解斜三角形

解斜三角形
一、要点精讲
⒈ 几个常用结论：ABC ∆中角C B A ,,的对边分别是c b a ,, ⑴ π=++C B A ； ⑵ B A b a <⇔<； ⑶ 由三角形内角和定理和诱导公式可推出
()()C C B A sin sin sin =-=+π； ()()B B C A cos cos cos -=-=+π
2cos 22sin 2sin
C C B A =⎪⎭
⎫
⎝⎛-=+π； 2sin 2cos C B A =+ ⒉ 正弦定理、余弦定理 ⑴ 在ABC ∆中，正弦定理：
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===。

（R 为外接圆半径） 正弦定理的变形形式A R a sin 2=，B R b sin 2=，
C R c sin 2=是三角形中边和角互化的工具。

⑵ 在ABC ∆中，余弦定理：
A bc c b a cos 2222-+=；
B ca a c b cos 2222-+=；
C ab b a c cos 2222-+=
或bc
a c
b A 2cos 2
22-+= ， ac b c a B 2cos 222-+=， ab c b a C 2cos 222-+=
⒊ 常见题型
⑴ 已知两角与一边，用，有一解。

⑵ 已知两边及其中一边的对角，用， 可能有两解、一解或无解（如右图）。

⑶ 已知三边，用，有一解。

⑷ 已知两边及夹角，用，有一解。

4、三角形常用面积公式： ⑴ a h a S ⋅=
21b h b ⋅=21c h c ⋅=2
1
（a h 、b h 、c h 分别表示a 、b 、c 上的高）； ⑵ C ab S sin 21=
A bc sin 21=
B ac sin 21
=； ⑶ ()c b a r S ++=2
1（r 为内切圆半径）。

5、解三角形问题的技巧
解三角形问题的两重性：①作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；②它毕竟是三角变换，只是角的范围
结构”)是使问题获得解决的突破口．
二、双基达标
1.（2014新课标）钝角三角形ABC
的面积是12
，AB=1，BC=2 ，则AC=( )
A. 5
B. 5
C. 2
D. 1
.
.5,cos 2-4
3π∴ΔABC 4π
.43π,4π∴,2
2sin ∴21sin 1221sin 21222ΔABC B b B ac c a b B B B B B B ac S 故选解得，使用余弦定理，符合题意，舍去。

为等腰直角三角形，不时，经计算当或=+======•••==
Θ 2. (2012·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( ) A.
725B. －725C. ±725D. 24
25
解：在△ABC 中，由正弦定理：sin C sin B ＝c b ，∴sin2B sin B ＝85，∴cos B ＝45.∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝725
.
3．(2013安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ， 则角C ＝________.
解：由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，因此角C ＝2π
3.
4、（2016山东）ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1sin )b c a b A ==-,则A =
（A ）
3π4（B ）π3（C ）π4（D ）π
6
5.已知在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若23,,3sin 6
ABC b a C S A π
∆==
=，
则ABC S ∆= A ．
34 B ．32
C ．3
D ．2
6.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为1
315,2,cos 4
b c A -==-，则的值为___________．
三、典例精析
考点一：判断三角形的形状
1、（2013陕西）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 不确定
解: ∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ， 即sin A ＝sin 2A .又sin A >0，∴sin A ＝1，∴A ＝π
2，故△ABC 为直角三角形．（角化边得a=2R ）
2. 在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c
2c
(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )
A ．等边三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形或直角三角形
D ．等腰直角三角形
解：∵cos 2
B 2＝a ＋c 2c ，∴2cos 2
B 2－1＝a ＋c c －1，∴cos B ＝a c ，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝a c
，∴c 2＝a 2＋b 2.∴直角三角形． 3．(2013辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝1
2
b ，
且a ＞b ，则∠B 等于( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6
解:由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12，由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝1
2，
∴sin(A ＋C )＝12，从而sin B ＝12，又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π
6
.
4、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若∠B ＝60°，2b ＝a ＋c ，判断△ABC 的形状． 解：2b ＝a ＋c,2sin B ＝sin A ＋sin C ，∠B ＝60°，∠A ＋∠C ＝120°，代入，得
2sin60°＝sin(120°－C )＋sin C ，展开整理得，
32sin C ＋1
2
cos C ＝1，sin(C ＋30°)＝1， ∠C ＝60°，所以∠A ＝60°，故△ABC 为正三角形． 法二：由余弦定理可得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∠B ＝60°，b ＝a ＋c 2
，
(a ＋c 2)2＝a 2＋c 2－2ac cos60°，(a －c )2＝0，a ＝c ＝b ，故△ABC 为正三角形． 5、在ABC ∆中，若C B bc B c C b cos cos 2sin sin 2
2
2
2
=+，试判断该三角形的形状。

解：由正弦定理得B c C b sin sin = ∴C B bc C b cos cos 2sin 22
2
=C B C B cos cos sin sin =⇒
C B C B cos cos sin sin =⇒，∴()0cos =+C B ，∴ο
90=+C B ∴直角三角形
6．已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角且lgsin A －lgsin B －lgcos C =lg2．试判断此三角形的形状特征．
解：由于lgsin A －lgsin B －lgcos C =lg2，可得lgsin A =lg2+lgsin B +lgcos C ，即lgsin A =lg2sin B cos C ， sin A =2sin B cos C ．根据内角和定理，A +B +C =π，∴A =π－（B +C ）．∴sin （B +C ）=2sin B cos C ，
∴在△ABC 中，C =B ．∴△ABC 为等腰三角形．
7、下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是 A. sin A +cos A =
5
1 B. AB ·BC ＞0 C. tan A +tan B +tan C ＞0
D. b =3，c =33，B =30°
解：由sin A +cos A =
51 得2sin A cos A =－25
24
＜0，∴A 为钝角. 由AB ·BC ＞0，得BA ·BC ＜0，∴cos 〈BA ，BC 〉＜0. ∴B 为钝角. 由tan A +tan B +tan C ＞0，得tan （A +B ）·（1－tan A tan B ）+tan C ＞0. ∴tan A tan B tan C ＞0，A 、B 、C 都为锐角. 由
B b sin =
C c sin ，得sin C =23，∴C =3π或3
π2. 答案：C
考点二：求三角形中的边和角
8、如图，在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长． 解：在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得
cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝100＋36－1962×10×6＝－1
2，
∴∠ADC ＝120°，∠ADB ＝60°.
在△ABD 中，AD ＝10，B ＝45°，∠ADB ＝60°，
由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD
sin B ，∴AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝10sin60°sin45°
＝5 6.
法二：用勾股定理：
9.如图,在△ABC 中,已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC,sin ∠BAC=
,AB=3
,AD=3,则BD 的长为________.
【解析】因为AD ⊥AC,所以∠DAC=. 因为sin ∠BAC=
,所以sin
=
,所以cos ∠BAD=
. 由余弦定理,得BD 2=AB 2+AD 2-2AB·AD·cos ∠BAD=(3)2+32-2×3
×3×
=3.所以BD=
.
10.(2014北京）如图，在ABC
∆中，8
,
3
=
=
∠AB
B
π
，点D在BC边上，且
7
1
cos
,2=
∠
=ADC
CD （1）求BAD
∠
sin；（2）求AC
BD,的长
解：（I）在ADC
∆中，因为
1
7
COS ADC
∠=，所以
43
sin
7
ADC
∠=。

所以sin sin()
BAD ADC B
∠=∠-∠
4311333
72714
=⨯-⨯=。

（Ⅱ）在ABD
∆中，由正弦定理得
33
8
sin14
3
sin43
7
AB BAD
BD
ADB
⨯
⋅∠
===
∠
，在ABC
∆中，
由余弦定理得2222cos
AC AB BC AB BC B
=+-⋅⋅22
1
8528549
2
=+-⨯⨯⨯=所以7
AC=
11、ABC
∆中，ο
45
=
∠B，
5
5
2
cos
,
10=
=C
AC，
求⑴BC的长度；⑵若点D是AB的中点，求中线CD的长度。

解：（1）由
255
cos sin
C C
=，
2310
sin sin(18045)sin)
A C C C
=--=+=
o o，由正弦定理知
10310
sin32
sin2
AC
BC A
B
=⋅==
（2）
105
sin2
sin2
AC
AB C
B
=⋅==
，
1
1
2
BD AB
==。

由余弦定理知：
13
2
2
2
3
1
2
18
1
cos
2
2
2=
⋅
⋅
⋅
-
+
=
⋅
⋅
-
+
=B
BC
BD
BC
BD
CD
12、如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB=1，7
=
AC，
3
2π
=
∠ABC，
3
π
=
∠ACD
（Ⅰ）求sin∠BAC；（Ⅱ）求DC的长..
13、（2016年高考江苏卷数学）在ABC △中，AC =6，4πcos .54
B C ==， （1）求AB 的长；（2）求π
cos(6
A -)的值.
14、（2016北京）在∆ABC 中，2
2
2
2+=+a c b ac . （1）求B ∠ 的大小；（2）求2cos cos A C + 的最大值.
15.在三角形ABC 中，A,B,C 的对边分别为a,b,c,且3
π
=A ，3=a ，求b 2+c 2的取值范围.
考点三：求三角形的面积
15.（2014全国2）钝角三角形ABC 的面积是12
，AB=1，BC=2 ，则AC=( )
A. 5
B.
5 C. 2 D. 1
16.（2014江西）在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若,3
,6)(2
2
π
=+-=C b a c 则ABC
∆的面积（ ） A.3 B.
239 C.2
3
3 D.33
17.（2014山东）在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=u u u r u u u r ，当6
A π
=时，ABC ∆的面积为________.
18.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3
a b c B π
=，4
cos ,35
A b =
=。

（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积. 解：（Ⅰ）∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，且4,cos 35B A π
=
=，∴23
,sin 35
C A A π=-=， ∴231343sin sin cos sin 32
210C A A A π+⎛⎫
=-=+=
⎪⎝⎭. （Ⅱ）由（Ⅰ）知3343sin ,sin 510A C +=
=，又∵,33
B b π
==，∴在△ABC 中，由正弦定理， 得∴sin 6
sin 5
b A a B ==
.∴△ABC 的面积1163433693sin 32251050S ab C ++==⨯⨯⨯=.
19、（2016新课标Ⅰ理）ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =
（I ）求C ；（II ）若7,c ABC =∆的面积为
33
2
,求ABC V 的周长．
20.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知1cos 2,3,sin 6sin 3
A c A C =-==． （1）求a 的值；
（2）若角A 为锐角，求b 的值及ABC ∆的面积．
21.（15新课标2）∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 是∆ADC 面积的2倍。

(Ⅰ)求
C
B
∠∠sin sin ;(Ⅱ) 若AD =1，DC =22求BD 和AC 的长.
22、（2016浙江）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知b +c =2a cos B.
（I ）证明：A =2B ；（II ）若△ABC 的面积2
=4
a S ，求角A 的大小.
（II ）由24a S =得21sin C 24a ab =，故有1
sin sin C sin 2sin cos 2
B =B =B B ，
因sin 0B ≠，得sinC cos =B ．又B ，()C 0,π∈，所以C 2
π
=±B ．
当C π
B +=时，π
A =
；当C π
-B =
时，π
A =
．综上，π
A =
或π
A =
．
23.（2013重庆）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc . (1)求A ；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值，并指出此时B 的值． 解：(1)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32.又因0<A <π，所以A ＝5π
6
.
(2)由(1)得sin A ＝12，又由正弦定理及a ＝3得S ＝12bc sin A ＝12·a sin B
sin A
·a sin C ＝3sin B sin C ，
因此，S ＋3cos B cos C ＝3(sin B sin C ＋cos B cos C )＝3cos(B －C )．
所以，当B ＝C ，即B ＝π－A 2＝π
12
时，S ＋3cos B cos C 取最大值3.
24.在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3
C π
=
． （Ⅰ）若ABC △的面积等于3，求a b ，；
（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．
解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，2
2
4a b ab +-=， 又
1
sin 32
ab C =，得4ab =． 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩
，
，解得2a =，2b =．
（Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=， 即sin cos 2sin cos B A A A =，
当cos 0A =时，2A π=
，6
B π
=，433a =，233b =，
当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，
联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，
解得233a =，433b =．所以ABC △的面积123
sin 23S ab C ==．
25.（2014浙江）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a b ≠，3c =，
22cos cos 3sin cos 3sin cos A B A A B B -=-.
⑴求角C 的大小；⑵若4
sin 5
A =
，求ABC ∆的面积. 解：（Ⅰ）∵△ABC 中，a≠b ，c=，cos 2A ﹣cos 2B=sinAcosA ﹣
sinBcosB ，
∴
﹣
=
sin2A ﹣
sin2B ，
即 cos2A ﹣cos2B=sin2A ﹣sin2B ，即﹣2sin （A+B ）sin （A ﹣B ）=2
•cos （A+B ）sin （A ﹣B ）．
∵a≠b ，∴A≠B ，sin （A ﹣B ）≠0，∴tan （A+B ）=﹣，∴A+B=
，∴C=
．
由正弦定理可得，=，即 =，∴a=．
∴sinB=sin （C+A ）=，
∴△ABC 的面积为
=
×
=
26.(15陕西)C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量()
,3m a b =r
与()cos ,sin n =A B r
平行． （I ）求A ；（II ）若7a =
，2b =求C ∆AB 的面积．
试题解析：（I ）因为//m n r r
，所以sin 3cos 0a B b A -=，
由正弦定理，得sinAsinB 3sinBcos A 0-=又sin 0B ≠，从而tan 3A =，
由于0A π<<，所以3
A π
=
(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-而7b 2,a ==3
π
A =
得2742c c =+-，即2230c c --=因为0c >，所以3c =.故∆ABC 的面积为
133
bcsinA 22
=.
考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式. 27.△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cos A B
C A B
+=+,sin()cos B A C -=.
（1）求,A C ；（2）若33ABC S ∆=+,求,a c . 解：(1) 因为sin sin tan cos cos A B C A B +=
+，即sin sin sin cos cos cos C A B
C A B
+=
+，
即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，
得 sin()sin()C A B C -=-. 所以C A B C -=-,或()C A B C π-=--(不成立).
即 2C A B =+, 得3C π=
，所以.23
B A π+= 又因为1sin()cos 2B A
C -==
，则6B A
π-=，或56B A π-=（舍去） 得5,412
A B ππ
== (2)162sin 3328ABC S ac B ac ∆+=
==+，又sin sin a c A C =, 即 23
22
=，得22,2 3.a c ==
四、能力提升
1.（2012上海）在ABC ∆中，若C B A 2
22sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 解：根据正弦定理可知由C B A 2
2
2
sin sin sin <+,可知2
2
2
c b a <+，在三角形中
02cos 2
22<-+=ab
c b a C ，所以C 为钝角，三角形为钝角三角形，选C.
2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 所对的边，且b 2＋c 2＝a 2＋3bc ， 则2sin B cos C －sin(B －C )的值为( ) A.
33B.32C.22D.12
解：利用余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32，又A ∈(0，π)，所以A ＝π6，B ＋C ＝5π6
，
所以2sin B cos C －sin(B －C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin(B ＋C )＝1
2
.
3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，c=2a ，则 A.a ＞b B.a ＜b C. a ＝b D.a 与b 的大小关系不能确定
4.已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若62a c ==
75A ∠=o ，则b =
A.2 B ．4＋3 C ．4—3 D 62
5、（2013湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2a sin B＝3b，则角A等于()
A.
π
12B.
π
6C.
π
4D.
π
3
6、△ABC中，,3,
3
A BC
π
==则△ABC的周长为（）
A．43)3
3
B
π
++B．43)3
6
B
π
++
C．6sin()3
3
B
π
++D．6sin()3
6
B
π
++
解：在ABC
∆中，由正弦定理得：,
2
3
3
sin
=
B
AC
化简得AC=,
sin
3
2B
2
3
3
)
3
(
sin[
=
+
-
π
πB
AB
，
化简得AB=)
3
2
sin(
3
2B
-
π
，所以三角形的周长为：3+AC+AB=3+B
sin
3
2+)
3
2
sin(
3
2B
-
π=3+.3
)
6
sin(
6
cos
3
sin
3
3+
+
=
+
π
B
B
B。

故选D。

7.（2012重庆）设ABC
∆的内角,,
A B C的对边分别为,,
a b c，且
5
3
cos=
A，
13
5
cos=
B,3
=
b则c=
解：因为
5
3
cos=
A,
13
5
cos=
B,所以
5
4
sin=
A，
13
12
sin=
B，
65
56
5
3
13
12
13
5
5
4
)
sin(
sin=
⨯
+
⨯
=
+
=B
A
C,根据正弦定理
C
c
B
b
sin
sin
=得
65
56
13
12
3c
=,解得
5
14
=
c.
8.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若3, A+C=2B,则sinC= .
9.（2013天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b sin A＝3c sin B，a＝3，cos B＝
2
3.
(1)求b的值；(2)求sin(2B－
π
3)的值．
解：(1)在△ABC中，由
a
sin A＝
b
sin B，可得b sin A＝a sin B，又由b sin A＝3c sin B，
可得a＝3c，又a＝3，故c＝1.故b2＝a2＋c2－2ac cos B，cos B＝
2
3，可得b＝ 6.
(2)由cos B＝
2
3，得sin B＝
5
3，进而得cos2B＝2cos
2B－1＝－
1
9，sin2B＝2sin B cos B＝
45
9.
所以sin(2B－
π
3)＝sin2B cos
π
3－cos2B sin
π
3＝
45＋3
18.
10、（2012新课标）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C
的对边，cos sin 0a C C b c +--= （1）求A （2）若2a =，ABC ∆的面积为3；求,b c .
解：（1
）由正弦定理得：cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=⇔-=+
sin cos sin sin()sin 1
cos 1sin(30)2
303060A C A C a C C A A A A A ︒︒︒︒
⇔+=++⇔-=⇔-=⇔-=⇔=
（2
）1
sin 42
S bc A bc =
=⇔=2222cos 4a b c bc A b c =+-⇔+=。