点扩展函数psf的估计.docx

点扩展函数的估计

一般的点扩展函数估计是图像恢复中的一个非常困难的问题，一些常用的方法是“运用先验知识的方法，运用后验知识的方法以及误差—参数曲线分析法。

➢运用先验知识的方法

一般来说，大气湍流、光学系统散焦以及照相机与景物之间的相对运动造成的模糊是图像处理中经常遇到的情况，这类退化的点扩展函数可以根据导致模糊的物理过程（先验知识）来确定。研究表明，对于长时间曝光下大气湍流造成的转移函数（它的傅里叶逆变换即为点扩展函数）可近似为高斯型，即表达成

H(u,v)≈exp⁡[−c(u2+v2)5/6]

其中，C为与湍流性质有关的常数。光学系统散焦造成的转移函数式熟知的“Bes-Sinc”函数，可写成

H(u,v)=J1⁡(πdp)/(πdp)

其中，p=(u2+v2)1

2,d为光学系统的散焦点扩展函数（在线性移不变系统

中是圆函数）的直径，J1⁡(.)是第一类一阶贝塞尔函数。

下面以摄影中照相机与景物之间的相对移动造成模糊的情况，作为先验知识来确定转移函数的具体例子。

假定照相机不动，图像f(x,y)在图像面上移动并且图像f(x,y)除移动外不随时间变化。令x0(t)和y0(t)分别代表位移的x分量和y分量，那么在快门开启的时间T内，胶片上某点的总曝光量是图像在移动过程中一系列相应像素的亮度对该点作用之总和。如果快门开启时间与关闭时间可以忽略不计，且光学系统假设是完善的，且有下列关系存在：

g(x,y)=∫f[x−x0(t),y−y0(t)]

T

dt

对其两边取傅里叶变换，得到

G (u,v )=∫∫∫f [x −x 0(t ),y −y 0(t )]T 0

∞−∞∞−∞dt ∙exp [−j2π(ux +vy )]dxdy

=∫∫∫f [x −x 0(t ),y −y 0(t )]∞−∞+∞

−∞T 0∙exp [−j2π(ux +vy )]dxdydt

根据傅里叶变换的空间位置平移性质可得

G (u,v )=∫F (u,v )T 0

exp {−j2π[ux 0(t )+vy 0(t )]}dt

=f(u,v)∫exp {−j2π[ux 0(t )+vy 0(t )]}dt T 0

定义

H (u,v )=∫exp {−j2π[ux 0(t )+vy 0(t )]}dt T

那么上式可以表示成

G(u,v)=H(u,v)f(u,v)

可见，H(u,v)的表达式就是移动模糊的转移函数。如果移动只代表为沿着x 方向以速度V 作匀速运动，那么有

x 0=Vt ，⁡⁡⁡⁡⁡y 0(t )=0

将上式代入H(u,v)表达式，可得

H (u,v )=∫exp (−j2πuVt )dt T

=(1πuV

)sin (πuVt )exp (−j πuVt ) =T exp (−j πuVt )sinc⁡(πuVt )

➢ 运用后验判断的方法

如果事先并不知道退化的物理过程，或者这种物理过程过于复杂，难以用来确定h (x,y )，那么可能的办法只有从退化图像本身来估计h (x,y )。例如，若有把握断定原始景物某部位有一个清晰的点，于是那个点在退化图像上的模糊影像就是点扩展函数，天文图片会有这种情况，图片上某颗细小星体的退化图像可用来估计点扩展函数。

如果原始景物含有明显的直线，则有时可以从这些线条的退化图像来确定h (x,y )，为了说明这一方法，可假定原始景物中有一条平行于x 轴的理想线源，记做δ(y)，此处δ(y)被看作是二维函数，但不依赖于x 。该理想线源的退化图像则称为线扩展函数，记做h 1(y )，可表示成

h 1(y )=∫∫δ(β)∞

−∞∞−∞h(x −a,y −b)d αd β

利用δ函数的筛选性质，此式变成

h 1(y )=∫h(x −a,y)d α∞

−∞

对上式做变量置换x −a =x ，可得

h 1(y )=∫h(x,y)dx ∞

−∞

这说明线扩展函数在y 方向的分布与位置x 无关，即在任何一条与x 轴平行的线上，h 1(y )的值是一个常数，而h 1(y )在y 方向上任一点的数值是点扩展函数在该点沿x 方向的积分。显然，如果点扩展函数式圆对称函数，则线扩展函数与线源的取向无关；否则，就与线源的取向有关。

若h 1(y )的傅里叶变换为H 1(V ),则

H 1(V )=∫h 1∞

−∞(y)exp⁡(−j2πvy)dy

但我们知道

H (u,v )=∫∫h (x ,y )exp ⁡[−j2π(ux +vy )]dxdy ∞

−∞∞−∞

如果把u =0代入这一方程并使用上两式可以得到

H (0,v )=∫[∫h (x ,y )dx ]exp ⁡[−j2πvy ]dy ∞−∞∞

−∞=H 1(v )

这表示平行于x 轴的线扩展函数的傅里叶变换是转移函数H (u ,v )在频谱平面上验u =0直线所取的值。同理可以证明，与x 轴成θ的线扩展函数，其傅里叶变换则是H (u ,v )在频谱平面上沿斜率为θn +90°的直线所取的值。因此，如果能断定原始景物含有各种取向θ1，θ2，⋯，θn 的线，就能从这种集购物退化的图像上推到出H (u ,v )沿着过原点具有斜率θ1+90°,，θ2+90°，⋯θn +90°的那些辐射形直线上的值。

如果能肯定点扩展函数是圆对称的，则H (u ,v )也是圆对称的。因此盒子要知道沿一条辐射线的H (u ,v )的值，就知道它各处的值。如果没有这种先验知识，一般必须求得沿着紧挨在一起的许多辐射线上的H (u ,v )值。倘若频谱平面能被足够密集的这种线上的H (u ,v )值所覆盖，就能构成H (u ,v )的精密近似值。并通过内插法求得频谱面坐标网络交点上的值，然后通过傅里叶变换即可求得h (x ,y )。

假使原始景物不含有点或者线的内容，然而它可能含有明显的界线。现在将要证明界线的退化图像的导数等于平行于该界线的线源的退化函数。

一条沿x 轴的理想界线在数学上可用S (y )表示，这里的S (y ) 单位阶跃函数，即

S (y )={1,

y ≥00,y <0

设h s (y )是该界线的退化图像，那么

h s (x ,y )=∫∫h (x −a ,y −β)S (β)∞

−∞

∞−∞dαdβ

=∫∫h (a ,β)S (y −β)∞−∞

∞−∞dαdβ