逻辑公理系统

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逻辑公理—表达思想的初始概念
▪ 自然数公理
• x(s(x)x)
• xy (xys(x)s(y))
• x(x+0=x)
• xy(x+s(y)=s(x+y))
• x(x∘0=0)
• xy(x∘s(y)=x∘y+x)
• (Q(0)x(Q(x)Q(s(x))))xQ(x)
▪ 自然数公理是实质公理
▪ 在整数论域中，
• x(I(x) 0≤x)是假； • xy(I(x) y(I(y) x≤y)是假；计算机学院 • xy(y(I(x) I(y) x+y=y+x)是真； • xy(I(x) I(y) x+y≤y))是假。
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命题形式
▪ 命题抽象变换为命题形式
• x(Q(x) R0 (c,x)) ； • x (Q(x) y(Q(y) R0 (x,y)) ； • xy(Q(x)Q(y) R1(g(x,y),g(y,x)) ； • xy(Q(x) Q(y) R0 (g(x,y),y))
• 推理规则集
–推理规则是由公理及已证定理得出新定理的规则；
• 定理集
–表达了肯定的所有命题。
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命题逻辑公理系统
▪ (1).语言集合：L=<{,},{}, P,{},{}>
• 其中，P是命题变元集合。
▪ (2).公理模式：P,Q,R为任意合式公式
▪ 1). A1： R (QR) ▪ 2). A2： (P (QR))((PQ) (PR)) ▪ 3). A3： (QR)(RQ) ▪ (3).变形规则：推理规则(分离规则MP规则)
▪ 抽象：不同论域的命题可以具有相同形式命题。 ▪ 具体：形式命题可以对应不同论域计算逻机辑学命院题。
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形式系统
▪ 一个形式系统应当包括以下几部分。
• (1)各种初始符号。初始符号是一个形式系统的“字母”，经解释后其 中一部分是初始概念。
• (2)形成规则。规定初始符号组成各种合适符号序列的规则。经解释后 合式符号序列是一子句，称为系统里的合式公式或命题。
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• 具体概念：后继(s)，0，+， ∘，Q
▪ 自然数公理是所有的自然数命题真值的依据。
▪ 从自然数公理能推导出所有的自然数命题真值。
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命题逻辑语句真值
▪ 在自然数论域中
• x(N(x) 0≤x)是真； • x (N(x) y(N(y) x≤y))是真； • xy(N(x)N(y) x+y=y+x)是真； • xy(N(x) N(y) x+y≤y)是假。
逻辑公理系统
马殿富 北航计算机学院 dfma@
2014-11
欧几里德几何学
▪ 欧几里德（325 BC -265 BC ），古希腊数学家；
▪ 《几何原本》是一个实质公理系统
• 把点、线、面、角等分为原始定义概念（23）和可定 义概念；
• 命题分为公理（5）、公设（5）； • 由公理公设出发加以证明的定理（467）
肯定后件律 蕴含词分配律 换位律
若Q和QR成立，则R成立。 计算机学院
• 其中，Q和QR称为前提，R称为结论。
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缩写定义
▪ 谓词公理系统中仅使用了和联结词符号，而其他联 结词符号,,,可以认为是缩写公式，用≡表示缩写 定义。
• (1).QR≡(QR) • (2).QR≡ (QR) • (3).QR≡(QR) (RQ) • (4).QR≡ (QR)
▪ 从简单到复杂，证明相当严格。从而建立了欧几里 得几何学的第一个公理化数学体系。
▪ 公理
▪ 公设
▪ 1．等于同量的量彼此相等。
▪ 1.由任意一点到另外任意一点可以画直线。
▪ 2．等最加等量，其和仍相等。 ▪ 3，等量减等量，其差仍相等。
▪ ▪
23..一以条任有意限点计直为算线心可及机以任学继意院续的延距长离。可以画圆。
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公理系统
▪ 弗雷格公理系统
▪ 罗素公理系统
• Q(RQ) • (P(QR)) ((PQ) (PR)) • (P(QR)) (Q(PR)) • (QR) (RQ) • QQ • QQ
▪ 卢卡西维茨公理系统
▪ QQ Q ▪ QQR ▪ QRRQ ▪ (PQ)(PRQR)
• Q(RQ) • (P(QR)) ((PQ) (PR)) • (QR) (R Q)
▪ 4．彼此能重合的物体是全等的。 ▪ 4.凡直角都彼此相等。
▪ 5．整体大于部分。
▪ 5．(平行公设)若一直线与两直线相交，且若 同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线 无限延长后必相交于该侧的一点。
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自然数公理 —表达思想的初始概念
▪ 基本概念：
• 0; • 数n; • 数n的后继n' 。
• (3)公理。把某些所要肯定的公式选出，作为推导其它所要肯定的公式 的出发点，这些作为出发点的公式称为公理。
• (4)变形规则。变形规则规定如何从公理和已经推导出的一个或几个公 式经过符号变换而推导出另一公式。经过解释，变形规则就是推理规 则。
• 应用变形规则进行推导可以得到一系列计公算式，机这学些院公式经过解释是系
▪ 自然数公理：
• 1．0是自然数.
• 2．对每个自然数n，存在另一自然数n'。
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• 3．没有自然数n，使得n'等于0。计算机学院 （1858-1932） • 4．对任意的自然数m和n，如果m'=n'，那么m=n。
• 5．对任何含0的自然数集N，如果对任何n N，有n' N，那么N包含每个自然数。
▪ 在自然数论域上，表达具体概念
• 对象： N(x)；
• 常量：0； • 运算：+；
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• 关系： ≤，=
▪ 通过思想判断命题真值，判断依据在头脑中。
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不同论域上的逻辑命题
▪ 在自然数论域中
• x(N(x) 0≤x)是真； • x (N(x) y(N(y) x≤y))是真； • xy(N(x) N(y) x+y=y+x)是真； • xy(N(x) N(y) x+y≤y)是假。
统的定理。
▪ 形式系统完全由一套表意符号建立，它能克服日常语言的歧 义性，使概念、判断、推理精确化。
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逻辑公理系统
▪ 公理系统
• 从一些公理出发，根据演绎法，推导出一系列定理，形成的演绎体 系叫作公理系统。
▪ 公理系统的组成：
• 语言集
• 公理集
–公理是用于表达推理由之出发的初始肯定命题；