第二章 信号及其描述

4A n2π2
sin 2
nπ 2


n
2
π
2
0
(n 1, 3, 5,) (n 2, 4, 6,)
2
bn T0
T0 / 2 T0 / 2
x(t) sin
n0t
dt

0
信号的描述
因此，有：
x(t)

A 2

4A
2
n1
1 n2
cos n0t
(n 1, 3, 5, )
数学表达：
x(t) x(t nT0 ) (n 1, 2, )
T0 = 2 / 0 =1/ f0 (0 k / m)
周期：满足上式的最小T 值。 频率(frequency)：周期的倒数，f = 1/T，单位：（Hz 赫兹）
圆频率/角频率：频率乘以2 f, 即 =2 f =2 /T
a
2 n
bn2
n

arctan
an bn


x(t) a0 an cos n0t bn sin n0t a0 An cosn0t n
n1
n1
余弦函数表达形式
An an2 bn2
n


tan 1
bn an
T0 — 周期,0 —圆频率
信号的描述
信号时域与频域描述的关系 时域描述与频域描述是等价的，可以相互转换， 两者蕴涵的信息相同。 时域描述与频域描述各有用武之地。 将信号从时域转换到频域称为频谱(specrtrum)分析， 属于信号的变换域分析。 采用频谱图描述信号，需要同时给出幅值谱(amplitude spectrun)和相位谱(phase spectrum)。
cos 50t

1 72
cos 70t


A 2

4A
2
n1
1 n2
cos n0t, n
1,3,5,
周期性三角波信号的幅值谱和相位谱—以余弦函数为准
An
n
A
4A
2
2 4A 4A
9 2 25 2
0
30
50

幅频谱
0
30 50

相频谱
（2）复指数展开式
信号的描述
欧拉公式 e jn0t cosn0t jsin n0t
c os n0t

1 (e jn0t 2
e jn0t )
sin n0t

j 2
(e jn0t
e jn0t )
所以：

x(t) a0 (an cos n0t bn sin n0t)
n1

x(t) a0
n1
[1 2
(an

jbn )e jn0t

1 2
(an

jbn )e jn0t
]


x(t) C0
(Cne jn0t Cne jn0t )
Cne jn0t
n1
n
C0

a0
，Cn

1 2 (an

jbn ) ，Cn

信号的描述
则可以展开为

x(t) a0 (an cos n0t bn sin n0t)
n 1
其中
a0

1 T0
T0 / 2 T0 / 2
x(t)dt
an
2 T0
T0 / 2 T0 / 2
x(t) cos n0tdt
bn
2 T0
T0 / 2 T0 / 2
…
t
-A
信号的描述
频域
x(t)

4A π
sin
0t

1 3
sin
30t

1 5
sin
50t


4A π
n0
1 sin(2n 2n 1
1)0t
， 0

2π T0
A()
4A
()
0 0
4A
/2
3 4A
5
30 50 0 0 30
能量（有限）信号： E(t) x2 (t)dt
如各类瞬变信号。
功率（有限）信号： 信号在有限区间（t1, t2）上的平均功率：
1
P(t1, t2 ) t2 t1
t2 x2 (t)dt
t1
如周期信号、准周期信号、随机信号等。
2 信号的描述 （Signal Description）
信号的描述
例：画出余弦、正弦函数的实频及虚频谱图。
解：
c os0t

1 2
(e j0t
e j0t )
C-1 = 1/2，C1 = 1/2，Cn = 0（n=0, 2, 3, …）
sin 0t

j 2
(e j0t
e j0t )
C-1 = j/2，C1 = -j /2，Cn = 0（n = 0, 2, 3, … ）

信号的描述
解：
a0

1 T0
T0 / 2 x(t)dt 2
T0 / 2
T0
T0 / 2 ( A 2 A t)dt A
0
T0
2
an

2 T0
T0 / 2 T0 / 2
x(t)
c os n0t
dt
4
T0
T0 0
/2
(A

2A T0
t)
c os n0t
dt
4A
a)模拟信号（时间和幅值均连续）
b)连续信号（时间连续--幅值不连续）
c)采样信号（时间离散-幅值连续） d)数字信号（时间离散-幅值离散）
1.3 能量信号和功率信号
信号的分类
信号的瞬时功率： P(t) x2 (t)
信号能量：
E(t) P(t)dt x2(t)dt
•谐波(harmonious)信号常用特征参量：均值、绝对均值、均 方差值、均方根值（有效值）和均方值（平均功率） 描述。
•一般周期信号（如周期方波、周期三角波等）由多个乃至无 穷多个频率成分（频率不同的谐波分量）叠加所组成，叠加 后存在公共周期。
信号的分类
非周期信号包括准周期信号与一般非周期信号（瞬变
0
0

单边幅频谱
负频率

A 2

4A
2
1
n1n
2
sin(n0t

2)
A()
A 2
4A 2
4A
92
4A
252
()
2
0 0
30
50

0 0
30
50
周期性三角波信号的幅值谱和相位谱—以正弦函数为准
x(t)

A 2

4A
2

cos
0t

1 32
cos 30t

1 52
方波信号的幅值谱和相位谱—
50
以正弦函数为准
x(t )

4 A

n1
1 n
cos(n0t

)
2
An
方波信号的幅值谱和相位谱—
1
以余弦函数为准

0 30 50
n
0
30
50



2
信号的描述
x(t)
0
周期方波信号的合成
T0 t
方波信号的幅值谱和相位谱—
卫星传输、移动通信。
序
故障诊断
序
生物医学信号处理应用举例
滤波以前干扰严重 滤波以后干扰去除
1 信号的分类
（Signal Classification）


确定性信号
信号

周期信号一谐般波周信期号信号 非周期信号一准般周非期周信期号信号
非确定性信号
x(t)
x(t)
t
t
x(t) et sin t
信号的分类
•非确定性信号又称为随机（random）信号，是无法用明确 的数学关系式表达的信号。如：
•加工零件的尺寸 •机械振动 •环境的噪声等
根据是否满足平稳随机过程的条件，非确定性信号又可以分 为：
•平稳随机信号 •非平稳随机信号
信号的分类
信号的时域描述 以时间为独立变量，描述信号随时间的变化特征， 反映信号幅值随时间变化的关系。 波形图：时间为横坐标的幅值变化图。 优点：形象、直观。 缺点：不能明显揭示信号的内在结构（频率组成关系）。
信号的描述
信号的频域描述 应用傅里叶级数或傅里叶变换，对信号进行变换（分 解），以频率为独立变量建立信号幅值、相位与频率的 函数关系。 频谱图：以频率为横坐标的幅值、相位变化图。 幅值谱：幅值-频率图 相位谱：相位-频率图 频域描述抽取信号内在的频率组成及其幅值和相角的大 小，描述更简练、深刻、方便。
0

2
T0
,n
1，２，３，
信号的描述
例：方波信号的描述—详见书P38 时域描述
x(t) x(t nT0 ), n 1, 2, 3,
x(t)

A
A
பைடு நூலகம்
(0 ≤ t T0 2) (T0 2 t ≤ 0)
x(t)
A
…
T0
T0
2
2
T0
0
T0
3 周期信号与离散频谱
信号的描述
周期信号---周期性重复的信号，周期 T
（1）三角函数展开式 狄里赫利（Dirichet）条件 • 在一个周期内，若存在间断点，则间断点的数目为有限个。 • 在一个周期内，极大值和极小值数目为有限个。 • 在一个周期内，信号绝对可积，即
t0 T | x(t) | dt t0
第2章 信号及其描述 Signal and Its Description
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序
信号（signal）：随时间或空间变化的物理量。
信号是信息的载体，信息是信号的内容。 依靠信号实现电、光、声、力、温度、压力、流量等的传输 电信号易于变换、处理和传输，非电信号 电信号
序
信号无处不在
通信 • 古老通信方式：烽火、旗语、信号灯。 • 近代通信方式：电报、电话、无线通讯。 • 现代通信方式：计算机网络通信、视频电视传播、
1 2
(an

jbn )
信号的描述
按实频谱和虚频谱形式
Cn ReCn jImCn Cn ejn
幅频谱和相频谱形式
Cn (ReCn )2 (ImCn )2
n

arctan
Im Cn Re Cn
Cn Cn , n n
幅频谱图：| Cn | - 实频谱图： CnR - 虚频谱图： CnI - 相频谱图： n -
平稳随机信号非各各态态历历经经信信号号 非平稳随机信号
信号的分类
1.1 确定性信号和非确定性信号
• 确定性信号：能用明确的数学关系式或图像表达的信 号称为确定性信号。
x(t)
m
A
x(t)
k
0
t
0
x(t) A cos(
k m
t

0
)
信号的分类
周期信号(period signal)：依一定的时间间隔周而复始、重 复出现；无始无终。
以正弦函数为准
信号的描述
周期方波信号的时、频域描述
信号的描述 例：周期性三角波的傅里叶级数
x(t)
A
...
...
-T0/2 0
T0/2
t

A

2A T0
t
( T0 ≤ t 0) 2
x(t
)


A

2A T0
t
(0 t ≤ T0 ) 2
x(t)

x(t

nT0
),
n 1, 2, 3,
x(t)=cos0t 1
1/2 -0
0
t
CnR 1/2
0
0

CnI
-0
0
0

|Cn|
1/2
1/2
-0
0
0

双边幅频谱
An 1
0
0

单边幅频谱
x(t)=sin0t 1
0
t
CnR
-0
0
0

1/2 -0
1/2
CnI 0
0

-1/2
|Cn| 1/2
-0
0
0

双边幅频谱
An 1
x(t) sin n0tdt
信号的描述
进一步，可以改写为

x(t) A0 An sin(n0t n ) n1
正弦函数表达形式
A0 A1 sin(0t 1 ) A2 sin(20t 2 ) A3 sin(30t n )
式中
An
随机信号
• 非确定性信号。 • 具有不重复性（在相同条件下，每次观测的结果都不
一样）、不确定性、不可预估性。 • 采用概率和统计的方法进行描述。
x(t)
x(t)
0
t0
t
随机信号：白噪声
随机信号： 叠加白噪声的正弦信号
1.2 连续信号和离散信号
连续信号一 模般 拟连 信续 号信 （号 信（ 号独 的立 幅变 值量 与连 独续 立） 变量均连续） 离散信号数 一字 般信 离号 散（ 信信 号（ 号的 独幅 立值 变与 量独 离立 散变 ）量均离散）
实际应用中，n 通常取为正整数。
周期性三角波
周期方波
信号的分类
x(t) A
0
t
0 0
T
(a) 正弦信号： x(t) Asin(0t 0)
x(t)
0
t
(b) 复杂周期信号：x(t)=Asin0.5 t+ Asin t +Asin2 t
信号的分类
这种频率单一的正弦或余弦信号称为谐波信号。
信号） •准周期信号也由多个频率成分叠加而成，但不存在公共 周期。
例：准周期信号
x(t) Asin 9t Asin 31 t
t
•一般非周期信号是在有限时间段存在，或随着时间的增加 而幅值衰减至零的信号，又称为瞬变非周期信号。
信号的分类
瞬变信号：在有限时间段存在，或随时间的增加幅值衰减 至零。