整合提升密码(114)

专训1 实数大小比较的八种技巧名师点金：

实数的大小比较，可以根据实数的特征灵活地选择恰当的方法，除了常规的方法外，还有几种特殊的方法：开方法、平方法(立方法)、取近似值法、放缩法、作差法、作商法等．

比较绝对值法

1．比较－－2与－－2的大小．

开方法

2．比较7与的大小．

平方法或立方法

3．比较－和－π的大小．

4．(1)比较2，3，的大小；

(2)比较与2.3的大小．

取近似值法

5．比较＋2与4.3的大小．

放缩法

6．比较＋2与－2的大小．

作差法

7．比较和的大小．

作商法

8．比较和的大小．

特殊值法

9．已知－1＜x＜0，将x，，x2，按从小到大的顺序排列为．

专训2 全章热门考点整合应用

名师点金：

本章知识多考查实数的有关概念及实数的性质和运算，是初中数学的基础知识，常见的热门考点有平方根和立方根的概念、求法及应用，算术平方根的性质与应用，实数的分类、比较大小和运算等．其热门考点可概括为：三个概念，三个性质，一个关系，一种运算，一个技巧，两种思想．

三个概念

概念1算术平方根与平方根

1．分别求出下列各数的平方根和算术平方根：

(1)0.022 5；(2)；(3)196.

概念2立方根

2．(1)(中考·茂名)－8的立方根是；

(2)－0.027的立方根是；

(3)1是的立方根；

(4)6是的立方根．

概念3实数

3．在，，，－，3.14，0，－1，，－1|中，整数有；有理数有；无理数有．

一个关系——实数与数轴的对应关系

4．实数m在数轴上对应的点的位置在表示－3和－4的两点之间且靠近表示－4的点，这个实数可能是( )

A．－3 B．－2 C．－D．－

三个性质

性质1平方根的性质

5．已知＋(b＋5)2＋＋1|＝0，那么a－b－c的值为．

6．已知一个正数的两个平方根分别是x＋3和x－1，求这个正数的立方根．

性质2立方根的性质

7．若与互为相反数，求的值．

性质3实数的性质

8．实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，计算－π|＋－的结果为( ) A．π＋B．π－

－πD．π－2

(第8题)

(第9题)

9．实数a，b在数轴上的位置如图，且a＝－，b＝，则化简－－－的结果为( )

A．－2 B．－2 C．0 D．2

一种运算——实数的运算

10．计算：－23÷|－2|×(－7＋5)．

一个技巧——比较实数大小的技巧

11．比较－与－的大小．

12．比较5和8的大小．

两种思想

思想1数形结合思想

13．(中考·资阳)如图，已知数轴上的点A，B，C，D，E分别表示数－2，1，2，3，－3，则表示数4－的点P应落在线段( )

(第13题)

A．上B．上C．上D．上

思想2分类讨论思想

14．比较a，，的大小．

答案

1．解：因为|－－2|＝＋2，

|－－2|＝＋2，

而＜，所以＋2＜＋2，

根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，

可知－－2＞－－2.

点拨：比较两个负数的大小，先比较它们的绝对值，绝对值大的反而小．2．解：7＝＝＝.

因为56＞56, 所以＞，即7＞.

点拨：当要判断大小的两个数中只有一个数带根号时，可以给另一个数添加根号，然后比较根号下两个数的大小．

3．解：因为()2＝10，而10＞π2, 所以＞π，所以－＜－π.

点拨：把两个数都平方，然后比较大小．

4．解：(1)因为23＝8，33＝27，()3＝20，而8＜20＜27，

所以2＜＜3.

(2)因为()3＝10，2.33＝12.167，而10＜12.167，所以＜2.3.

点拨：比较含立方根的几个正数的大小，一般先将各数同时立方，然后依立方后各数的大小来判断原来几个数的大小．

5．解：因为≈2.236,

所以＋2≈4.236.

又因为4.236＜4.3，所以＋2＜4.3.

点拨：先求出无理数的近似值，再比较两个数的大小．

6．解：因为2＜＜3, 7＜＜8,

所以＋2＜3＋2＝5＜－2，所以＋2＜－2.

点拨：比较两个无理数的大小可以采用放缩法．

7．解：因为－＝，而－4＝－＜0，所以＜0，即－＜0，所以＜.

点拨：先作差，然后与0比较大小，最后确定这两个数的大小．

8．解：因为÷＝×＝，而＜，

所以＜1，所以＜.

点拨：先作商，然后与1比较大小，最后确定这两个数的大小．

9＜＜x＜x2点拨：本题可以用特殊值法求解，例如取x＝－，则＝－8，x2＝，＝－，因此＜＜ x＜x2.

1．解：(1)因为(±0.15)2＝0.022 5，所以0.022 5的平方根是±0.15，即±＝±0.15；

0．022 5的算术平方根是0.15，即＝0.15.

(2)因为＝，所以的平方根是±，

即±＝±；的算术平方根是，即＝.

(3)因为(±14)2＝196，所以196的平方根是±14，

即±＝±14；196的算术平方根是14，即＝14.

点拨：注意一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数．一个正数的算术平方根一定是正数．

2．(1)－2 (2)－0.3 (3)1 (4)216

3．0，－1|；，－，3.14，0，－1|；，，－1，

点拨：是分数，所以是有理数；是π型的无理数；是开方开不尽的数，所以是无理数；－＝－，是分数，所以是有理数；3.14是有限小数，所以是有理数；0是整数，也是有理数；－1是无理数与有理数的差的形式，所以是无理数；是开方开不尽的数，所以是无理数；－1|＝|2－1|＝1，所以是整数，也是有理数．4．D

5．8

6．解：因为一个正数的两个平方根分别是x＋3和x－1，

所以x＋3＋x－1＝0，解得x＝－1.

所以这个正数是(x＋3)2＝4.

所以这个正数的立方根是.

7．解：因为与互为相反数，

所以3a－1与1－2b互为相反数，

所以3a－1＝2b－1，所以3a＝2b.

又因为b≠0，所以＝.

8．B9

10．解：原式＝2－8÷2×(－2)＝10.

11．解：因为|－|＝，|－|＝，而＞，所以根据“两个负数，绝对值大的数反而小”，可