黑龙江省2020年上学期大庆实验中学高三数学理开学考试试题

2
2
像交于 M,N 两点，且 M 在 y 轴上，则下列说法正确的是（ ）
A.函数 f ( x ) 的最小正周期为 2
B.函数 f ( x ) 的图像关于点 ( 5 ,0) 对称 3
C.函数 f ( x ) 在的最小正周期为 ( 5 , ) 单调递增 12 12
D.将函数 f ( x ) 的图像像左平移 后关于轴 y 对称 3
x2 1
C． f x 1
x 1
D． f x 1
x 1
5．千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结
了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落
云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在地区 A 的
记作 60, 80 ,10:20~10:40 记作80,100 .例如：10 点 04 分，记作时刻 64.
（1）估计这 600 辆车在 9:20~10:40 时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该 组区间的中点值代表）； （2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这 600 辆车中抽取 10 辆，再从这 10 辆车中随 机抽取 4 辆，设抽到的 4 辆车中，在 9:20~10:00 之间通过的车辆数为 X，求 X 的分布列与数学期望；
8．电梯有 6 位乘客，在 5 层楼房的每一层停留，如果有两位乘客从同一层出去，另两位在同一层出
去，最后两人各从不同的楼层出去，则不同的下楼方法的种类数是(
)
A.1600
B. 2700
C. 5400
D.10800
9．若 x 4 ( x 1)7 a0 a1 ( x 2) a2 ( x 2) 2 a7 ( x 2)7 , 则 a3 (
参考数据：若T N , 2 ，则 P T 0.6827 ，
P 2 T 2 0.9545 ，
P 3 T 3 0.9973 .
20．已知函数 f x ln x 2 ax a .
x
（1）若 a
1 3
时，存在
x0
1 4
,
2
，使得不等式
。
15．在平面直角坐标系 xO y 中，圆 C : ( x 1) 2 ( y 1) 2 1 ，以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极
轴，直线 l 的极坐标方程为 (0 ) ，直线 l 交圆 C 于 A, B 两点， P 为 A, B 中点.若 2
| AB | | OP | 3 ，则 = __________ .
（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻 T 服从正态分布 N , 2 ，其中 可用
这 600 辆车在 9:20~10:40 之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，
2 可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代 表），已知大年初五全天共有 1000 辆车通过该收费点，估计在 9:46~10:40 之间通过的车辆数（结果保留到整数）.
4 cos 8 sin ， P 是 C1 上一动点， O P 2O Q ， Q 的轨迹为 C 2 .
（1）求曲线 C 2 的极坐标方程，并化为直角坐标方程，
x t cos
（2）若点 M
(0,1)
，直线 l
的参数方程为
y
1
t
sin
（t
为参数），直线 l
与曲线 C 2
的交点为
A,
B
，
当 |M A | | M B | 取最小值时，求直线 l 的普通方程.
18．已知定义域为 R 的函数， f ( x ) 2 x b 是奇函数. 2 x1 a
（1）求 a ， b 的值； （2）若对任意的 t R ，不等式 f (t 2 2t ) f (2t 2 k ) 0 恒成立，求实数 k 的取值范围.
第 II 卷（非选择题 共 90 分)
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
D．
5 2
，14 3
13．已知 f ( x) 是定义在 R 上的周期为 3 的奇函数，且 f ( 2 ) 2 f (8) 1 ，则 f (2020) 的值_____.
14．设负数 z1 ， z 2 满足 z1 z2 2, z1 z2 3 i ，则 z1 z 2
家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件 A＝“4 个医疗小组去的国家各不相同”，事件 B
＝“小组甲独自去一个国家”，则 P（A|B）＝（ ）
A． 2 9
B． 1 3
C． 4 9
D． 5 9
7．函数
f (x)
A cos ( x )(
0,
) ，的部分图像如图所示，图中圆 C
与
f ( x ) 的图
16.已知定义在 (0, ) 上的函数 f ( x ) 的导函数 f ( x ) 满足 x 2 f ( x ) xf ( x ) ln x, f (e) 1 ，则不等 e
式 f ( x ) e x 1 的解集是____. e
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分
17．以直角坐标系 xoy 的原点为极坐标系的极点，x 轴的正半轴为极轴.已知曲线 C1 的极坐标方程为
（2）若 f ( x) 1 ，求 a 的取值范围．
22．已知函数 f ( x ) ln x x sin x
（1）证明：
f
( x)
在区间
2
，
上存在唯一的零点
（2）证明：对任意 x 0, ，都有 f ( x ) 2 x ln x x (1 sin x )
黑龙江省 2020 年上学期大庆实验中学高三数学理开学考试试题
第 I 卷（选择题)
一、单选题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分
1.“ a 2 ”是“函数 f ( x ) | x a | 在 ( ,1] 上单调递减”的( )。
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件
D、既不充分也不必要条件
f
x0
c
0
成立，求 c
的最小值；
（2）若 f ( x) 在 (0, ) 上是单调函数，求 a 的取值范围.（参考数据 e 2 7.389.e3 20.08 ）
21．已知函数 f ( x) ae x1 ln x ln a ． （1）当 a e 时，求曲线 y f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
A． 1 3e 2
B． 1 6e2
C． 1 6e 2
D． 1 3e 2
12．设函数
f
(x)
2x
3x 5 x2
x
a ，若曲线 y
cos
x 上存在点 ( x0 , y0 ) ，使得
f
(
f
( y0 ))
y0 ，
则实数 a 的取值范围为（
）
A．
13 5
,
3 2
B．
3 2
，5 2
C．
3 2
，14 3
2．如果消息
A
发生的概率为 P ( A)
，那么消息
A
所含的信息量为 I ( A)
log 2
1 P ( A)
，若王教授正在
一个有 4 排 8 列座位的小型报告厅里听报告，则发布的以下 4 条消息中，信息量最大的是（ ）
A．王教授在第 4 排 B．王教授在第 4 排第 5 列 C．王教授在第 5 列 D．王教授在某一排
19．2019 年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”某路桥公司为掌握春节 期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了大年初三上午 9:20~10:40 这一时间段内通过 的车辆数，统计发现这一时间段内共有 600 辆车通过该收费点它们通过该收费点的时刻的频率分布
直方图如下图所示，其中时间段 9:20~9:40 记作区间 20, 40 ，9:40~10:00 记作 40, 60 ，10:00~10:20
3．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预
测，于是有了以下对话：老师甲：“7 班男生比较壮，7 班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得 14 班比
15 班强，14 班名次会比 15 班靠前”．老师丙：“我觉得 7 班能赢 15 班”．
最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中
D．出现“日落云里走”，有 99.9% 的把握认为夜晚会下雨
P （ K 2 k0 ）
0.0 0.10
5
0.0 0.00 10 1
2.70 3.8 6.6 10.8
k0
6
41 35 28
6．2020 年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医
疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有 4 个需要援助的国
只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为(
)
A．7 班、14 班、15 班 B．14 班、7 班、15 班 C．14 班、15 班、7 班 D．15 班、14 班、7 班
4．我们从这个商标 中抽象出一个图像如图，其对应的函数可能是(
)
A. f x 1
x2 1
B． f x 1
)
A． 8
B． 3 5
C． 4 3
D． 2 7
10．已知函数
f
(x)
ex
1
kx
取值源自文库围是( )
x0 x0
若存在非零实数 x0 ，使得 f ( x0 ) f ( x0 ) 成立，则实数 k 的
A． , 1
B． ,1
C． 1, 0
D． 1, 0
11．若存在 a 0 ，使得函数 f ( x) 6a 2 ln x 与 g ( x) x 2 4ax b 的图象在这两个函数图象的公共 点处的切线相同，则 b 的最大值为（ ）
100 天日落和夜晚天气，得到如下 2 2 列联表：
并计算得到 K 2 19.05 ，下列小波对地区 A 天气判断不正确的是（ ）
A．夜晚下雨的概率约为 1 2
B．未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为 5 14
C．有 9 9 .9 % 的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关