数列复习(公开课精华)

专题一：一般数列求和法
常见的求和公式
Sn 1 2 3
2 2 2
n n ( n 1) 2
2
1 Sn 1 2 3 n n(n 1)(2n 1) 6
1 2 Sn 1 2 3 n [ n( n 1)] 2
3 3 3 3
an an1 an2 an3 67
Sn n(a1 an ) 286 2
21 67 a1 an 22 4
n 26
考题剖析 已知{an}为等差数列， a2+a8=12，,则a5等于（
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
）
解：由已知，由等差数列的性质，有a2+a8=2a5， 所以，a5＝6，选（C）。 ［点评］本题直接利用等差数列的性质，由等差中项 可得，属容易题。
q2 q 2 0 即：
综上：这三数排成的等差数列为: 4 , 1, 2 或 2, 1, 4
Ⅱ 、运用等差、等比数列的性质
例2（1）已知等差数列{an } 满足 a1 a2 a101 0 ，则 ( C )
A. a1 a101 0 B. a2 a100 0 C. a3 a99 0
专题一：一般数列求和法
①倒序相加法求和，如an=3n+1 ②错项相减法求和，如an=(2n-1)2n ③分组法求和， 如an=2n+3n
④裂项相加法求和，如an=1/n(n+1) ⑤公式法求和， 如an=2n2-5n
一、倒序相加法
1 2 3 1999 求f ( ) f ( ) f ( ) ... f ( )的值. 2000 2000 2000 2000 解： S f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 1000 ) f ( 1998 ) f ( 1999 ) 2000 2000 2000 2000 2000 1999 1998 1000 2 1 S f( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 2000 2000 2000 2000 2000 1 1999 2 1998 SS f( ) f ( ) f ( ) f ( ) 2000 2000 2000 2000
D. a51 51
（2）已知等差数列 {an } 前 m 项和为30，前 2 m 项和为100， 3m 则前 项和为 ( ) C
A. 130
B. 170
C. 210
D. 260
（3）已知在等差数列{an}的前n项中，前四项之和为21，后 四项之和为67，前n项之和为286，试求数列的项数n.
析： a1 a2 a3 a4 21
k
k
• ⒋在等差数列{an}中，a1+a2 =30, a3+a4 =120, 则 210 a5+a6=_____ .
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运用性质：若{an}是公差为d的等差数列 {cn}是公差为d′的等差数
列，则数列{an+cn}是公差为d+d′的等差数列。
牛刀小试
• ⒈在等比数列{an}中，a2=-2,a5=54，a8= -1458 . • ⒉在等比数列{an}中，且an＞0， •
n=

Ⅳ 、等差、等比数列的综合应用
例4 已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，又a1＝b1
7 ＝1 ，a2b2＝2，a3 b3 = ． 4 (1) 求数列{an}及数列{bn}的通项公式；
(2) 设cn=anbn求数列{cn}的前n项和Sn
解析：
设等差数列 {an} 的公差为d,等比数列 {bn} 的公比为 q ，则由题意得
解析：
1 cn an bn (3n 2) n 1 2
Sn c1 c2 c3 cn
1 1 1 1 1 S n 1 0 4 1 7 2 (3n 5) n 2 (3n 2) n1 错位相 2 2 2 2 2 减法 1 1 1 1 1 1 Sn 1 1 4 2 7 3 (3n 5) n 1 (3n 2) n 2 2 2 2 2 2
a2a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5= _ 6 . ⒊在等比数列{an}中， a15 =10, a45=90,则 270或-270 a60 =__________.
• ⒋在等比数列{an}中，a1+a2 =30, a3+a4 =120, 480 则a5+a6=_____ .
练习：两个等差数列{ an }、{ bn }的前 n 项之和分别为
/ n
a1 a 29 a15 而 b1 b29 b15
a15 82 ∴ b15 65
二、知识应用 Ⅰ 、等差、等比数列的设法及应用
1.三个数成等差数列可设为 a, a d , a 2d ; a d , a, a d
x y 根据具体问题的不同特点而选择不同设法。 , y， 或者 x, 2 a 2. 三个数成等比数列，则这三个数可设为 , a, aq，也可以设为
思路3：函数图像、数形结合
过原点抛物线 令Sn An2 Bn 又S1=a1<0, 故开口向上 所以Sn有最小值 因为S9=S12,
Sn
10.5
o
b 2a
n
所以Sn 的图象所在的抛物线的 对称轴为直线n=(9+12) ÷2=10.5, ∴数列｛an｝的前10项或前11项和最小
类比:二次函数f(x),若 f(9)=f(12),则函数f(x)图象 的对称轴为 直线x=(9+12) ÷2=10.5 若f(x+2)=f(2-x),则函数f(x)图象的对称轴为 直线x=2
a, aq, aq .
2
q
例1(1). 已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83， 求此三个数.
析：设这三个数为 x d , x, x d
( x d ) x ( x d ) 15 解得x＝5，d＝ ±2. 则 2 2 2 ( x d ) x ( x d ) 83
适用所有数列
牛刀小试
110 • ⒈在等差数列{an}中，a2=-2,a5=54，求a8=_____. 运用性质： an=am+(n-m)d或等差中项 • ⒉在等差数列 {a n }中， 若 a 3 +a 4+a 5+a 6+a 7=450 ， 则 180 a2+a8的值为_________. 运用性质： 若n+m=p+q则am+an=ap+aq • ⒊在等差数列{an}中， a15 =10, a45=90,则 130 a60 =__________. •运用性质：从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广)
∴所求三个数分别为3，5，7 或7，5，3.
例1(2)：互不相等的三个数之积为 8 ，这三个数适当排列后可 成为等比数列也可排成等差数列，求这三数排成的等差数列. a a a 3 8 a 2 设这三个数为， , a, aq 则 a aq 8 即： q q 2 2 q 2 2q 1 0 （1）若 2是 ,2q 的等差中项，则 2q 4 即： q q
(1 d )q 2 (1) 1 d 3, q 7 (1 2d )q 2 (2) 2 4 1 1 cn an bn (3n 2) n 1 an 3n 2 bn n 1 2 2 通项特征： 由等差数列通项与等比数列通项相乘而得 求和方法： 错位相减法——错项法
1 1 (1 n1 ) 1 1 1 1 1 3n 2 2 2 S n 1 3 1 3 2 3 n1 (3n 2) n 1 3 n 1 2 2 2 2 2 2 1 2
两式相减：
3 3n 2 6 6n 4 Sn 2(4 n 1 ) 8 n 1 n 2 2 2 2n
an a1q n1 an amq nm
2 G ab 2 an am ap aq m+n=p+q an am ap aq m n p q 2 a a a an am 2ap m+n 2 p n m p m n 2p Sk , S2k Sk , S3k S2k 仍成等差 Sk , S2k Sk , S3k S2k 仍成等比
知识 结构
数列
通项an
S1 (n 1) an Sn Sn1 (n 2)
前n项和Sn 定义 等比数列 通项 前n项和
等差数列
性质
一、知识回顾 等差数列
定义 通项 通项推广 中项 性质
等比数列
an1 an q
an1 an d
an a1 (n 1)d an am (n m)d
1 1 9a1 9 (9 1) d 12a1 12 (12 1) d 2 2
1 1 Sn na1 n(n 1)d 10dn n(n 1)d 2 2 d 21 2 212 1 2 21 (n ) d dn dn 2 2 8 2 2
an 0 Sn是最小值 an 1 0 an 0 Sn是最大值 an 1 0
例３.等差数列｛an｝中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项的和最小? 分析: 等差数列｛an｝的通项an是关于n的一次式,前项和Sn 是关于n的二次式(缺常数项).求等差数列的前n项和 Sn 的最大最小值可用解决二次函数的最值问题的方法. 思路2：从函数的角度来分析数列问题. 设等差数列｛an｝的公差为d,则由题意得:
∵d>0, ∴Sn有最小值.
又∵n∈N*, ∴n=10或n=11时,Sn取最小值
即： 3a1 30d
a1 10d
∵a1<0, ∴ d>0,
例3.等差数列｛an｝中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项和最小?
分析:数列的图象是一群孤立的点,数列前 n项和Sn 的图象也是一
群孤立的点.此题等差数列前n项和Sn的图象是在抛物线上一群孤 立的点.求Sn的最大最小值即要求距离对称轴最近的正整数n.
S n 3n 5 a15 ，则 _______。 Sn , S , 且 / b15 S n 2n 7 n(a1 a n ) / n(b1 bn ) , Sn 解: S n 2 2 a1 an 3n 5 ∴ 2n 7 b1 bn 令 n 29, a1 a 29 82 则有： b1 b29 65
Ⅲ、等差数列的最值问题
例3.等差数列｛an｝中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项的和最小?
分析:
如果等差数列｛an｝由负数递增到正数，或者由 正数递减到负数，那么前n项和Sn有如下性质：
１．当a1＜0,d＞0时, ２．当a1＞0,d＜0时,
思路1：寻求通项 1 1 9a1 9 (9 1) d 12a1 12 (12 1) d 2 2 a1 11 n 1 3a1 30d d a1 an a1 ( n 1)( ) a1 即： 10 10 10 由于 a1 0 易知 a10 0 a11 0 a12 0 ∴n取10或11时Sn取最小值
q 1 与已知三数不等矛盾
1 2 2q 2 q 1 0 （2）若 2q为 2, 的等差中项，则 1 2q 即： q q
1 q 2
三个数为 4,1,2 或 2,1,4
2 2 （3）若 为 2q,2 的等差中项，则 q 1 q q q 2 三个数为 4,1,2 或 2,1,4
A (a b)
求和 公式
n(a1 an ) n(n 1)d Sn na1 2 2
a1 (1 q n ) a1 an q Sn 1 q 1 q na1
q 1 q 1
关系式
an、Sn
S n S n1 n 2 an n 1 S1