矢量分析和梯度

工程电磁场 第一章 矢量分析 22
4、矢量场的矢量线
① 矢量线（场线）： 在矢量场中，若一条曲线 上每一点的切线方向与场矢量 在该点的方向重合，则该曲线 称为矢线。 一般来说，矢量场中的每 一点都有一条矢量线通过，所 以，矢量线是一族曲线，充满 整个矢量场所在的空间。
工程电磁场 第一章 矢量分析
+ -
ex ex ey ey ez ez 1 ex ey ey ez ez ex 0
位置（从原点出发）矢量：
r xex yey zez
工程电磁场 第一章 矢量分析
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空间任一矢量可表示为：
矢量场F穿过有向曲面元dS的通量
d F dS FdS cos 1.35a
1.3 场的基本概念
1、场的定义 场概念的引入：研究某物理量在某一个空间区域的 分布情况和随时间变化规律。
场——指某物理量在空间中的分布情况，即说明该物理量在 空间区域中的每一点处的大小及方向。
比如：温度场，电位场，磁场
场：既有空间属性，又有时间属性。可表示成：x，y，z，t 的函数。F(x,y,z,t)
e ey ez 哈密顿算子： x x y z
梯度也可表示：
grad u
方向导数与梯度的关系：
u u el l
工程电磁场 第一章 矢量分析
el为l方向的单位矢量
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梯度性质：
①标量场u的梯度是一矢量场，可称grad u是u产生的梯度场； ②标量场u中，在给定点沿任意方向l的方向导数等于梯度在该方 向的投影； ③标量场u中，在每一点M处的梯度，垂直于过该点的等值面，
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
工程电磁场 第一章 矢量分析 4
3、标量与矢量计算
标量计算不加以叙述。 矢量计算
1）加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。
B
C
C
C A B

B
A
A
工程电磁场 第一章 矢量分析
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2）减法：换成加法运算
定义：设标量场μ(x, y, z)，若空 间中所有的点都满足：
( x, y, z ) const.
则这些点所组成的曲面——称为等值面 特点： ①常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形 成等值面族； ②标量场中的任一点，必通过该点的等值面，因此等值面族充 满场所在的整个空间； ③标量函数u是单值的，一个点只能在一个等值面上，因此等 值面互不相交。
件，即可求出过M点的矢量线。
工程电磁场 第一章 矢量分析 24
③平行平面场
平行平面矢量场
工程电磁场 第一章 矢量分析
平行平面标量场
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④轴对称场
轴对称矢量场
工程电磁场 第一章 矢量分析
轴对称标量场
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1.4 标量场的方向导数与梯度
1、方向导数
① 标量场的方向导数的定义
函数 ( x, y, z) 在点 M 0 沿 l 方向的方向导数
u u u u cos cos cos l x y z
, , 分别是l与x、y、z轴的夹角。 其中：
计算公式也可表示为：
u u u u ex ey ez ex cos ey cos ez cos g el l x y z
(M ) (M 0 ) |M 0 lim l 0 l l
0 l
0 l
标量场u沿l方向值是增加的； 标量场u沿l方向值是减小的； 标量场u沿l方向无变化。
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0 l
工程电磁场 第一章 矢量分析
② 方向导数在直角坐标系中的计算公式
工程电磁场 第一章 矢量分析 18
温度场和磁场
工程电磁场 第一章 矢量分析
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几个关于场的相关概念
标量场：物理量为标量。 矢量场：物理量为矢量。 静态场：物理量与时间无关，不随时间变化而变化。 也称为恒定场。 动态场：物理量与时间有关，随时间变化而变化。 也称为时变场。 场点：定义了场量的空间点（位置）。
工程电磁场 第一章 矢量分析 9
A
b.矢量积（叉积）：
工程电磁场 第一章 矢量分析
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1.2 常用坐标系
1.2.1. 直角坐标系
坐标变量：x, y, z
变量取值范围：-∞<x<+∞, -∞<y<+∞, -∞<z<+∞
单位矢量： ex , ey , ez
, ,
ex ey ez ey ez ex ez ex ey
正交： 若两非零矢量的点乘结果为0，说明两矢量垂直或正交。
工程电磁场 第一章 矢量分析
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b.矢量积（叉积）：
A B A B sin ec
ec
B

•含义： 两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量 组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三 者符合右手螺旋法则（逆时针方向）。 •平行 当两个非零矢量叉乘结果为0，则这两个矢量平行。
Ax Bx Ay By Az Bz
工程电磁场 第一章 矢量分析 13
两矢量的叉积：
A B ( Ax ex Ay ey Az ez ) (Bx ex By e y Bz ez )
( Ay Bz Az By )ex ( Az Bx Ax Bz )e y ( Ax By Ay Bx )ez
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② 矢量线方程
矢量线方程表达式：
M
dx dy dz Fx ( x, y, z ) Fy ( x, y, z ) Fz ( x, y, z )
dr r r dr
o
矢量线
F
由矢量线方程求解得到的曲线函数f（x，y，z），在空间中画出 f函数曲线即为矢量线，其解为矢量线族。再利用过M点这个条
kA k A e
k>0，方向不变，大小为︱k︱倍 k=0 k<0，方向相反，大小为︱k︱倍
（2）矢量与矢量乘积分两种定义 a、点乘 b、叉乘
工程电磁场 第一章 矢量分析
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a. 标量积（点积）：
A B | A | | B | cos

B
A
两矢量的点积含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积， 其结果是一标量。
且指向u增加的方向。
工程电磁场 第一章 矢量分析
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1.1 矢量场的通量与散度
1.1.1 通量 1、定义 有向曲面S——其大小为S、方向沿曲面 的垂直方向ds的曲面。 如果在该矢量场中取一曲面S， 通过该 曲面的矢线量总和称为通量。
表达式： v ds v n ds
S S
若曲面为闭合曲面： v ds
S
从定义看出：通量表明矢量穿过曲面的量的大小，是一个标量。
工程电磁场 第一章 矢量分析 32
未闭合曲面的 a n 指向与其周线走向呈右旋关系（见图1.15） ；闭合曲面的 a n 指向其外法向（见图1.16）。 有向曲面元d S —有向曲面S上的微分有向曲面元d S an d S 。
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2、源点与场点
场是场源产生的。
r R r′
源点：场源所在的空间位置。 场点：场量所在的空间位置。 距离矢量：由源点指向场点的矢量。
R r r
工程电磁场 第一章 矢量分析
r ——源点位置矢量 r ——场点位置矢量
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3、标量场的等值面
在直角坐标系中两矢量的减法运算：
A B ( Ax Bx )ex ( Ay By )ey ( Az Bz )ez
两矢量点积：等于对应分量的乘积之和。 A B ( Ax ex Ay e y Az ez ) (Bx ex By e y Bz ez )
D A B A ( B )
逆矢量： B 和 ( B ) 的模相等，方向相反，互为逆矢量。 A D D
A

B
C
A
B
B
B
A B C 0
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3）乘法
（1）标量与矢量的乘积：
方向角与方向余弦： , ,
Ay Ax A cos , cos , cos z | A| | A| | A|
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在直角坐标系中三个矢量加法运算：
A B C ( Ax Bx Cx )ex ( Ay By Cy )ey ( Az Bz Cz )ez







2、矢量的积分： dB 设 A 和 B 均在同一平面直角坐标系内，且 A， dt 则有：dB Adt
B Adt Ax i Ay j dt
Ax dt i


Ay dt j

Bx Ax dt , By Ay dt
z
Az
A Axex Ayey Az ez
模的计算： | A | A2 A2 A2 x y z
A

单位矢量：
Ay Az A Ax e ex e y ez A A A A
Ax
o


Ay
y
x
cosex cos e y cosez
在直角坐标系中：A A i A j A k x y z
dA dAx dAy dAz 矢量导数公式： i j k dt dt dt dt
利用矢量导数公式可以证明：
(1)
(2)
(3) (4)
d dA dB A B dt dt dt d CA dA C , C为常数 dt dt dB dA d A B A B dt dt dt dB dA d A B A B dt dt dt
如:力 F、速度 v 、电场 E 等
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3
A
注：矢量在书写时，印刷体为场量符号加粗， 如D。教材上的符号即为印刷体。
所以： A
矢量表示为： A A e 其中： A 为矢量的模，表示该矢量的大小。
可书写为 A
e
为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
A B Ax Bx
ex
ey Ay By
ez Az Bz
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三、矢量的导数和积分
1、矢量的导数：
直角坐标系中的一矢量 A t ： A A2 t t A1 t A dA 当 t 0 时，A / t 的极限为： lim t 0 t dt
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2、梯度
① 定义：标量场u中某点梯度为一矢量，大小为该点最大 的方向导数，其方向为该点所在等值面的法线方向。即沿 该方向，u的变化率最大。记作：grad u
u grad u el l
max
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② 梯度计算
在直角坐标系中：
u u u grad u ex e y ez x y z
第一章 矢量分析
1.1 标量与矢量 1.2 常用坐标系 1.3 场的基本概念和可视化 1.4 标量场的方向导数与梯度
工程电磁场 第一章 矢量分析
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1.1 标量与矢量
1、标量与矢量 标量：只有大小，没有方向的量。 如：温度 T、长度 L 等
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2、矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。