第8章矩阵位移法例题 结构力学

第8章矩阵位移法
ki① i 0
k
① ji
0
1
0
ki② i
k
② ji
0
2
6 引入支座条件
ki① j
ki② j
k
① jj
k
② jj
ki③ i
k
③ ji
3
0 1
0
2
ki③ j
k
③ jj
3 4
4
取出自由结点所对应的子块，即第3子块行、第3子块列，构成考虑 约束条件后的总刚度矩阵。
k
① jj
k
21
2
4
12
2
0
21 4 1 4 1 3 0 2 8
1
2
3
6 形成荷载向量
P 60 190 62.5T
60 -60 250
-250 187.5 -112.5
1
2
3
4
第8章矩阵位移法 7 解刚度方程求结点位移
P K
60 8
190
62.5
4 0
4 12 2
0 2 8
12 3
称
0.04243 0.04243
0.3394
1.4213 1.4072 0.04243 1.4213
1.4072 1.4213 0.04243 1.4072 1.4213
0.04243
0.04243
0.1697 0.04243
105
0.04243
0.3394
返回目录
5 集成总刚度矩阵
q = 20 KN/m
1
1
11
q=20KN/m =20KN/m
3
3
3
44
3
6m
6m 6m
2
2
6m
6m
2
2 6m
6m
6m
6m
[解] 1.对应结点及各单元编号如图所示;
2.列出单元参数表;
单元 单元坐标x 轴
① 1→3
② 2→3
α
Cx
Cy
B
EA l
0° 1
0
4×105
45° 0.7071 0.7071 2.8285×105
1
2
3
4
第8章矩阵位移法
4 各单元的刚度矩阵
K
①
42
22
0
0
2 21
0
0
4 2 2
00 1 00 2
K②
41
21
0
0
2 1 2
0
0
4 1 3
00 2 00 3
0
0
K③
41
3
0
0
0
00 3 000
5 集成总刚度矩阵
第8章矩阵位移法
4 2 2 2
0 1 8 4 0
K 2 2 4 2 41
l 2 1 2i 2 BC y 2 Cx
l
6i l Cy
6i l Cx
2i
6i
l Cy 6i l Cx 4i
第二种方法： 利用坐标变换公式： K (e) T K T (e)T (e) (e)
2.8285
0
K
(2)
0
对
0 0.0142
称
0 0.060 0.3396
2.8285 0 0
0
0
0.04 0.12
0
0.04 0.12
K
(1)
K
(3)
0
0.48
0 4
0.12 0
0.24 0
105
对 称
0.04 0.12
0.48
单元（2）的单元坐标和整体坐标不一致，必须经过以下变换
第一种方法： 直接代入公式：
2 1 2i 2 BCx l2 Cy
(e)
K
1 2i (B l2 )CxC y
i
EI l
0.12×105
0.0849×105
③ 3→4
0° 1
0
4×105
0.12×105
3.列出单元坐标表示的单元刚度矩阵
将以上参数代入公式：
4 0 0 4 0
0
0.04 0.12
0
0.04
K
(1)
0
0.48 0 0.12 40
对 称
0.04
EA
l
0
K
(e)
0
EA l
0 0.12
237.3
F
③
4 2
2 12.43 187.5 237.3
4
0
112.5
87.64
第8章矩阵位移法
解法二
单元看成是一端铰支一端固定单元。
1 结点和单元编号 未知的结点位移向量
2 结点位移编号矩阵 3 各单元的定位向量
0 0 0 C 0 0 1
0 0 2 0 0 0
2 3T
U1 0 0 0 0 0 1 U2 0 0 1 0 0 2 U3 0 0 2 0 0 0
2.8285
0 0.0142
0.060 0
0.0142
0
0.060
0.1698
0
105
0.060
0.3396
cosa sin a 0
0.7071 0.7071 0 0
0 0
sin a cosa 0
0
0.7071 0.7071 0
0
0 0
T (2)
0
01
0
cosa
sin a
0
0
0
1
第8章矩阵位移法
（3）单元坐标表示的刚度矩阵
4 0 0 4 0
0
0
0.04 0.12
0
0.04 0.12
K
(1)
0
0.48
0 4
0.12 0
0.24 0
105
对 称
0.04 0.12
0.48
K (3) K (1)
2.8285
0
K
(2)
0
对
0 0.0142
称
0 0.060 0.3396
-90 250
-250 187.5 -112.5
1
2
3
4
第8章矩阵位移法
4 各单元的刚度矩阵
单元的刚度矩阵与解法一相同
单元一端铰支一端固定
0
0
K
①
0
0
0
3i 1
EA
l
0
K (e)
EA l
0
0
0
3EI l3
0
3EI l3
3EI l2
EA l
0
EA l
0
0
0
3EI l3
0
3EI l3 3EI l2
结点位移向量
0 0 0 0 0 0 7.428 48.285 47.995 0 0 0T 105
9 计算杆端力
第8章矩阵位移法
F e K eT ee
（1）单元结点位移向量
① 0 0 0 7.428 48.285 47.995T 105
② 0 0 0 7.428 48.285 47.995T 105
移置方法：
（1）将结构的各结点固定，即相当于取位移法的基本结构 （2）求出各非结点荷载引起的固端内力 （3）将固端内力反向作用到结点上
第8章矩阵位移法
例题5 试用先处理法建立图示连续梁的总刚度方程并求解
80kN
1
i=2 2
3m 3m
30kN/m
i=1 3 10m
160kN
i=1 4 3m 5m
第8章矩阵位移法
2 1 2i 2
BC Y
2 l
Cx
对称
6i l Cy 6i l Cx
4i
2 1 2i 2 BCx 2 C y
l
1 2i (B 2 )CxC y
l 6i l Cy 2 1 2i 2 BCx 2 C y
l
1 2i (B 2 )CxC y
l
2 1 2i 2 BC y 2 Cx
l 6i l Cx 1 2i (B 2 )CxC y
6m
60
60
第8章矩阵位移法
8 建立结构刚度方程并求解
结构刚度方程
0
9.4213
60 60
105
1.4072
0.0424
1.4072 1.5013 0.0424
0.0424
0.0424
1.2994
uv33
3
由此解出 u3 7.428105 m v3 48.285105 m
3 47.995105
0
3E l2
I
0
3EI l2 3EI
l
0 0 0 0 01
第8章矩阵位移法
5 集成总刚度矩阵
K
3 2 41
21
i EI l
第8章矩阵位移法
例题 1 （2）求总刚，对号、叠加
第8章矩阵位移法
例题 2
图a所示结构，不考虑轴向变形，整体坐标见图b，图中圆括号内数码 为结点定位向量(力和位移均按水平、竖直、转动方向顺序排列)。求 等效结点荷载列阵 。
例题 2
第8章矩阵位移法
1 ql 2
q
1 ql 2
12
12
第8章矩阵位移法
例题 1
图a所示结构(整体坐标见图b，图中圆括号内数码为结点定位向量 (力和位移均按竖直，转动方向顺序排列)。 求结构刚度矩阵[K]。
第8章矩阵位移法
例题 1
EA
Ni
l
0
Qi
M i
N
jBaidu Nhomakorabea
0 EA
Q
j
M j
l
0
0
0
12EI l3 6EI
l2
0
12EI
l3 6EI
l2
0
6EI l2
4EI l
0
6EI l2 2EI l
EA l
0
0 EA l 0
0
0
12EI l3
6EI l2
0
12EI l3 6EI l2
0
6EI
u
i
l2 2EI
vi
l 0
i
u
j
6EI l2
v
j j
4EI
l
例题 1 (1) 求各单元单刚
第8章矩阵位移法
F② 81.715 -2.323 5.781 -81.715 2.323 13.925T
单元 F e K eT ee F0e F0e单元上作用的非结点荷载引起的固端内力向量
F03 0 60 -60 0 60 60T
F③ 29.712 52.309 -31.168 -29.712 67.691 77.313T
10 内力图
29.712
第8章矩阵位移法
52.309
29.712 81.715
FN (kN )
31.168 17.243
3.828 2.323
67.69
77.313
FQ (kN )
5.725
13.925
5.781 M (kN m)
等效结点荷载向量
第8章矩阵位移法
非结点荷载移置到结点上
移置原则：等效结点荷载作用下引起的结点位移应与原非结点荷载 作用下引起的结点位移相等。
试用矩阵位移法求单元①和单元③在局部坐标系下的杆端力列 阵。设
第8章矩阵位移法
例题 3
(1)提取整体坐标系下单元的杆端位移：
(2)单元坐标系下单元的杆端位移与上同 即
例题 3
(3) 求杆端力
第8章矩阵位移法
例题 4 平面刚架如图所示，各杆截面相同。E=1×107kN/m2, A=0.24m2,I=0.0072m4，求各杆端力，并画出内力图。
1 1.74 2 18.49 3 12.43
第8章矩阵位移法 8 求各单元杆端力
F e K eT ee F0e F0e单元上作用的非结点荷载引起的固端内力向量
F
①
8 4
4 8
1.74 18.49
60
60
0 200.96
F
②
4 2
2 4
18.49 12.43
250
250
200.96
0
0
0.24 0
105
0.12
0.48
0
12EI
3
l
6EI
2
l
0
12E
3
I
l
6EI
2
l
0
6EI
2
l
4EI
l
0
6EI
2
l 2EI
l
EA l
0
0
EA l 0
0
K (3) K (1)
0
12E
3
I
l
6EI
2
l
0
12EI
3
l 6EI
2
l
0
6EI
2
l
2EI
2
l
0
6EI
2
l 4EI
l
2.8285
② jj
ki③i
第8章矩阵位移法
9.4213kN / m 1.4072kN / m 0.0424kN
1.4072kN / m 1.5013kN / m
0.0424kN
105
0.0424kN 0.0424kN 1.2994kN m
7 计算荷载向量
60kN m
q 20kN / m
60kN m
P 0 60kN 60kN mT
0
01 0
0 0
0 0 0.7071 0.7071 0
0 sin a cosa 0 0
0 0 0.7071 0.7071 0
0
0
1
0
00 0
0 1
以上代入公式： K (2) T K (2)T T (2) (2)
得单元（2）整体坐标表示的单元刚度矩阵：
1.4213
K (2)
对
1.4072 1.4213
③ 7.428 48.285 47.995 0 0 0T 105
第8章矩阵位移法
（2）计算单元坐标变换矩阵
1 0 0
0 1 0
0
T①
T③
0
0
1
1
0
0
0
0 1 0
0
0
1
0.7071 0.7071 0
0.7071 0.7071 0
0
T②
0
0
1
0.7071 0.7071 0
0
0.7071 0.7071 0
0
K
(2)
0
对
0 0.0142
称
0 0.060 0.3396
2.8285 0 0
2.8285
0 0.0142
0.060 0
0.0142
0
0.060
0.
1698
0
105
0.060
0.3396
4.列出整体坐标表示的单元刚度矩阵
单元（1）(3)的单元坐标和整体坐标一致，所以
4 0
0 4 0
2.8285 0 0
2.8285
0 0.0142
0.060 0
0.0142
0
0.060
0.
1698
0
105
0.060
0.3396
第8章矩阵位移法
（4）计算各单元杆端力向量
F e K eT ee
单元
F① 29.712 -3.828 5.725 29.712 3.828 17.243T
单元
解法一
1 结点和单元编号 未知的结点位移向量 1 2 3T
2 结点位移编号矩阵 3 各单元的定位向量
0 0 1 C 0 0 2
0 0 3 0 0 0
U1 0 0 1 0 0 2 U2 0 0 2 0 0 3 U3 0 0 3 0 0 0
60 -60 250
-250 187.5 -112.5
l
1 ql
1 ql
2
2
p
1 pl 8
1 pl 8
l
l
2
2
1p
1p
2
2
第8章矩阵位移法
例题 2 （1）求各单元在局部坐标系中固端力向量
例题 2
第8章矩阵位移法
(2)将
转换成
单元①
单元②
例题 2
第8章矩阵位移法
(3)利用单元定位向量，将
中元素反号后叠加集成
第8章矩阵位移法
例题 3
图示桁架，已知结点位移列阵