16.2 动量和动量定理(解析版)

16.2动量和动量定理
学习目标
1．理解动量和冲量的概念，知道动量和冲量是矢量。

2．知道动量的变化也是矢量，会正确计算一维的动量变化。

3．掌握动量定理，并会应用它解决实际问题。

重点：动量定理的理解和应用。

难点：应用动量定理解决实际问题。

知识点一、动量
1．定义：运动物体的质量和它的速度的乘积叫做物体的动量。

2．表达式：p＝mv。

单位，千克米每秒，符号kg·m·s－1。

3．方向：动量是矢量，它的方向与速度的方向相同。

4．对动量的理解
（1）动量是状态量：求动量时要明确是哪一物体在哪一状态（时刻）的动量，p＝mv中的速度v是瞬时速度。

动量包含了“参与运动的物质”与“运动速度”两方面的信息，反映了由这两方面共同决定的物体的运动状态，具有瞬时性。

速度也是个状态量，但它是个运动学概念，只反映运动的快慢和方向，而运动，归根结底是物质的运动，没有了物质便没有运动.显然地，动量包含了“参与运动的物质”和“运动速度”两方面的信息，更能从本质上揭示物体的运动状态，是一个动力学概念。

（2）动量的矢量性：动量的方向与物体的瞬时速度的方向相同，有关动量的运算，如果物体在一条直线上运动，则选定一个正方向后，动量的矢量运算就可以转化为代数运算了。

（3）动量的相对性：指物体的动量与参考系的选择有关，选不同的参考系时，同一物体的动量可能不同，通常在不说明参考系的情况下，物体的动量是指物体相对地面的动量。

（4）动量与速度的区别和联系
①区别：速度描述物体运动快慢和方向；动量在描述物体运动方面更进一步，更能体现运动物体的作用效果。

②联系：动量和速度都是描述物体运动状态的物理量，都是矢量，动量的方向与速度方向相同，p＝mv。

（5）动量和动能的的区别和联系
动量和动能都是描述物体运动状态的物理量，运动物体在某一时刻既有动量又有动能．由于动量p＝
mv，动能E k＝1
2mv2，因此可知它们的联系是p＝2mE k或E k＝p2
2m。

其重要区别是：①动量是矢量，动能是
标量。

对确定物体来说，其动量变化[动量的大小或（和）方向发生变化]时，动能不一定变化（动量大小不变时，动能不变化）；动能变化（速度大小改变）时，动量一定变化。

②动能的变化与力的功相联系，动量的变化与力的冲量相联系。

动量动能
物理意义描述机械运动状态的物理量
定义式p＝mv E k＝1
2 mv2
标矢性矢量标量
变化决定因素物体所受冲量外力所做的功
换算关系p＝2mE k，E k＝p2 2m
5．意义：我们用动量来描述运动物体所能产生的机械效果强弱以及这个效果发生的方向，动量的大小等于质量和速度的乘积，动量的方向与速度方向一致。

【题1】关于动量的概念，下列说法正确的是
A．运动物体在任一时刻的动量方向，一定是该时刻的速度方向
B．物体的加速度不变，其动量一定不变
C．动量越大的物体，其速度一定越大D．物体的动量越大，其惯性也越大
【答案】A
【解析】本题侧重于准确理解动量概念，动量具有瞬时性，任一时刻物体的动量方向，即为该时刻的速度方向，选项A正确。

加速度不变，则物体的速度的变化恒定，而运动的速度均匀变化，故其动量也均匀变化，选项B错误，物体的动量大小由物体质量及速度大小共同决定，故物体的动量越大，其速度不一定越大，选项C错误。

惯性由物体质量决定，物体的动量越大，其质量并不一定越大，惯性也不一定越大，故选项D错误。

【题2】下列关于动量的说法中正确的是
A．质量大的物体动量一定大
B．质量和速率都相同的物体的动量一定相同
C．一个物体的速率改变，它的动量不一定改变
D．一个物体的运动状态变化，它的动量一定改变
【答案】D
【解析】根据动量的定义p＝mv，它由速度和质量共同决定，故A错；又因动量是矢量，它的方向与速度方向相同，而质量和速率都相同的物体，其动量大小一定相同，方向不一定相同，故B错；一个物体速率改变则它的动量大小一定改变，故C错；物体的运动状态变化指速度发生变化，它的动量也就发生了变化，故D对。

【特别提醒】动量是矢量，比较两个物体的动量时，不能仅比较大小，也应比较方向，只有大小相等、方向相同的两个动量才能相等。

知识点二、动量的变化量
1．动量的变化：因为p＝mv，是矢量，只要m的大小，v的大小和v的方向三者中任何一个发生了变化，动量p就发生变化。

2．动量的变化量
（1）定义：物体在某段时间内末动量与初动量的矢量差（也是矢量），Δp＝p'－p。

（2）Δp＝p'－p，此式为矢量式，若p'、p不在同一直线上时，要用平行四边形定则（或矢量三角形定
则）矢量差，若在同一直线上，先规定正方向，再用正、负表示p、p'，可用Δp＝p'－p＝mv－mv0进行代数运算求解。

动量变化Δp是矢量。

方向与速度变化量Δv相同。

（3）动量改变有三种情况：①动量的大小和方向都发生变化，对同一物体而言p＝mv，则物体的速度的大小和方向都发生变化；
②动量的方向改变而大小不变，对同一物体来讲，物体的速度方向发生改变而速度大小没有变化，如匀速圆周运动的情况；
③动量的方向没有发生变化，仅动量的大小发生变化，对同一物体来说，就是速度的方向没有发生变化，仅速度的大小改变。

【题3】关于动量的变化，下列说法正确的是
A．做直线运动的物体速度增大时，动量的增量Δp的方向与运动方向相同
B．做直线运动的物体速度减小时，动量的增量Δp的方向与运动方向相反
C．物体的速度大小不变时，动量的增量Δp为零
D．物体做曲线运动时，动量的增量一定不为零
【答案】ABD
【解析】当运动物体的速度增大时，其末态动量p2大于初态动量p1，由矢量的运算法则可知Δp＝p2－p1>0，与物体运动方向相同。

如图a所示，所以A选项正确。

当物体速度减小时，p2<p1，如图b所示，Δp与p1或p2方向相反，B选项正确。

当物体的速度大小不变时，其方向可能变化，也可能不变化，动量可能不变化即Δp＝0，也可能动量大小不变而方向变化，此种情况Δp≠0，C选项不正确。

当物体做曲线运动时，动量的方向变化，即动量一定变化，Δp一定不为零，如图c所示，故D选项正确。

【题4】2016年里约奥运会足球比赛中，一足球运动员踢一个质量为0.4kg 的足球。

（1）若开始时足球的速度是4m/s ，方向向右，踢球后，球的速度为10m/s ，方向仍向右，则足球的初动量p ＝____，方向______，足球的末动量p '＝_____，方向______；在这一过程中足球动量的改变量Δp ＝________，方向________。

（2）若足球以10m/s 的速度撞向球门门柱，然后以3m/s 速度反向弹回，则这一过程中足球的动量改变量是________，方向________；动能改变量是________。

【答案】（1）1.6kg·m/s ，方向向
4kg·m/s ，方向向右 2.4kg·m/s ，方向向右（2）5.2kg·m/s 方向向
左18.2J
【解析】（1）取向右为正方向，初、末动量分别为p ＝mv ＝0.4×4kg·m/s ＝1.6kg·m/s ，方向向右
p ′＝mv ′＝0.4×10kg·m/s ＝4kg·m/s ，方向向右
动量的改变量为Δp ＝p ′－p ＝2.4kg·m/s ，方向向右。

（2）取向右为正方向，初、末动量分别为p 1＝mv ′＝0.4×10kg·m/s ＝4kg·m/s ，方向向右
p 2＝mv ″＝0.4×（－3）kg·m/s ＝－1.2kg·m/s ，方向向左，
动量的改变量为Δp ′＝p 2－p 1＝－5.2kg·m/s ，负号表示方向向左。

ΔE k ＝12mv ′2－12
mv ″2＝18.2J 。

【题5】质量为0.1kg 的小球从1.25m 高处自由落下，与地面碰撞后反弹回0.8m 高处。

取竖直向下为正方向，且g ＝10m/s 2。

求：
（1）小球与地面碰前瞬间的动量；
（2）球与地面碰撞过程中动量的变化。

【答案】（1）0.5kg·m/s （2）0.9kg·m/s 方向竖直向上【解析】（1）设小球从1.25m 高处自由落下碰地前瞬间的速率为v 1，则有v 21＝2gh 1，
得到v 1＝2gh 1＝2×10×1.25m/s ＝5m/s ，
所以小球与地面碰前瞬间的动量p 1＝mv 1＝0.1×5kg·m/s ＝0.5kg·m/s 。

（2）设小球碰地后瞬间的速率为v 2，则有v 22＝2gh 2，
得到v2＝2gh2＝2×10×0.8m/s＝4m/s.
则小球与地面碰撞过程中动量的变化为：
Δp＝－mv2－mv1＝－0.1×（5＋4）kg·m/s＝－0.9kg·m/s，负号表示方向竖直向上。

知识点三、冲量
1．定义：力与力作用时间的乘积叫力的冲量。

2．表达式：I＝Ft。

单位，在国际单位制中是“牛顿·秒”，符号“N·s”。

3．方向：冲量是矢量，冲量的方向与力的方向一致，冲量的方向跟动量变化的方向一致。

4．对冲量的理解
（1）冲量是过程量：冲量描述的是作用在物体上的力对时间的积累效应，与某一过程相对应。

（2）冲量的矢量性：冲量是矢量，在作用时间内力的方向不变时，冲量的方向与力的方向相同，如果力的方向是变化的，则冲量的方向与相应时间内物体动量变化量的方向相同。

（3）冲量的绝对性：冲量仅由力和时间两个因素决定，具有绝对性。

5．冲量的计算
（1）单个力的冲量：利用公式I＝Ft计算。

（2）合力的冲量：①如果是一维情形，可以化为代数和，如果不在一条直线上，求合冲量遵循平行四边形定则。

②两种方法：可分别求每一个力的冲量，再求各冲量的矢量和；另外，如果各个力的作用时间相同，也可以先求合力，再用公式I合＝F合·Δt求解。

③变力的冲量：用动量定理列式求解。

【特别提醒】①冲量是矢量，求冲量的大小时一定要注意是力与其对应的时间的乘积。

②判断两个力的冲量是否相同，必须满足冲量的大小和方向都相同，缺一不可。

【题6】关于冲量，下列说法正确的是
A．冲量是物体动量变化的原因B．作用在静止的物体上的力的冲量一定为零
C．动量越大的物体受到的冲量越大D．冲量的方向就是物体运动的方向
【答案】A
【解析】力作用一段时间便有了冲量，而力作用一段时间后，物体的运动状态发生了变化，物体的动量也发生了变化，因此说冲量使物体的动量发生了变化，A选项正确；只要有力作用在物体上，经历一段时间，这个力便有了冲量I＝Ft，与物体处于什么状态无关，物体运动状态的变化情况，是所有作用在物体上的力共同产生的效果，所以B选项不正确；物体所受冲量I＝Ft与物体动量的大小p＝mv无关，C选项不正确；冲量的方向与物体运动的方向无关，故D选项不正确。

【题7】如图所示，两个质量相同的物体从同一高度沿倾角不同的两个光滑斜面由静止滑下，到达斜面底端的过程中，两物体相同的物理量为
A．重力的冲量B．弹力的冲量
C．合外力的冲量D．动量改变量的大小
【答案】D
【解析】由机械能守恒定律知两物体滑到斜面底端时速度的大小相等，故选项D正确；速度的方向不同，故C错；由动量的定义式I＝F·Δt知A，B错。

故选D。

【题8】运动员向球踢了一脚，如图，踢球时的力F＝100N，球在地面上滚动了t＝10s停下来，则运动员对球的冲量为
A．1000N·s B．500N·s C．零D．无法确定
【答案】D
【解析】滚动了t＝10s是地面摩擦力对足球的作用时间。

不是踢球的力的作用时间，由于不能确定人
作用在球上的时间，所以无法确定运动员对球的冲量。

知识点四、动量定理
1．内容：物体在一个过程始末动量的变化量等于它在这个过程中所受力的冲量。

2．表达式：mv′－mv＝F（t′－t）或p′－p＝I。

3．动量定理的应用：碰撞时可产生冲击力，要增大这种冲击力就要设法减少冲击力的作用时间。

要防止冲击力带来的危害，就要减小冲击力，设法延长其作用时间。

4．对动量定理的理解
（1）动量定理反映了合外力的冲量是动量变化的原因。

（2）动量定理的表达式是矢量式，它说明合外力的冲量跟物体动量变化量不仅大小相等，而且方向相同。

运用动量定理主要是一维的问题，要注意正方向的规定。

（3）动量的变化率和动量的变化量：由动量定理可以得出F＝p′－p
t，它说明动量的变化率决定于物体
所受的合外力。

而由动量定理I＝Δp知动量的变化量决定于合外力的冲量，它不仅与物体的受力有关，还与力的作用时间有关。

5．动量定理的应用
（1）应用动量定理FΔt＝Δp定性解释常见物理现象。

由上式可以看出如果保持Δp一定，则力作用的时间越短，冲力就越大。

因此在需要增大作用力时，可尽量减少作用的时间，如打击、碰撞等由于作用时间短、作用力往往较大。

反之，作用时间越长，力F就越小，因此在需要减小作用力的时候，可想办法延长力的作用时间，如利用海棉或弹簧的缓冲作用来延长作用时间，达到减小作用力的目的。

（2）应用I＝Δp求变力的冲量。

如果物体受到大小、方向不变的力的作用，既可以应用FΔt求力的冲量，也可以应用物体动量改变Δp 的大小和方向来替代力的冲量。

如果物体受到大小、方向改变的力的作用，则不能直接用FΔt求变力的冲量，这时可以求在该力冲量
作用下物体动量改变Δp的大小和方向，替代变力的冲量。

6．应用动量定理解题的一般步骤
（1）选定研究对象，明确运动过程。

（2）进行受力分析和运动的初、末状态分析。

（3）选定正方向，根据动量定理列方程求解。

【题9】用0.5kg的铁锤把钉子钉进木头里，打击时铁锤的速度v＝4.0m/s，如果打击后铁锤的速度变为0，打击的作用时间是0.01s，那么：
（1）不计铁锤受的重力，铁锤钉钉子的平均作用力是多大？
（2）考虑铁锤受的重力，铁锤钉钉子的平均作用力又是多大？（g取10m/s2）
（3）比较（1）和（2），讨论是否要计铁锤的重力。

【【答案】（1）200N（2）205N（3）见解析
【解析】（1）以铁锤为研究对象，不计重力时，只受钉子的作用力，方向竖直向上，设为F1，取竖直
向上为正，由动量定理可得F1t＝0－mv所以F1＝－0.5×－4.0
0.01
N＝200N，方向竖直向上。

由牛顿第三定律知铁锤钉钉子的作用力为200N，方向竖直向下。

（2）若考虑重力，设此时受钉子的作用力为F2，对铁锤应用动量定理，取竖直向上为正。

（F2＋mg）t＝0－mv（矢量式）
F2＝－5×－4.0
0.01
N－0.5×（－10）N＝205N，方向竖直向上。

由牛顿第三定律知，此时铁锤钉钉子的作用力为205N，方向竖直向下。

（3）比较F1与F2，其相对误差为|F2－F1|
F1
×100%＝2.5%，可见本题中重力的影响可忽略。

【题10】古时有“守株待兔”的寓言，设兔子的头部受到大小等于自身体重的打击力时即可致死。

若兔子与树桩发生碰撞，作用时间为0.2s，则被撞死的兔子的奔跑的速度可能是
A．1m/s B．1.5m/s C．2m/s D．2.5m/s
【答案】CD
【解析】根据题意建立模型，设兔子与树桩的撞击力为F，兔子撞击后速度为零，根据动量定理有Ft
＝mv，所以v＝Ft
m＝
mgt
m＝gt＝10×0.2m/s＝2m/s。

【题11】从高处跳到低处时，为了安全，一般都要屈腿，如图所示，这样做是为了
A．减小冲量B．减小动量的变化量
C．增大与地面的冲击时间，从而减小冲力D．增大人对地面的压强，起到安全作用
【答案】C
【解析】人落地动量变化一定，屈腿下蹲延缓了人落地时动量变化所用的时间，依动量定理可知，这样就减小了地面对人的冲力，故C正确。

【题12】质量为0.2kg的小球竖直向下以6m/s的速度落至水平地面，再以4m/s的速度反向弹回，取竖直向上为正方向，则小球与地面碰撞前后的动量变化为______kg·m/s。

若小球与地面的作用时间为0.2s，则小球受到地面的平均作用力大小为________N（取g＝10m/s2）。

【答案】2kg·m/s12N
【解析】以竖直向上为正方向，则v′＝4m/s，v＝－6m/s，
所以小球与地面碰撞前后的动量变化为：Δp＝mv′－mv＝[0.2×4－0.2×（－6）]kg·m/s＝2kg·m/s。

根据动量定理，得（F－mg）t＝Δp，
所以平均作用力F＝Δp
t＋mg＝
2
0.2
N＋0.2×10N＝12N。

流体的动量变化问题
对于“变质量”和“连续”的流体的动量变化问题，因涉及的流体的特点是连续性和变质量，因此解决该类问题的关键是研究对象的选取。

一般要选用一段时间Δt内流出的流体为研究对象，其长度为v·Δt，流体截面积为S，则流体体积V＝Sv·Δt，故液柱的质量Δm＝ρ·ΔV＝ρ·S·vΔt，再对质量为Δm的液柱应用动量定理求解。

【题13】一宇宙飞船以v＝1.0×104m/s的速度进入密度为ρ＝2.0×10－7kg/m3的微陨石流中，如果飞船在垂直于运动方向上的最大截面积S＝5m2，且认为微陨石与飞船碰撞后都附着在飞船上．为使飞船的速度保持不变，飞船的牵引力应增加多大？
【答案】100N
【解析】设t时间内附着在飞船上的微陨石总质量为Δm，则Δm＝ρSvt①
这些微陨石由静止至随飞船一起运动，其动量增加是受飞船对其作用的结果，由动量定理有Ft＝Δp＝Δmv②
则微陨石对飞船的冲量大小也为Ft，为使飞船速度保持不变，飞船应增加的牵引力为ΔF＝F③综合①②③并代入数值得ΔF＝100N，即飞船的牵引力应增加100N。

【题14】水力采煤时，用水枪在高压下喷出强力的水柱冲击煤层。

设水柱直径d＝30cm，水速v＝50m/s，假设水柱射在煤层的表面上，冲击煤层后水的速度变为零，求水柱对煤层的平均冲击力（水的密度ρ＝1.0×103 kg/m）。

【答案】1.77×105N
【解析】设在一小段时间Δt内，从水枪射出的水的质量为Δm，则Δm＝ρS·vΔt。

以Δm的水为研究对象，如图所示，
它在Δt时间内的动量变化量Δp＝Δm·（0－v）＝－ρSv2Δt。

设F为水对煤层的平均作用力，即冲力，F′为煤层对水的反冲力，以v的方向为正方向，根据动量定理（忽略水的重力），有F′·Δt＝Δp＝－ρSv2Δt，即F′＝－ρSv2。

根据牛顿第三定律知F＝－F′＝ρSv2。

式中S＝π
4
d2，
代入数值得F≈1.77×105N。