)在（ - ∞， 为减函数，则实数a的取值范围为( B ) 4）
1 3
(−∞,−3) C: (− 3,+∞ )
简，然后画出其图像，再根据 然后画出其图像， 的最小值。 图像观察 f (x) 的最小值。
方法二分析:利用绝对值 x − 1的几何意 方法二分析 义，表示数轴上表示实数 x 的点到表示 实数1点的距离，画出数轴，让表示实 数 x的点从左到右运动，然后观察f (x ) 的 最小值。
效果检测
练习 ：已知x, y ∈ R, 且（x − 2） + y = 3 1 y 则 的最大值为 x
总结概括 ： 代数问题
数
转化
几何问题
数形结合的含义
所谓数形结合就是根据数与形的对应 关系，通过数与形的相互转化，达到解决 数学问题的目的，这种思想叫数形结合的 思想。它主要通过以形助数或以数解形 ， 使复杂问题简单化，抽象的问题直观化。
数缺形来少直观， 形缺数来难入微， 华 数形结合双翼飞。 罗 庚
高中数形结合的八大领域
（一）运用数形结合解决集合问题： （二）运用数形结合解决函数问题：
数轴与韦恩图 函数最值问 函数单调性，奇偶性，周期性的判定和应用， 题；函数单调性，奇偶性，周期性的判定和应用，函数零点存在 性的判定， 性的判定，闭区间上的二次函数的最值问题等
（三）运用数形结合解决平面解析几何问题： （四）运用数形结合解决方程问题： 根的分布与个数 （五）运用数形结合解决概率问题： 统计图 （六）应用数形结合解决不等式问题： 数轴标根法与线性规划 （七）向量加减法的几何意义： （八）解斜三角形应用题的方位角问题。
A: ，
B: D:
(− ∞ ,− 3 ]
[−3,+∞)
继续尝试-----相信自己 相信自己 继续尝试 (3)（10年湖南.）在区间[-1,2]上随机地取一个数 则 ︱ x︱≤ (4)方程 Ａ：０ 1的概率为
-x
2 ？ 3
2
Ｂ:１,
+x = 3
2
C 的实根的个数为（ ） Ｃ:２ Ｄ:３
施展才华
例1.对于任意实数x,不等式 x−1+ x+2 >a 恒成立，则实数 a 的取值范围为 ？
谢谢
题 ：
专
思考？ 思考？
已知实数x,y满足3x+4y-1=0，求 ( x − 1 ) 2 + ( y − 2 ) 2 的最小值为多少？
分析：我们在大脑检索求最值得常用方法，方程 3x+4y-1=0表示直线，在此基础上式子
( x − 1) 2 + ( y − 2 ) 2
则表示直线3x+4y-1=0上的点P(x,y)到点Q(1,2)的距 离的平方，这样画出图形容易发现点Q(1,2)到直线 3x+4y-1=0的距离的平方为所求最小值
请大家用 心想想
分析： 不等式的 左端可 以看作 一个函数 (x)， f (x 这样要 使函数f (x) > a恒 成立，只 f (x)最小 要 值大于 , 这 a 样问题就 转化为 求函数 f (x) =| x −1| + | x + 2 | 的最小 值了。
方法一分析： 方法一分析 对f
(x) 的解析式进行化
2 2
练习2：已知 s n 为等差数列{ a n }的前n项 的和，若 s p = s q , ( p ≠ q ) ，则 s p+q = .
总结与升华：(1)本节课我们在知识上的收获：学习了数形结 合的含义，系统的回顾了高中数学内容中数形结合应用较为 广泛的若干领域， （2）能力上的收获与体会：明确了应用数形结合解决数学 问题的基本条件，初步体会到了数形结合的巨大作用，只要 我们心中有数形结合的意识，善于应用数形结合思想解决数 学问题，真正用好这条锦囊妙计，在解决许多数学问题时往 往能起到事半功倍或柳暗花明的效果。 (3)唯物辩证法认为矛盾着的双方既相互对立相互统一， 又在一定的条件下相互转化，作为数与形的双方，也符合这 条唯物辩证法的基本规律，这就要求我们若条件具备则直接 应用，有时条件不具备需要创造条件促使数与形进行转化， 以达到解决问题的目的，这对于我们研究其它自然科学无疑 也有着十分深远的意义--------视野拓展.能力升华