莫尔应力圆

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2

2 这表明:在σ 3=30kPa的条件下,该点如处
于极限平衡,则最大主应力为90kPa。 故可判断该点已破坏。
3.3 壁面最大主应力方向
库仑粉体:
C C
t
IYE
粉体在壁面处的滑移
WYF
B
条件在(σ,τ)坐标中
也是直线:WYF;壁
A
Φ D C WYE IYF
s
面粗糙时, WYF与
Christian Otto Mohr (1835-1918)
2、研究内容 研究粉体体内任一微小单元体的应力状态。
1)主应力与主应力面
2)主应力相互正交 3)任意一面上:正应力和剪应力 一点应力状态的表示方法:???
◇任意斜面上的应力
在微元体上取任一截面,与大主应力面即水平面成角,斜 面上作用法向应力和剪应力。现在求、与1、3之间的关 系。 取厚度为1,按平面问题计算。根据静力平衡条件与竖向合 力为零。
3.2 莫尔-库仑定律
莫尔最初提出的强度理论,认为材料破坏是剪
切破坏,在破坏面上τ f=f(σ ),由此函数关系所
定的曲线,称为莫尔破坏包络线。1776年,库仑 总结出粉体(土)的抗剪强度规律。 库仑定律是莫尔强度理论的特
例。此时莫尔破坏包线为一直
线。以库仑定律表示莫尔破坏包络 线的理论称莫尔—库仑破坏定律。
1 sin i 1 sin i P yy B gy K P B gy 1 sin i 1 sin i
c=0
3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
1 sin i KP 1 sin i
Kp-朗肯被动应力系数,简称被动态系数
Molerus I 类粉体:KP是临界流动状态时, 最大主应力与最小主应力之比。被动态应 力σP与主动态应力σA之比等于
1 sini 2 P KP ( ) A K A 1 sini
3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
朗肯主动应力状态 朗肯被动应力状态
3.5 粉体应力计算
3.5.1 詹森(Janssen)公式
粉体的极限平衡条件
τ τ=τf 极限平衡条件 莫尔-库仑破坏准 则
f c tg
D A B
O
σ
剪切破坏面
极限应力圆 破坏应力圆
3.2 莫尔-库仑定律
临界流动状态或流动状 态时,两个滑移面:S 和 S’ 滑移面夹角90-φi 滑移面与最小主应力面 夹角45 -φi/2,与最 大主应力面夹角45 +φi/2
3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
朗肯主动应力状态 朗肯被动应力状态
3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
被动土压
主动土压
3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
yy B gy
朗肯主动应力状态,根据莫尔-库仑定律为
A p RA c cot i p (1 sin i ) c cot i
3.2 莫尔-库仑定律
Molerus Ⅰ类粉体:初始抗剪强度为零的粉体 Molerus Ⅱ类粉体:初始抗剪强度不为零,但与 预压缩应力无关的粉体 Molerus Ⅲ类粉体:初始抗剪强度不为零,且与 预压缩应力有关的粉体,内 摩擦角也与预应力有关
C C
总 结
⑴粉体的抗剪强度随该面上的正应力的大小而变 f tan c f tan ⑵粉体的强度破坏是由于粉体中某点的剪应力达到粉体的抗剪 强度所致(τ =τ f);
tani c
库仑粉体:符合库仑定律的粉体
C C
粉体流动和临界流动的充要条件,临界流动条件在
(σ,τ)坐标中是直线:IYF
莫尔-库仑定律:粉体内任一点的莫尔应力圆在
IYF的下方时,粉体将处于静止状态;粉体内某一
点的莫尔应力圆与IYF相切时,粉体处于临界流动 或流动状态
3 粉体静力学
3.1 莫尔应力圆 3.2 莫尔库仑定律 3.3 壁面最大主应力方向 3.4 朗肯应力状态 3.5 粉体应力计算
3.1 莫尔应力圆
一、粉体的应力规定
粉体内部的滑动可沿任何一个面发生,只要该面上的
剪应力达到其抗剪强度。
xx xy xz yx yy yz zx zy zz
莫尔圆半径:p*sinφ
3.2 莫尔-库仑定律
最大主应力
1 p (1 sin i ) c cot i
最小主应力
3 p (1 sin i ) c cot i
xx p R cos2 c cosi p (1 sin i cos2 ) c cot i
体单元)所处状态的最常用或
最基本的准则。
莫尔圆与抗剪强度线间的位置关系:
1.莫尔圆位于抗剪强度线的下方; 2.抗剪强度线与莫尔圆在S点相切; 3.抗剪强度线与莫尔圆相割。
τ-σ线为直线a: 处于静止状态 τ-σ线为直线b: 临界流动状态/流 动状态 τ-σ线为直线c: 不会出现的状态
3.2 莫尔-库仑定律
① 莫尔圆 Ⅰ位于破坏包络线 IYF 的下方 ,说明该点在任 何平面上的剪应力都小于极 限剪切应力 ,因此不会发生 剪切破坏;
② 莫尔圆Ⅱ与破坏包络线 IYF相切 ,切点为 A ,说明 在 A 点所代表的平面上,剪 应力正好等于极限剪切应力 , 该点就处于极限平衡状态。 圆Ⅱ称为极限应力圆;
③破坏包络线 IYF是摩尔பைடு நூலகம் Ⅲ的一条割线,这种情况是不存在的,因为该 点任何方向上的剪应力都不可能超过极限剪切应力 。
1 sin i 1 sin i A yy B gy K A B gy 1 sin i 1 sin i
3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
1 sin i KA 1 sin i
KA-朗肯主动应力系数,简称主动态系数 Molerus I 类粉体: KA是临界流动状态时, 最小主应力与最大主应力之比
粉体主要承受压缩作用,粉体的正应力规定压应力为
正,拉应力为负;切应力是逆时针为正,顺为负。
二、莫尔应力圆
1、为什么叫莫尔圆 ( Mohr’s Circle ) ?
首先由Otto Mohr(1835-1918)提出( 一位工程师)
来由—— 一点无穷多个微元上的应力 能否在一张图上表示? 把看成参数,能否找到 与
IYF接近重合。
3.3 壁面最大主应力方向
若壁面应力状态对应A点:
2 180 ( )
若壁面应力状态对应B点:
2 360 ( )
若壁面应力状态对应C点:
2 w w
3.3 壁面最大主应力方向
若壁面应力状态对应D点:
2 w 180 ( w ) R sin p sin R p sin i sin sin sin i

1 3
◇用摩尔应力圆表示斜面上的应力 由前两式平方并相加,整理得
(
1 3
2
) (
2 2
1 3
2
)2
在στ坐标平面内,粉体单元体的应力状态的轨迹是一个
圆,圆心落在σ轴上,与坐标原点的距离为(σ1+ σ3)/2,半 径为(σ1- σ3)/2, 该圆就称为莫尔应力圆。 莫尔应力圆圆周上的任意点,都代表着单元粉体中相应 面上的应力状态。
二 莫尔-库仑定律 根据这一准则,当粉体 把莫尔应力圆与库仑抗 处于极限平衡状态即应理
剪强度定律互相结合起来。
通过两者之间的对照来对粉 体所处的状态进行判别。把 莫尔应力圆与库仑抗剪强度 线相切时的应力状态,破坏 状态—称为莫尔-库仑破坏 准则,它是目前判别粉体(粉
解为破坏状态,此时的莫
尔应力圆即称为极限应力 圆或破坏应力圆,相应的 一对平面即称为剪切破坏 面(简称剪破面)。
①莫尔圆是一种作图法
②将粉体层内任意点的正应力和剪应力的公式整理后 可得一圆的方程。该圆即为莫尔应力圆。
的函数关系?
Mohr 1835 年生于德国, 16 岁入 Hannover 技术学院学习。毕业后,在铁路工作,作为结构工 程师,曾设计了不少一流的钢桁架结构和德国一些 最著名的桥梁。他是 19 世纪欧洲最杰出的土木工 程师之一。与此同时, Mohr也一直在进行力学和 材料强度方面的理论研究工作。 1873 年 , Mohr 到德累斯顿 (Dresden) 技术学院任教,直到1900 年他 65 岁时。退休后 , Mohr留在德累斯顿继续 从事科学研究工作直至 1918 年去世。 Mohr 提出了用应力圆表示一点应力的方法 (所以应力圆也被成为 Mohr 圆),并将其扩展到 三维问题。应用应力圆,他提出了第一强度理论。 Mohr 对结构理论也有重要的贡献,如计算梁挠度 的图乘法、应用虚位移原理计算超静定结构的位移 等。
y 0 cos ds sin ds
1 3
2 2
x 0 sin ds cos ds
1 3
2 sin 2 cos 2
3
sin ds 0
1
cos ds 0
⑸根据莫尔—库仑强度理论可建立粉体体极限平衡条件。
【例题】某砂土地基的ф =30°,C=0,若在均布条形 荷载p作用下,计算土中某点σ 1=100kPa,σ 3=30kPa ,问该点是否破坏(你可以用几种方法来判断?) 【解】用四种方法计算。 ⑴σ 3、Φ 、c→σ 1:
1 3 tan (45 ) 30 tan 2 60 90kPa 100kPa
* A * A
3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
A p RA c cot i p (1 sin i ) c cot i
* A * A
yy p (1 sin i ) c cot i
* A
P49(3-17) P49(3-16)
3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
朗肯被动应力状态,根据莫尔-库仑定律为
P p (1 sin i ) c cot i
* P
yy p (1 sin i ) c cot i
* P
1 sin i cos i P yy 2c 1 sin i 1 sin i
A p RA c cot i p (1 sin i ) c cot i
* A * A
yy p (1 sin i ) c cot i
* A
1 sin i cos i A yy 2c 1 sin i 1 sin i
c=0
3.2 莫尔-库仑定律
粉体处于临界流动状态或流动状态时, 任意点的应力
xx p R cos2 c cosi p (1 sin i cos2 ) c cot i
yy p (1 sin i cos 2 ) c cot i
yx xy R sin 2 p sin i sin 2
库仑
(C. A. Coulomb)
(1736-1806)
法国军事工程师 在摩擦、电磁方面 奠基性的贡献
1773年发表土压力 方面论文,成为经 典理论。
3.2 莫尔-库仑定律
一、粉体的抗剪强度规律 库仑定律 对于非粘性粉体 τ =σ tgφ i 对于粘性粉体 τ = c +σ tgφ i
⑶破裂面不发生在最大剪应力作用面 (a =45°,该面上的抗剪 强度最大)上,而是在应力圆与强度包线相切点所代表的截面上 ,即与大主应力面成交角的斜面上。 0 45 / 2
⑷如果同一种土有几个试样在不同的大、小主应力组合下受剪破坏,可得几 个莫尔极限应力圆,这些应力圆的公切线就是其强度包线。前已指出,库仑 强度包络线可视为一直线。
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