三维地形分析建模
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0 0
a a
1 1 1 3 3 a1a a2 a a3a a4 a 4 2 2 4
2
对正方形格网，可用如下体积近似公式：
V a 2 h1 h2 h3 h4 / 4
结论：表面积与体积的计算都与空间曲面拟合方式，以及实际
使用的数据结构有关。实际计算中，常采用分块计算方法。
§7.1 分形基本理论（7） 二、无标度域
对分形研究所做的尺度变换在一定范围内变动时，相应 所得长度值呈现出一定规律性，这个范围就是无标度域。如图 上的（δmin,δmax） 在无标度域内拟合的直线是良好的，对分维进行估值必 须在无标度域内进行。
§7.1 分形基本理论（8）
无标度域确定的方法：
1、人工判定法：用肉眼确定段性关系最好的区间。 2、相关系数检验法：取臵信度最高或一定臵信度下线性关系范
S dx 1 f x2 f
0 0
a
a
1 2 2 y
dy
牛顿-柯特斯法：其几何意义是用插值多项式对应的面积代替原
曲线对应的面积。 将积分区间n等分，当n=1时，得梯形公式； 当n=2时，得Simpson公式； 当n=4时，得Cotes公式。 由于当积分区间较大时，精度难以保证，所以一般先将积分区间划 分为许多小区间，然后在每个小区间上应用牛顿-柯特斯求积公式算出 积分的近似值，最后将这些值相加，这样所得的新的求积公式称为复化 求积公式。（复化梯形公式、复化Simpson公式、复化Cotes公式）
分形的研究对象：自然界中没有特征长度而又具有自相似性的形
状和现象。分形集是分形几何研究的对象。
分形集的三要素：形状、机遇、维数（在不同尺度变换下的不变
量）。分维的研究是分形几何的核心问题。
分形研究的内容：
（1）关于分形理论的研究； （2）关于分形应用的研究； （3）分形和其他科学的边缘研究。
分形欣赏
分形的维数：
相似维数：设分形 F 是自相似的，即 F 由 m 个子集构成，每个
子集放大 c 倍后同 F一样，则定义 F 的维数为
例如，对于Cantor集，
对于Koch 雪花曲线，
§7.1 分形基本理论（6）
盒维数：
设F是Rn上任意非空的有界子集，Nδ(F)是直径最大为δ、可以覆盖 F的集的最少个数（如Rn是正方形，将Rn分成边长为δ的子正方形。 Nδ(F)为子正方形中包含 F 中点的子正方形的个数）。定义 F 的盒维 数为
Mandelbrot集合局部放大
Mandelbrot集合 Mandelbrot集合
Nova分形
Newton分形
§7.1 分形基本理论（4）
3、分维估值方法
传统意义下的维数：
（传统上认为维数即为确定整个图形中点的位臵所需的坐标个数） 点是0维的，线是1维的，平面是2维的，立方体是三维的，…
§7.1 分形基本理论（5）
§7.1 分形基本理论（9）
三、线性要素分维估值
分形曲线分维估值公式：
lg N lg LD D lg 0
其中，N(δ)为用δ量测曲线所需的步数，D为分维值。
对曲线的分维D估值时，需要解决4个问题：
(1) (2) (3) (4) δ取值的范围和跨度； 给定δ后，量测曲线所需步数N(δ)如何确定； 无标度域求取； 无标度域内拟合直线斜率的求取。
§7.3 坡度和坡向（3）
拟合曲面法：以格网点为中心的一个窗口，拟合一个
曲面。通常在3×3个DEM格网窗口中进行，每个窗口中心为 高程值，如图。 基于窗口的坡度计算公式：
2 2 其中， slopewe、slope sn 分别为水平、垂直方向上的坡度。可采用不 同方法计算： 方法一：采用直接与中心单元邻接的四个单元； 方法二（Horn算法）：使用8个邻接单元，4个 直接相邻接单元的权重值为2，4个角落单元的权重 值为1； 方法三：使用8个邻接单元，4个直接相邻接单元 的权重值为 2 ，4个角落单元的权重值为1； 方法四（sharpnack算法）：使用8个邻接单元，每个单元的权重值 相同。
§7.3 坡度和坡向（4）
3、矢量数据的坡度计算：
1）基于等高线的计算方法，定义地表坡度为：
tan hl / P
其中，P为测区面积； l 为测区等高线总长度；h为等高距。 前提：量测区域内等高距相等。 结果：求出的是一个区域内坡度的平均值。 缺点：测区较大或等高距不等时，误差较大。
2）基于统计学理论的方法：
§7.2 表面积和体积（4）
3、正方形格网转化为三角形格网
将正方形格网对角划分为三角形格网，然后利用三角形格网的表面 积计算公式计算。
4、实验与分析
设定不同的DEM格网间距，分别采用正方形格网划分为三角形格网、 复化梯形公式、复化Simpson公式、复化Cotes公式计算曲面表面积，得 到结论如下： (1)从精度看：复化Simpson公式计算结果最准确，正方形格网划分 为三角形格网和复化梯形次之，而复化Cotes公式精度较低。 (2)从计算复杂度看：梯形算法最简单，其次为复化Simpson公式和 正方形格网划分为三角形格网，而复化Cotes公式最复杂。 (3)理论上：复化梯形求积法最简单，但步数太多时，累积误差会增 加；复化Cotes公式有较高精度，但只有在充分细化时，才有较高精度。
1、坡度的基本公式：
设有曲面方程Z=f（x,y），则 给定点P0（x0,y0,z0）处的坡度为：
2 x 2 y
arccos f x0 , y0 f x0 , y0 1
1 2
坡度的取值范围：0°≤ α ≤90°
平均坡度：计算格网点位上的坡度值，然后取其平均值。
§7.3 坡度和坡向（2）
A
V S z1 z2 z3 / 3
其中，S是底面面积。
另外，对于线性多项式表示的三角形 格网上的体积，可通过将其划分为三个四 体后以后精确求得。
§7.2 表面积和体积（6）
2、正方形格网的体积计算
若正方形格网的表面模型为双线性多项式，则其体积为：
V a1 a2 x a3 y a4 xydxdy
将所研究区域划分为m×n个矩形子区域，计算各子区域内等高线的 总长度，再根据回归分析方法统计计算出单位面积内的等高线长度值与 坡度值之间的回归模型，然后将等高线的长度值转换成坡度值。 优点：可操作性强，不受数据量的限制，能够处理海量数据。
§7.3 坡度和坡向（5）
4、根据坡度的地面分类：
根据地形的坡度和高差对地形分类，对DEM的采样具有 特别的指导意义。可以对整个DEM采样区域根据坡度值来决 定采样的密度。
§7.1 分形基本理论（6）
数字化曲线分维估值的算法步骤：
(1) 输入曲线C：{Pi}的各点坐标； (2) 取初始步长δl，按步行构造法求取N(δ1),得到重对数坐标点 （lgδl ,lgN(δ1)）； (3) 改变步长，重复第(2)步，直到最大步长为止； (4) 对(2)、(3)步中得到的m个点（lgδl ,lgN(δ1)）利用自然裂 点法等方法求出相应的无标度域； (5) 在无标度域内用线性回归模型求出拟合直线的斜率，从而算出 分维D。
§7.2 表面积和体积（1）
地形因子：表示地形表面基本特征的量。 表面积：表示DEM对应区域上空间曲面的面积。 体积：指空间曲面与一基准平面之间的空间的容积。
一、表面积和体积的数学公式
设区域A上的表面模型函数为Z=f（x,y），如图。
则表面积计算公式为：
S 1 f f
2 x A
美丽的四季
春 • 夏
美丽的四季 （秋 ，冬 ）
§7.1 分形基本理论（2）
一、测度与分维 1、Cantor集
对[0,1]区间三等分，去掉中间一个开区间，然后对留下的两个闭区 间三等分，各自去掉中间一个开区间，此过程一直进行下去，最后留下 的点即为Cantor集，记为F。
雪花(Koch)曲线
花草wk.baidu.com木
§7.3 坡度和坡向（1）
坡度表示地表面的倾斜程度，坡向反映斜坡所面对的方向。
一、坡度：
一个点的坡度是一个既有大小又有方向的矢量。 空间曲面的坡度是点位的函数，除非曲面是一平面，否则曲面上 不同位臵的坡度是不相等的。 给定点位的坡度是曲面上该点的法线方向N与垂直方向Z之间的夹 角α，如图。
围较宽的一段为无标度域。
3、拟合误差法：取既能通过相关系数检验而回归拟合后的剩余
标准差又最小的一段为无标度域。
4、总体拟合法：对所有点作m次直线的拟合，找出总逼近误差最
小的方案。
5、自然裂点法：设图(lg-lg)上有n个点Pi(i=1,2,…,n-1),计算
线段PiPi+1的斜率ki。然后计算相邻两斜率之差，找最小的kj+1-kj,在数据 点序列中去掉Pj，并取Pj-1Pj+1的斜率为Pj-1、Pj、Pj+1三点拟合直线的斜率。 重复上述作法，直到剩下4个点。4点将曲线分成三段，中间一段对应无标 度域。
1 2 2 y
dxdy
体积公式为：
V f x, y dxdy
A
§7.2 表面积和体积（2）
二、表面积
1、三角形格网上的表面积计算
一个三角形格网对应的DEM的表面积是其单个三角形对应的表面积 之和。若三角形表面函数是线性多项式，则对应的三角形格网上的表面 是一个平面。
三角形的面积为
§7.1 分形基本理论（3）
2、 分形集的特征：
（1）F具有精细的结构，即在任意X的尺度之下，它总有 复杂的细节；（结构的精细性） （2）F是不规则的，它的整体与局部都不能用传统的几何 语言来描述；（形态的不规则性） （3）F通常具有某种自相似性，这种自相似可以是近似的 或者统计意义下的；（局部与整体的自相似性） （4）F的某种定义下的分形维数通常大于其拓扑维数；（ 维数的非整数性） （5）F常常是以非常简单的方法确定，可能由迭代过程产 生。（生成的迭代性） Cantor集是分形集，还有其他分形集，都具有上述特征。
结论：复化Simpson公式具有较高精度，且算法简单，是实际计算
中使用较为广泛的方法。
§7.2 表面积和体积（5）
三、体积
1、三角形格网的体积计算
三角形表面函数是线性多项式，对应的三角形格网上的体积为：
V ax by cdxdy
线性多项式表示的三角形格网上的体积，可用近似公式：
2、正方形格网上的坡度计算：
求地面平均坡度的方法：四块法、空间矢量分析法、拟 合平面法。 求地面最大坡度的方法：拟合曲面法、直接解法。 坡度坡向计算大都采用通常在3×3个 DEM格网窗口估算中心点单元的坡度坡向, 只是用于估算的邻接单元数和每个单元的 权重不同。 对于三角形格网，若每个格网用双 一次多项式即平面逼近，则平面上的坡度处处相等。整个三 角形格网上的坡度值可用每个格网上的坡度值的几何平均值 来表示。
S PP aP bP c
其中， 三个边长为
P a b c / 2
a b c x 2 y 2 z 2
§7.2 表面积和体积（3）
2、正方形格网上的表面积计算
一个正方形格网对应的DEM的表面积是其单个正方形对应的表面积 之和。正方形格网对应的表面积与其对应的曲面模型有关，若曲面模型 为双线性多项式，则对应的表面积公式为
lg N ( F ) dim B F lim 0 lg
实际操作中可以采用一些特殊的覆盖集，Nδ(F)可以是下列五个数 中的任何一个： (1) 覆盖F的半径为δ的最少闭球数； (2) 覆盖F的边长为δ的最少立方体数； (3) 与F相交的δ-网立方体的个数； (4) 覆盖F的直径最大为δ的集的最少个数； (5) 球心在F上，半径为δ的相互不交的球的最多个数。
第七章 三维地形分析模型
§7.1 §7.2 §7.3 §7.4 §7.5 §7.6 §7.7 分形基本理论 表面积和体积 坡度和坡向 地形起伏变化因子 曲面分维模型 剖面分析 可视化分析
§7.1 分形基本理论（1）
分形的定义：分形是一种具有自相似特性的现象、图象 或者物理过程。
在数学上说，分形是一种形式，它从一个对象——例如线段、点、三 角形——开始，重复应用一个规则连续不断地改变直至无穷。这个规则 可以用一个数学公式或者用文字来描述。
应用：表面某点的坡度比高程更有利于进行表面分析。
§7.3 坡度和坡向（6）
a a
1 1 1 3 3 a1a a2 a a3a a4 a 4 2 2 4
2
对正方形格网，可用如下体积近似公式：
V a 2 h1 h2 h3 h4 / 4
结论：表面积与体积的计算都与空间曲面拟合方式，以及实际
使用的数据结构有关。实际计算中，常采用分块计算方法。
§7.1 分形基本理论（7） 二、无标度域
对分形研究所做的尺度变换在一定范围内变动时，相应 所得长度值呈现出一定规律性，这个范围就是无标度域。如图 上的（δmin,δmax） 在无标度域内拟合的直线是良好的，对分维进行估值必 须在无标度域内进行。
§7.1 分形基本理论（8）
无标度域确定的方法：
1、人工判定法：用肉眼确定段性关系最好的区间。 2、相关系数检验法：取臵信度最高或一定臵信度下线性关系范
S dx 1 f x2 f
0 0
a
a
1 2 2 y
dy
牛顿-柯特斯法：其几何意义是用插值多项式对应的面积代替原
曲线对应的面积。 将积分区间n等分，当n=1时，得梯形公式； 当n=2时，得Simpson公式； 当n=4时，得Cotes公式。 由于当积分区间较大时，精度难以保证，所以一般先将积分区间划 分为许多小区间，然后在每个小区间上应用牛顿-柯特斯求积公式算出 积分的近似值，最后将这些值相加，这样所得的新的求积公式称为复化 求积公式。（复化梯形公式、复化Simpson公式、复化Cotes公式）
分形的研究对象：自然界中没有特征长度而又具有自相似性的形
状和现象。分形集是分形几何研究的对象。
分形集的三要素：形状、机遇、维数（在不同尺度变换下的不变
量）。分维的研究是分形几何的核心问题。
分形研究的内容：
（1）关于分形理论的研究； （2）关于分形应用的研究； （3）分形和其他科学的边缘研究。
分形欣赏
分形的维数：
相似维数：设分形 F 是自相似的，即 F 由 m 个子集构成，每个
子集放大 c 倍后同 F一样，则定义 F 的维数为
例如，对于Cantor集，
对于Koch 雪花曲线，
§7.1 分形基本理论（6）
盒维数：
设F是Rn上任意非空的有界子集，Nδ(F)是直径最大为δ、可以覆盖 F的集的最少个数（如Rn是正方形，将Rn分成边长为δ的子正方形。 Nδ(F)为子正方形中包含 F 中点的子正方形的个数）。定义 F 的盒维 数为
Mandelbrot集合局部放大
Mandelbrot集合 Mandelbrot集合
Nova分形
Newton分形
§7.1 分形基本理论（4）
3、分维估值方法
传统意义下的维数：
（传统上认为维数即为确定整个图形中点的位臵所需的坐标个数） 点是0维的，线是1维的，平面是2维的，立方体是三维的，…
§7.1 分形基本理论（5）
§7.1 分形基本理论（9）
三、线性要素分维估值
分形曲线分维估值公式：
lg N lg LD D lg 0
其中，N(δ)为用δ量测曲线所需的步数，D为分维值。
对曲线的分维D估值时，需要解决4个问题：
(1) (2) (3) (4) δ取值的范围和跨度； 给定δ后，量测曲线所需步数N(δ)如何确定； 无标度域求取； 无标度域内拟合直线斜率的求取。
§7.3 坡度和坡向（3）
拟合曲面法：以格网点为中心的一个窗口，拟合一个
曲面。通常在3×3个DEM格网窗口中进行，每个窗口中心为 高程值，如图。 基于窗口的坡度计算公式：
2 2 其中， slopewe、slope sn 分别为水平、垂直方向上的坡度。可采用不 同方法计算： 方法一：采用直接与中心单元邻接的四个单元； 方法二（Horn算法）：使用8个邻接单元，4个 直接相邻接单元的权重值为2，4个角落单元的权重 值为1； 方法三：使用8个邻接单元，4个直接相邻接单元 的权重值为 2 ，4个角落单元的权重值为1； 方法四（sharpnack算法）：使用8个邻接单元，每个单元的权重值 相同。
§7.3 坡度和坡向（4）
3、矢量数据的坡度计算：
1）基于等高线的计算方法，定义地表坡度为：
tan hl / P
其中，P为测区面积； l 为测区等高线总长度；h为等高距。 前提：量测区域内等高距相等。 结果：求出的是一个区域内坡度的平均值。 缺点：测区较大或等高距不等时，误差较大。
2）基于统计学理论的方法：
§7.2 表面积和体积（4）
3、正方形格网转化为三角形格网
将正方形格网对角划分为三角形格网，然后利用三角形格网的表面 积计算公式计算。
4、实验与分析
设定不同的DEM格网间距，分别采用正方形格网划分为三角形格网、 复化梯形公式、复化Simpson公式、复化Cotes公式计算曲面表面积，得 到结论如下： (1)从精度看：复化Simpson公式计算结果最准确，正方形格网划分 为三角形格网和复化梯形次之，而复化Cotes公式精度较低。 (2)从计算复杂度看：梯形算法最简单，其次为复化Simpson公式和 正方形格网划分为三角形格网，而复化Cotes公式最复杂。 (3)理论上：复化梯形求积法最简单，但步数太多时，累积误差会增 加；复化Cotes公式有较高精度，但只有在充分细化时，才有较高精度。
1、坡度的基本公式：
设有曲面方程Z=f（x,y），则 给定点P0（x0,y0,z0）处的坡度为：
2 x 2 y
arccos f x0 , y0 f x0 , y0 1
1 2
坡度的取值范围：0°≤ α ≤90°
平均坡度：计算格网点位上的坡度值，然后取其平均值。
§7.3 坡度和坡向（2）
A
V S z1 z2 z3 / 3
其中，S是底面面积。
另外，对于线性多项式表示的三角形 格网上的体积，可通过将其划分为三个四 体后以后精确求得。
§7.2 表面积和体积（6）
2、正方形格网的体积计算
若正方形格网的表面模型为双线性多项式，则其体积为：
V a1 a2 x a3 y a4 xydxdy
将所研究区域划分为m×n个矩形子区域，计算各子区域内等高线的 总长度，再根据回归分析方法统计计算出单位面积内的等高线长度值与 坡度值之间的回归模型，然后将等高线的长度值转换成坡度值。 优点：可操作性强，不受数据量的限制，能够处理海量数据。
§7.3 坡度和坡向（5）
4、根据坡度的地面分类：
根据地形的坡度和高差对地形分类，对DEM的采样具有 特别的指导意义。可以对整个DEM采样区域根据坡度值来决 定采样的密度。
§7.1 分形基本理论（6）
数字化曲线分维估值的算法步骤：
(1) 输入曲线C：{Pi}的各点坐标； (2) 取初始步长δl，按步行构造法求取N(δ1),得到重对数坐标点 （lgδl ,lgN(δ1)）； (3) 改变步长，重复第(2)步，直到最大步长为止； (4) 对(2)、(3)步中得到的m个点（lgδl ,lgN(δ1)）利用自然裂 点法等方法求出相应的无标度域； (5) 在无标度域内用线性回归模型求出拟合直线的斜率，从而算出 分维D。
§7.2 表面积和体积（1）
地形因子：表示地形表面基本特征的量。 表面积：表示DEM对应区域上空间曲面的面积。 体积：指空间曲面与一基准平面之间的空间的容积。
一、表面积和体积的数学公式
设区域A上的表面模型函数为Z=f（x,y），如图。
则表面积计算公式为：
S 1 f f
2 x A
美丽的四季
春 • 夏
美丽的四季 （秋 ，冬 ）
§7.1 分形基本理论（2）
一、测度与分维 1、Cantor集
对[0,1]区间三等分，去掉中间一个开区间，然后对留下的两个闭区 间三等分，各自去掉中间一个开区间，此过程一直进行下去，最后留下 的点即为Cantor集，记为F。
雪花(Koch)曲线
花草wk.baidu.com木
§7.3 坡度和坡向（1）
坡度表示地表面的倾斜程度，坡向反映斜坡所面对的方向。
一、坡度：
一个点的坡度是一个既有大小又有方向的矢量。 空间曲面的坡度是点位的函数，除非曲面是一平面，否则曲面上 不同位臵的坡度是不相等的。 给定点位的坡度是曲面上该点的法线方向N与垂直方向Z之间的夹 角α，如图。
围较宽的一段为无标度域。
3、拟合误差法：取既能通过相关系数检验而回归拟合后的剩余
标准差又最小的一段为无标度域。
4、总体拟合法：对所有点作m次直线的拟合，找出总逼近误差最
小的方案。
5、自然裂点法：设图(lg-lg)上有n个点Pi(i=1,2,…,n-1),计算
线段PiPi+1的斜率ki。然后计算相邻两斜率之差，找最小的kj+1-kj,在数据 点序列中去掉Pj，并取Pj-1Pj+1的斜率为Pj-1、Pj、Pj+1三点拟合直线的斜率。 重复上述作法，直到剩下4个点。4点将曲线分成三段，中间一段对应无标 度域。
1 2 2 y
dxdy
体积公式为：
V f x, y dxdy
A
§7.2 表面积和体积（2）
二、表面积
1、三角形格网上的表面积计算
一个三角形格网对应的DEM的表面积是其单个三角形对应的表面积 之和。若三角形表面函数是线性多项式，则对应的三角形格网上的表面 是一个平面。
三角形的面积为
§7.1 分形基本理论（3）
2、 分形集的特征：
（1）F具有精细的结构，即在任意X的尺度之下，它总有 复杂的细节；（结构的精细性） （2）F是不规则的，它的整体与局部都不能用传统的几何 语言来描述；（形态的不规则性） （3）F通常具有某种自相似性，这种自相似可以是近似的 或者统计意义下的；（局部与整体的自相似性） （4）F的某种定义下的分形维数通常大于其拓扑维数；（ 维数的非整数性） （5）F常常是以非常简单的方法确定，可能由迭代过程产 生。（生成的迭代性） Cantor集是分形集，还有其他分形集，都具有上述特征。
结论：复化Simpson公式具有较高精度，且算法简单，是实际计算
中使用较为广泛的方法。
§7.2 表面积和体积（5）
三、体积
1、三角形格网的体积计算
三角形表面函数是线性多项式，对应的三角形格网上的体积为：
V ax by cdxdy
线性多项式表示的三角形格网上的体积，可用近似公式：
2、正方形格网上的坡度计算：
求地面平均坡度的方法：四块法、空间矢量分析法、拟 合平面法。 求地面最大坡度的方法：拟合曲面法、直接解法。 坡度坡向计算大都采用通常在3×3个 DEM格网窗口估算中心点单元的坡度坡向, 只是用于估算的邻接单元数和每个单元的 权重不同。 对于三角形格网，若每个格网用双 一次多项式即平面逼近，则平面上的坡度处处相等。整个三 角形格网上的坡度值可用每个格网上的坡度值的几何平均值 来表示。
S PP aP bP c
其中， 三个边长为
P a b c / 2
a b c x 2 y 2 z 2
§7.2 表面积和体积（3）
2、正方形格网上的表面积计算
一个正方形格网对应的DEM的表面积是其单个正方形对应的表面积 之和。正方形格网对应的表面积与其对应的曲面模型有关，若曲面模型 为双线性多项式，则对应的表面积公式为
lg N ( F ) dim B F lim 0 lg
实际操作中可以采用一些特殊的覆盖集，Nδ(F)可以是下列五个数 中的任何一个： (1) 覆盖F的半径为δ的最少闭球数； (2) 覆盖F的边长为δ的最少立方体数； (3) 与F相交的δ-网立方体的个数； (4) 覆盖F的直径最大为δ的集的最少个数； (5) 球心在F上，半径为δ的相互不交的球的最多个数。
第七章 三维地形分析模型
§7.1 §7.2 §7.3 §7.4 §7.5 §7.6 §7.7 分形基本理论 表面积和体积 坡度和坡向 地形起伏变化因子 曲面分维模型 剖面分析 可视化分析
§7.1 分形基本理论（1）
分形的定义：分形是一种具有自相似特性的现象、图象 或者物理过程。
在数学上说，分形是一种形式，它从一个对象——例如线段、点、三 角形——开始，重复应用一个规则连续不断地改变直至无穷。这个规则 可以用一个数学公式或者用文字来描述。
应用：表面某点的坡度比高程更有利于进行表面分析。
§7.3 坡度和坡向（6）