高中数学必修一函数概念定义域值域教学方案

高中数学必修一函数概念定义域值域

教学方案

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2020年4月19日

函数的概念

函数的定义：

设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作)(x f y =， x ∈A

其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域.

对函数概念的理解需注意以下几点：

①函数首先是两个数集之间建立的对应，A 、B 都是非空数集，因此定义域（或值域）为空集的函数不存在。

②对于x 的每一个值，按照某种确定的对应关系f ，都有唯一的y 值与它对应，这种对应应为数与数之间的一一对应或多一对应

③认真理解()x f y =的含义：()x f y =是一个整体，()x f y =并不表示f 与x 的乘积，它是一种符号，它能够是解析式，也能够是图像，也能够是表格 ④函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f . 【例1】判断下列对应能否表示y 是x 的函数：

（1）x

y =；（2）x y =；（3）2x y =；（4）x y =2；（5）122=+x y ；（6）

122=-x y 。

【练1】判断下列图象能表示函数图象的是（ ）

区间的概念和记号

设a,b ∈R ,且a

①满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； ②满足不等式a

③满足不等式a ≤x

这里的实数a 和b 叫做相应区间的端点.

在数轴上，这些区间都能够用一条以a 和b 为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点：

定 义 名 称 符 号 数 轴 表 示

{x|a ≤x ≤b }

闭区间

[a ，

b]

{x|a

开区间

(a ，

b)

{x|a ≤x

[a ，

b]

{x|a

(a ，b)

这样实数集R 也可用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负

x

y 0 (A

x

y 0 (D

x

y 0 (C)

x

y

(B

无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x≥a，x>a，x≤b，x

注意：书写区间记号时：

①有完整的区间外围记号（上述四者之一）；

②有两个区间端点，且左端点小于右端点；

③两个端点之间用“，”隔开.

④无穷大是一个符号，不是一个数

⑤以“-∞”或“+∞”为区间一端时，这一端必须是小括号。

【练】试用区间表示下列实数集：

（1）{x|5≤x<6}；（2）{x|x≥9} ；（3）{x|x≤-1}∩{x|-5 ≤x<2}；（4）{x|x<-9}∪{x|9

函数的三要素：定义域、对应关系和值域

函数的定义域：

函数的定义域是自变量x的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义的或使实际问题有意义的x的取值范围

函数y=f(x)的定义域的求法：

①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；

②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；

③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集

合；

④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；

⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.如为半径r 与圆面积S 的函数关系为S=πr 2的定义域为{r ︱r>0} ⑥)(x f =x 0的定义域是{x ∈R ︱x ≠0}

注意：列不等式（组）求函数的定义域时，考虑问题要全面，要把所有制约自变量取值的条件都找出来。

【例1】求下列函数的定义域： ① 21)(-=

x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x

x x f -++=211)(.

【练1】求下列函数的定义域：

（1）

()

4

22--=x x x f （2）()f x =

（3） y （4）x

x x y -+=||)1(0

表示式中参数求法：根据定义域或其它的条件找到参数应满足的条件或表示式，从而求出相应参数的取值范围。

【例1】若函数a

ax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围

【练1】已知函数()f x =的定义域为R ，求实数k 的范围

复合函数