数列复习(公开课精华)

q2 q 2 0 即：
综上：这三数排成的等差数列为: 4 , 1, 2 或 2, 1, 4
Ⅱ 、运用等差、等比数列的性质
例2（1）已知等差数列{an } 满足 a1 a2 a101 0 ，则 ( C )
A. a1 a101 0 B. a2 a100 0 C. a3 a99 0
思路3：函数图像、数形结合
过原点抛物线 令Sn An2 Bn 又S1=a1<0, 故开口向上 所以Sn有最小值 因为S9=S12,
Sn
10.5
o
b 2a
n
所以Sn 的图象所在的抛物线的 对称轴为直线n=(9+12) ÷2=10.5, ∴数列｛an｝的前10项或前11项和最小
类比:二次函数f(x),若 f(9)=f(12),则函数f(x)图象 的对称轴为 直线x=(9+12) ÷2=10.5 若f(x+2)=f(2-x),则函数f(x)图象的对称轴为 直线x=2
S n 3n 5 a15 ，则 _______。 Sn , S , 且 / b15 S n 2n 7 n(a1 a n ) / n(b1 bn ) , Sn 解: S n 2 2 a1 an 3n 5 ∴ 2n 7 b1 bn 令 n 29, a1 a 29 82 则有： b1 b29 65
1 1 (1 n1 ) 1 1 1 1 1 3n 2 2 2 S n 1 3 1 3 2 3 n1 (3n 2) n 1 3 n 1 2 2 2 2 2 2 1 2
两式相减：
3 3n 2 6 6n 4 Sn 2(4 n 1 ) 8 n 1 n 2 2 2 2n
an 0 Sn是最小值 an 1 0 an 0 Sn是最大值 an 1 0
例３.等差数列｛an｝中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项的和最小? 分析: 等差数列｛an｝的通项an是关于n的一次式,前项和Sn 是关于n的二次式(缺常数项).求等差数列的前n项和 Sn 的最大最小值可用解决二次函数的最值问题的方法. 思路2：从函数的角度来分析数列问题. 设等差数列｛an｝的公差为d,则由题意得:
适用所有数列
牛刀小试
110 • ⒈在等差数列{an}中，a2=-2,a5=54，求a8=_____. 运用性质： an=am+(n-m)d或等差中项 • ⒉在等差数列 {a n }中， 若 a 3 +a 4+a 5+a 6+a 7=450 ， 则 180 a2+a8的值为_________. 运用性质： 若n+m=p+q则am+an=ap+aq • ⒊在等差数列{an}中， a15 =10, a45=90,则 130 a60 =__________. •运用性质：从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广)
k
k
• ⒋在等差数列{an}中，a1+a2 =30, a3+a4 =120, 则 210 a5+a6=_____ .
运用性质：若{an}是公差为d的等差数列 {cn}是公差为d′的等差数
列，则数列{an+cn}是公差为d+d′的等差数列。
牛刀小试
• ⒈在等比数列{an}中，a2=-2,a5=54，a8= -1458 . • ⒉在等比数列{an}中，且an＞0， •
∵d>0, ∴Sn有最小值.
又∵n∈N*, ∴n=10或n=11时,Sn取最小值
即： 3a1 30d
a1 10d
∵a1<0, ∴ d>0,
例3.等差数列｛an｝中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项和最小?
分析:数列的图象是一群孤立的点,数列前 n项和Sn 的图象也是一
群孤立的点.此题等差数列前n项和Sn的图象是在抛物线上一群孤 立的点.求Sn的最大最小值即要求距离对称轴最近的正整数n.
/ n
a1 a 29 a15 而 b1 b29 b15
a15 82 ∴ b15 65
二、知识应用 Ⅰ 、等差、等比数列的设法及应用
1.三个数成等差数列可设为 a, a d , a 2d ; a d , a, a d
x y 根据具体问题的不同特点而选择不同设法。 , y， 或者 x, 2 a 2. 三个数成等比数列，则这三个数可设为 , a, aq，也可以设为
n=

Ⅳ 、等差、等比数列的综合应用
例4 已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，又a1＝b1
7 ＝1 ，a2b2＝2，a3 b3 = ． 4 (1) 求数列{an}及数列{bn}的通项公式；
(2) 设cn=anbn求数列{cn}的前n项和Sn
解析：
设等差数列 {an} 的公差为d,等比数列 {bn} 的公比为 q ，倒序相加法求和，如an=3n+1 ②错项相减法求和，如an=(2n-1)2n ③分组法求和， 如an=2n+3n
④裂项相加法求和，如an=1/n(n+1) ⑤公式法求和， 如an=2n2-5n
一、倒序相加法
1 2 3 1999 求f ( ) f ( ) f ( ) ... f ( )的值. 2000 2000 2000 2000 解： S f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 1000 ) f ( 1998 ) f ( 1999 ) 2000 2000 2000 2000 2000 1999 1998 1000 2 1 S f( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 2000 2000 2000 2000 2000 1 1999 2 1998 SS f( ) f ( ) f ( ) f ( ) 2000 2000 2000 2000
解析：
1 cn an bn (3n 2) n 1 2
Sn c1 c2 c3 cn
1 1 1 1 1 S n 1 0 4 1 7 2 (3n 5) n 2 (3n 2) n1 错位相 2 2 2 2 2 减法 1 1 1 1 1 1 Sn 1 1 4 2 7 3 (3n 5) n 1 (3n 2) n 2 2 2 2 2 2
(1 d )q 2 (1) 1 d 3, q 7 (1 2d )q 2 (2) 2 4 1 1 cn an bn (3n 2) n 1 an 3n 2 bn n 1 2 2 通项特征： 由等差数列通项与等比数列通项相乘而得 求和方法： 错位相减法——错项法
a2a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5= _ 6 . ⒊在等比数列{an}中， a15 =10, a45=90,则 270或-270 a60 =__________.
• ⒋在等比数列{an}中，a1+a2 =30, a3+a4 =120, 480 则a5+a6=_____ .
练习：两个等差数列{ an }、{ bn }的前 n 项之和分别为
an a1q n1 an amq nm
2 G ab 2 an am ap aq m+n=p+q an am ap aq m n p q 2 a a a an am 2ap m+n 2 p n m p m n 2p Sk , S2k Sk , S3k S2k 仍成等差 Sk , S2k Sk , S3k S2k 仍成等比
a, aq, aq .
2
q
例1(1). 已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83， 求此三个数.
析：设这三个数为 x d , x, x d
( x d ) x ( x d ) 15 解得x＝5，d＝ ±2. 则 2 2 2 ( x d ) x ( x d ) 83
专题一：一般数列求和法
常见的求和公式
Sn 1 2 3
2 2 2
n n ( n 1) 2
2
1 Sn 1 2 3 n n(n 1)(2n 1) 6
1 2 Sn 1 2 3 n [ n( n 1)] 2
3 3 3 3
q 1 与已知三数不等矛盾
1 2 2q 2 q 1 0 （2）若 2q为 2, 的等差中项，则 1 2q 即： q q
1 q 2
三个数为 4,1,2 或 2,1,4
2 2 （3）若 为 2q,2 的等差中项，则 q 1 q q q 2 三个数为 4,1,2 或 2,1,4
知识 结构
数列
通项an
S1 (n 1) an Sn Sn1 (n 2)
前n项和Sn 定义 等比数列 通项 前n项和
等差数列
性质
一、知识回顾 等差数列
定义 通项 通项推广 中项 性质
等比数列
an1 an q
an1 an d
an a1 (n 1)d an am (n m)d
an an1 an2 an3 67
Sn n(a1 an ) 286 2
21 67 a1 an 22 4
n 26
考题剖析 已知{an}为等差数列， a2+a8=12，,则a5等于（
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
）
解：由已知，由等差数列的性质，有a2+a8=2a5， 所以，a5＝6，选（C）。 ［点评］本题直接利用等差数列的性质，由等差中项 可得，属容易题。
A (a b)
求和 公式
n(a1 an ) n(n 1)d Sn na1 2 2
a1 (1 q n ) a1 an q Sn 1 q 1 q na1
q 1 q 1
关系式
an、Sn
S n S n1 n 2 an n 1 S1
1 1 9a1 9 (9 1) d 12a1 12 (12 1) d 2 2
1 1 Sn na1 n(n 1)d 10dn n(n 1)d 2 2 d 21 2 212 1 2 21 (n ) d dn dn 2 2 8 2 2
D. a51 51
（2）已知等差数列 {an } 前 m 项和为30，前 2 m 项和为100， 3m 则前 项和为 ( ) C
A. 130
B. 170
C. 210
D. 260
（3）已知在等差数列{an}的前n项中，前四项之和为21，后 四项之和为67，前n项之和为286，试求数列的项数n.
析： a1 a2 a3 a4 21
Ⅲ、等差数列的最值问题
例3.等差数列｛an｝中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项的和最小?
分析:
如果等差数列｛an｝由负数递增到正数，或者由 正数递减到负数，那么前n项和Sn有如下性质：
１．当a1＜0,d＞0时, ２．当a1＞0,d＜0时,
思路1：寻求通项 1 1 9a1 9 (9 1) d 12a1 12 (12 1) d 2 2 a1 11 n 1 3a1 30d d a1 an a1 ( n 1)( ) a1 即： 10 10 10 由于 a1 0 易知 a10 0 a11 0 a12 0 ∴n取10或11时Sn取最小值
∴所求三个数分别为3，5，7 或7，5，3.
例1(2)：互不相等的三个数之积为 8 ，这三个数适当排列后可 成为等比数列也可排成等差数列，求这三数排成的等差数列. a a a 3 8 a 2 设这三个数为， , a, aq 则 a aq 8 即： q q 2 2 q 2 2q 1 0 （1）若 2是 ,2q 的等差中项，则 2q 4 即： q q