解斜三角形

解斜三角形

一、要点精讲

⒈ 几个常用结论：ABC ∆中角C B A ,,的对边分别是c b a ,, ⑴ π=++C B A ； ⑵ B A b a <⇔<； ⑶ 由三角形内角和定理和诱导公式可推出

()()C C B A sin sin sin =-=+π； ()()B B C A cos cos cos -=-=+π

2cos 22sin 2sin

C C B A =⎪⎭

⎫

⎝⎛-=+π； 2sin 2cos C B A =+ ⒉ 正弦定理、余弦定理 ⑴ 在ABC ∆中，正弦定理：

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===。（R 为外接圆半径） 正弦定理的变形形式A R a sin 2=，B R b sin 2=，

C R c sin 2=是三角形中边和角互化的工具。 ⑵ 在ABC ∆中，余弦定理：

A bc c b a cos 2222-+=；

B ca a c b cos 2222-+=；

C ab b a c cos 2222-+=

或bc

a c

b A 2cos 2

22-+= ， ac b c a B 2cos 222-+=， ab c b a C 2cos 222-+=

⒊ 常见题型

⑴ 已知两角与一边，用，有一解。 ⑵ 已知两边及其中一边的对角，用， 可能有两解、一解或无解（如右图）。 ⑶ 已知三边，用，有一解。 ⑷ 已知两边及夹角，用，有一解。 4、三角形常用面积公式： ⑴ a h a S ⋅=

21b h b ⋅=21c h c ⋅=2

1

（a h 、b h 、c h 分别表示a 、b 、c 上的高）； ⑵ C ab S sin 21=

A bc sin 21=

B ac sin 21

=； ⑶ ()c b a r S ++=2

1（r 为内切圆半径）。 5、解三角形问题的技巧

解三角形问题的两重性：①作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；②它毕竟是三角变换，只是角的范围

结构”)是使问题获得解决的突破口．

二、双基达标

1.（2014新课标）钝角三角形ABC

的面积是12

，AB=1，BC=2 ，则AC=( )

A. 5

B. 5

C. 2

D. 1

.

.5,cos 2-4

3π∴ΔABC 4π

.43π,4π∴,2

2sin ∴21sin 1221sin 21222ΔABC B b B ac c a b B B B B B B ac S 故选解得，使用余弦定理，符合题意，舍去。

为等腰直角三角形，不时，经计算当或=+======•••==

Θ 2. (2012·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( ) A.

725B. －725C. ±725D. 24

25

解：在△ABC 中，由正弦定理：sin C sin B ＝c b ，∴sin2B sin B ＝85，∴cos B ＝45.∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝725

.

3．(2013安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ， 则角C ＝________.

解：由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0

3.

4、（2016山东）ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1sin )b c a b A ==-,则A =

（A ）

3π4（B ）π3（C ）π4（D ）π

6

5.已知在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若23,,3sin 6

ABC b a C S A π

∆==

=，

则ABC S ∆= A ．

34 B ．32

C ．3

D ．2

6.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为1

315,2,cos 4

b c A -==-，则的值为___________．

三、典例精析

考点一：判断三角形的形状

1、（2013陕西）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )

A. 锐角三角形

B. 直角三角形

C. 钝角三角形

D. 不确定

解: ∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ， 即sin A ＝sin 2A .又sin A >0，∴sin A ＝1，∴A ＝π

2，故△ABC 为直角三角形．（角化边得a=2R ）

2. 在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c

2c

(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )

A ．等边三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形或直角三角形

D ．等腰直角三角形

解：∵cos 2

B 2＝a ＋c 2c ，∴2cos 2

B 2－1＝a ＋c c －1，∴cos B ＝a c ，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝a c

，∴c 2＝a 2＋b 2.∴直角三角形． 3．(2013辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝1

2

b ，

且a ＞b ，则∠B 等于( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6

解:由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12，由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝1

2，

∴sin(A ＋C )＝12，从而sin B ＝12，又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π

6

.

4、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若∠B ＝60°，2b ＝a ＋c ，判断△ABC 的形状． 解：2b ＝a ＋c,2sin B ＝sin A ＋sin C ，∠B ＝60°，∠A ＋∠C ＝120°，代入，得

2sin60°＝sin(120°－C )＋sin C ，展开整理得，

32sin C ＋1

2

cos C ＝1，sin(C ＋30°)＝1， ∠C ＝60°，所以∠A ＝60°，故△ABC 为正三角形． 法二：由余弦定理可得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∠B ＝60°，b ＝a ＋c 2

，

(a ＋c 2)2＝a 2＋c 2－2ac cos60°，(a －c )2＝0，a ＝c ＝b ，故△ABC 为正三角形． 5、在ABC ∆中，若C B bc B c C b cos cos 2sin sin 2

2

2

2

=+，试判断该三角形的形状。

解：由正弦定理得B c C b sin sin = ∴C B bc C b cos cos 2sin 22

2

=C B C B cos cos sin sin =⇒

C B C B cos cos sin sin =⇒，∴()0cos =+C B ，∴ο

90=+C B ∴直角三角形

6．已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角且lgsin A －lgsin B －lgcos C =lg2．试判断此三角形的形状特征．

解：由于lgsin A －lgsin B －lgcos C =lg2，可得lgsin A =lg2+lgsin B +lgcos C ，即lgsin A =lg2sin B cos C ， sin A =2sin B cos C ．根据内角和定理，A +B +C =π，∴A =π－（B +C ）．∴sin （B +C ）=2sin B cos C ，