基于矩阵方法的量子纠错码构造
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均 成 立 ， ７ ４ ２ ２时 ， 为 量 子 ＭＤＳ码 ） 量 子 纠 错 当 ２ ＝ｋ －ｄ一 称 的
码是参数 良好的量 子纠错码 。图方法被认 为是构造量子纠错 码的好方法。量子纠错码的图描述是 由文 献［］ ３ 提出的 ， 其通 过构造具 有特殊性 质 的图 （ 或者 说矩 阵） 来构 造量子 码 。文 献［ ］ ４ 用此方法构造 出达 到量子 Ｓｎ ｌ ｏ ｉｇｅ ｎ界 的量 子 纠错 码 ｔ ［ ６２ ３ ３ ［ ， ，３ 和［ ７ ３ ３３ 户 ３ 。进 一步地 ， 献［ ］ 出 Ｅ ， ，３ （ ≥ ） 文 ５给 了非二元量子循环码 的图论构造方法 ， 并证 明了对任 意的奇
的权 为 ｎ （ ａ ∈ Ｆ 。 显 然 ， 样 的 图 由 一 ） 这 （ ＋是 × （ ＋志 对 称 矩 阵 ： ｎ ） ）
Ａ— Ａ（ 一 （ ）， ｖ Ｇ） ｎ ｕｖ ｅ
（ 对于任 意一个量子码［ ７ｋ ］ ， ｒ ， ， ≤ｎ ２ ， ｌ ／ 十１ ≥七 一２ ＋２
第３ ６卷 第 ２ ３期
ＶＯ． ６ １３
・
计
算
机
工
程
２１ ０ ０年 １ ２月
Ｄｅ ｅ ｂｅ １ ｃｍ ｒ２０ ０
Ｎｏ ２ ． ３
Ｃｏ ｐｕ ｅ ｇ ｎｅ ｒｎｇ ｍ ｔ ｒＥｎ ｉ ｅ ｉ
开发研 究与设计 技术 ・
源自文库
文章编 １０一 ４ （ １） —ｏ６ ２ 号： ３２ ２ ０２ ２ 一ｏ ０ ８ｏ ３ ６
关键词： 非二 元 量 子码 ；量 子 ＭＤ Ｓ码 ；量 子稳 定 子 码
Ｃｏ ｓｒ ｃｉｎ ｏ ａ ｔ ｍ ｒ ｒｃ ｒ ｅ ｔｎ ｄ ｓｄ ｏ ａ ｒｘ Ｍ ｅｈ ｄ ｎ ｔｕ ｔｏ ｆＱｕ ｎ ｕ Ｅｒ ｏ —ｏ ｒ ｃｉ ｇＣｏ ｅＢａ ｅ ｎ Ｍ ｔｉ ｔ ｏ
ＺＨＯＮＧ ｈ － ｉ ， ＭＡ ｈ ， ＸＵ ＿ｉ Ｓ ｕ ｑｎ Ｚｉ Ｙａｊｅ
（ｎ ｔｔ ｔ ｆＩ ｏ ｍａ ｉ ｇｎ ｅ ｉｇ，ＰＬＡ ｎ ｏ ｍａｉｎ Ｅｎ ｉｅ ｒｎ ｉｅ ｓｔ ＇Ｚｈ ｎ ｚ ｏ ５ ０ ２，Ｃｈｎ ） Ｉ ｓｉｕ ｅｏ ｎｆｒ ｔ ｏｎＥｎ ｉｅ ｒｎ Ｉ ｆ ｒ ｔ０ ｇｎ ｅｉｇ Ｕｎｖ ｒｉｙ ， ｅ ｇ ｈ ｕ４ ０ ０ ｉａ
［ ｙｗ ｒ ｓ ｎ ｎ ｉａ ｙｑ ａ ｔｍ ｏ ｅ ｑ ａ ｔ ｍ Ｓ ｃ ｄ ；ｑ ａ ｔ ｍ ｔ ｂｌ ｅ ｏ ｅ Ｋｅ ｏｄ ］ ｏ ｂｎ ｒ ｕ ｎ ｕ ｃ ｄ ； ｕ ｎ ｕ ＭＤ ｏ ｅ ｕ ｎ ｕ ｓａ ｉｚ ｒ ｄ ｉ ｃ
１ 概 述
量子 纠错 码 ［ ］ 克 服 量 子 消 相 干 的 重要 手 段 ， １是 在量 子 密
［ ｓｒｃ Ａ ｃｒｉｇｔ ｅｒｌｔ ｎ ｈｐｂ ｔ ｅ ｕ ｎｕ ｃｄ ｏｒｓｏ ｄｎ ｏｓｍｐｅｕ ｄｒｃｅ ｒｐ ｎ ｕｎｕ ｓａ ｉｚｒ ｏ ｅ ｈｓ ａ ｅ Ａｂｔａｔ ｃｏｄｎ ｏｔ ｅ ｉ ｓｉ ｅｗｅｎｑ ａ ｔｍ ｏ ｅｃｒｅｐ ｎ ｉｇｔ ｉ ｌ ｎ ｉ ｔｄｇａ ｈａｄｑ ａｔｍ ｔｂｌｅ ｄ ，ｔｉｐ ｐｒ ］ ｈ ａｏ ｅ ｉ ｃ
ｃｎ ｔｕｔ ｎｍｅｈｄｏ ｕ ｎｕ ｅｒｒｃｒｅｔ ｇｃｄ ａｅ ｎｍａｒ ｔｏ．Ｉ ｉｐ ｏ ｅ ａ ｏ ｂｎ ｒ ｕ ｎｕ Ｍ Ｄ ｏ ｅ ［ ， ，３ ａｄ ｏ ｓｒｃｉ ｔｏ ｆ ａ ｔｍ ｒｏ 。ｒｃｉ ｏ ｅｂ ｓｄｏ ｔ ｘｍｅｈ ｄ ｔｓ ｒｖ ｄｔ ｔ ｎ ｉａｙｑ ａ ｔｍ Ｓｃ ｄｓ［ ９５ ３ ３ ｎ ｏ ｑ ｎ ｉ ｈ ｎ
，
Ｅ ８ ４ ３３ ｘｓ ｆｒ ｌｐｉ ｓ ＞３ａｄ［ ９ ３４ ３ ｘｓ ｆｒ ｌｐｉ ｓ ＞７ｂ ｓ ｇｍａｒ ｔｏ ． Ｅ ， ，３ ｅ ｉ ｏ ｌ ｒ ｔ ａ ｍｅ ｐ ｎ Ｅ ，，］ ｐｅ ｉ ｏ ｌ ｒ ｔ ａ ｍｅ ｐ ｙｕ ｉ ｔｉ ｍｅｈ ｄ ｎ ｘ
ｇｉｅ ｈ ｔｂｌ ｅ ｆｔ ｅ ｃ ｎｓｒ ｃｅ ｕ ｎｔｍ ｔｂｌ ｅ ｏ ｅ ｂ ｈｅ ｍａｒｘ ｃ ｒｓ ｏ ｄｎ ｏ ｔ ｉ ｌ ｎ ｉｅ ｔｄ ｇｒｐ ｖ ｓｔ ｅ ｓａ ｉｚ ｒ ｏ ｈ ｏ ｔｕ ｔｄ ｑ ａ ｕ ｓａ ｉｚ ｒ ｃ ｄ ｙ ｔ ｔｉ ｏｒｅｐ ｎ ｉｇ ｔ ｈｅ ｓｍｐ ｅ ｕ ｄｒｃ ｅ ａ ｈ， ａ ｄ ｐ ｏ ｏ ｅ ｉ ｉ ｎ ｒｐ ｓｓａ
种基 于矩阵方法的量子纠错 码构造方法 ， 通过将子矩 阵变换为循环矩 阵， 找到满足特殊性质的矩阵 ， 并证 明对任 意素数 户 ， ＞３ 量子 ＭＤ Ｓ码 ［９ ［， ５３３ ，３ ｐ和［８ ４ ３ ］ 存在 ， ［ ， ，３ ｐ 对任意素数 户 ， ＞７ 量子 ＭＤＳ码［ ９ ３ ４ ］ ［ ， ，３ｐ存在。
２ 图和量 子稳定 子码
本 节 研 究 利 用 简 单 无 向图 构 造 的 量 子 纠错 码 与 量 子 稳 定
钥分配、 纠缠纯化 、 容错 量子 计算 等方 面具有 广泛应用 ， 并保 证了量子通信 的可靠性 。量子纠错码 的一个重要研究课题 就
是构 造 参 数 良好 的 量 子 纠 错 码 ， 中 ， 足 量 子 Ｓ ｇｅｏ 其 满 ｉ ｌ ｎ界 ｎ ｔ
文献标识码： Ａ
中 图分类号： ９８１ １．
基 于 矩 阵 方 法 的 量 子 纠错 码 构 造
钟淑琴 ， 马 智 ， 许亚杰
（ 放 军信 息工 程 大 学 信 息 工程 学 院 ， 州 ４ ０ ０ ） 解 郑 ５ ０ ２
摘
要： 根据 由简单无向图构造 的量子纠错码 与量子稳定子码的炎系， 用与 图对应 的对称矩阵直接给 出量子稳 定子码 的稳 定子， 利 由此提 出一
子码之问 的关系 。设 ｎ ｎ ，２ …， ，一（ ｂ ， ， ∈ 一（１口 ， ％）６ ６ ，ｚ … ）
，
量子 纠错 码 的 图描 述 如 下 ：
设 Ｘ 和 ｙ是 ２个 不 相交 的集 合 ， ｌ ｌ ， ｙｌ 。 且 —ｋ ｌ — ｘ
Ｇ一（ Ｇ ， （ ） Ｖ（ ） Ｅ Ｇ）是一个 以 Ｖ＝Ｖ（ ） Ｇ 一ＸＵＹ为顶点集、 Ｅ— Ｅ（ ＝ＶＸＶ为 边 集 的 加 权 图 ， 的任 意 边 “ Ｇ） 它 ∈Ｅ（ ， ） ｕ ∈
码是参数 良好的量 子纠错码 。图方法被认 为是构造量子纠错 码的好方法。量子纠错码的图描述是 由文 献［］ ３ 提出的 ， 其通 过构造具 有特殊性 质 的图 （ 或者 说矩 阵） 来构 造量子 码 。文 献［ ］ ４ 用此方法构造 出达 到量子 Ｓｎ ｌ ｏ ｉｇｅ ｎ界 的量 子 纠错 码 ｔ ［ ６２ ３ ３ ［ ， ，３ 和［ ７ ３ ３３ 户 ３ 。进 一步地 ， 献［ ］ 出 Ｅ ， ，３ （ ≥ ） 文 ５给 了非二元量子循环码 的图论构造方法 ， 并证 明了对任 意的奇
的权 为 ｎ （ ａ ∈ Ｆ 。 显 然 ， 样 的 图 由 一 ） 这 （ ＋是 × （ ＋志 对 称 矩 阵 ： ｎ ） ）
Ａ— Ａ（ 一 （ ）， ｖ Ｇ） ｎ ｕｖ ｅ
（ 对于任 意一个量子码［ ７ｋ ］ ， ｒ ， ， ≤ｎ ２ ， ｌ ／ 十１ ≥七 一２ ＋２
第３ ６卷 第 ２ ３期
ＶＯ． ６ １３
・
计
算
机
工
程
２１ ０ ０年 １ ２月
Ｄｅ ｅ ｂｅ １ ｃｍ ｒ２０ ０
Ｎｏ ２ ． ３
Ｃｏ ｐｕ ｅ ｇ ｎｅ ｒｎｇ ｍ ｔ ｒＥｎ ｉ ｅ ｉ
开发研 究与设计 技术 ・
源自文库
文章编 １０一 ４ （ １） —ｏ６ ２ 号： ３２ ２ ０２ ２ 一ｏ ０ ８ｏ ３ ６
关键词： 非二 元 量 子码 ；量 子 ＭＤ Ｓ码 ；量 子稳 定 子 码
Ｃｏ ｓｒ ｃｉｎ ｏ ａ ｔ ｍ ｒ ｒｃ ｒ ｅ ｔｎ ｄ ｓｄ ｏ ａ ｒｘ Ｍ ｅｈ ｄ ｎ ｔｕ ｔｏ ｆＱｕ ｎ ｕ Ｅｒ ｏ —ｏ ｒ ｃｉ ｇＣｏ ｅＢａ ｅ ｎ Ｍ ｔｉ ｔ ｏ
ＺＨＯＮＧ ｈ － ｉ ， ＭＡ ｈ ， ＸＵ ＿ｉ Ｓ ｕ ｑｎ Ｚｉ Ｙａｊｅ
（ｎ ｔｔ ｔ ｆＩ ｏ ｍａ ｉ ｇｎ ｅ ｉｇ，ＰＬＡ ｎ ｏ ｍａｉｎ Ｅｎ ｉｅ ｒｎ ｉｅ ｓｔ ＇Ｚｈ ｎ ｚ ｏ ５ ０ ２，Ｃｈｎ ） Ｉ ｓｉｕ ｅｏ ｎｆｒ ｔ ｏｎＥｎ ｉｅ ｒｎ Ｉ ｆ ｒ ｔ０ ｇｎ ｅｉｇ Ｕｎｖ ｒｉｙ ， ｅ ｇ ｈ ｕ４ ０ ０ ｉａ
［ ｙｗ ｒ ｓ ｎ ｎ ｉａ ｙｑ ａ ｔｍ ｏ ｅ ｑ ａ ｔ ｍ Ｓ ｃ ｄ ；ｑ ａ ｔ ｍ ｔ ｂｌ ｅ ｏ ｅ Ｋｅ ｏｄ ］ ｏ ｂｎ ｒ ｕ ｎ ｕ ｃ ｄ ； ｕ ｎ ｕ ＭＤ ｏ ｅ ｕ ｎ ｕ ｓａ ｉｚ ｒ ｄ ｉ ｃ
１ 概 述
量子 纠错 码 ［ ］ 克 服 量 子 消 相 干 的 重要 手 段 ， １是 在量 子 密
［ ｓｒｃ Ａ ｃｒｉｇｔ ｅｒｌｔ ｎ ｈｐｂ ｔ ｅ ｕ ｎｕ ｃｄ ｏｒｓｏ ｄｎ ｏｓｍｐｅｕ ｄｒｃｅ ｒｐ ｎ ｕｎｕ ｓａ ｉｚｒ ｏ ｅ ｈｓ ａ ｅ Ａｂｔａｔ ｃｏｄｎ ｏｔ ｅ ｉ ｓｉ ｅｗｅｎｑ ａ ｔｍ ｏ ｅｃｒｅｐ ｎ ｉｇｔ ｉ ｌ ｎ ｉ ｔｄｇａ ｈａｄｑ ａｔｍ ｔｂｌｅ ｄ ，ｔｉｐ ｐｒ ］ ｈ ａｏ ｅ ｉ ｃ
ｃｎ ｔｕｔ ｎｍｅｈｄｏ ｕ ｎｕ ｅｒｒｃｒｅｔ ｇｃｄ ａｅ ｎｍａｒ ｔｏ．Ｉ ｉｐ ｏ ｅ ａ ｏ ｂｎ ｒ ｕ ｎｕ Ｍ Ｄ ｏ ｅ ［ ， ，３ ａｄ ｏ ｓｒｃｉ ｔｏ ｆ ａ ｔｍ ｒｏ 。ｒｃｉ ｏ ｅｂ ｓｄｏ ｔ ｘｍｅｈ ｄ ｔｓ ｒｖ ｄｔ ｔ ｎ ｉａｙｑ ａ ｔｍ Ｓｃ ｄｓ［ ９５ ３ ３ ｎ ｏ ｑ ｎ ｉ ｈ ｎ
，
Ｅ ８ ４ ３３ ｘｓ ｆｒ ｌｐｉ ｓ ＞３ａｄ［ ９ ３４ ３ ｘｓ ｆｒ ｌｐｉ ｓ ＞７ｂ ｓ ｇｍａｒ ｔｏ ． Ｅ ， ，３ ｅ ｉ ｏ ｌ ｒ ｔ ａ ｍｅ ｐ ｎ Ｅ ，，］ ｐｅ ｉ ｏ ｌ ｒ ｔ ａ ｍｅ ｐ ｙｕ ｉ ｔｉ ｍｅｈ ｄ ｎ ｘ
ｇｉｅ ｈ ｔｂｌ ｅ ｆｔ ｅ ｃ ｎｓｒ ｃｅ ｕ ｎｔｍ ｔｂｌ ｅ ｏ ｅ ｂ ｈｅ ｍａｒｘ ｃ ｒｓ ｏ ｄｎ ｏ ｔ ｉ ｌ ｎ ｉｅ ｔｄ ｇｒｐ ｖ ｓｔ ｅ ｓａ ｉｚ ｒ ｏ ｈ ｏ ｔｕ ｔｄ ｑ ａ ｕ ｓａ ｉｚ ｒ ｃ ｄ ｙ ｔ ｔｉ ｏｒｅｐ ｎ ｉｇ ｔ ｈｅ ｓｍｐ ｅ ｕ ｄｒｃ ｅ ａ ｈ， ａ ｄ ｐ ｏ ｏ ｅ ｉ ｉ ｎ ｒｐ ｓｓａ
种基 于矩阵方法的量子纠错 码构造方法 ， 通过将子矩 阵变换为循环矩 阵， 找到满足特殊性质的矩阵 ， 并证 明对任 意素数 户 ， ＞３ 量子 ＭＤ Ｓ码 ［９ ［， ５３３ ，３ ｐ和［８ ４ ３ ］ 存在 ， ［ ， ，３ ｐ 对任意素数 户 ， ＞７ 量子 ＭＤＳ码［ ９ ３ ４ ］ ［ ， ，３ｐ存在。
２ 图和量 子稳定 子码
本 节 研 究 利 用 简 单 无 向图 构 造 的 量 子 纠错 码 与 量 子 稳 定
钥分配、 纠缠纯化 、 容错 量子 计算 等方 面具有 广泛应用 ， 并保 证了量子通信 的可靠性 。量子纠错码 的一个重要研究课题 就
是构 造 参 数 良好 的 量 子 纠 错 码 ， 中 ， 足 量 子 Ｓ ｇｅｏ 其 满 ｉ ｌ ｎ界 ｎ ｔ
文献标识码： Ａ
中 图分类号： ９８１ １．
基 于 矩 阵 方 法 的 量 子 纠错 码 构 造
钟淑琴 ， 马 智 ， 许亚杰
（ 放 军信 息工 程 大 学 信 息 工程 学 院 ， 州 ４ ０ ０ ） 解 郑 ５ ０ ２
摘
要： 根据 由简单无向图构造 的量子纠错码 与量子稳定子码的炎系， 用与 图对应 的对称矩阵直接给 出量子稳 定子码 的稳 定子， 利 由此提 出一
子码之问 的关系 。设 ｎ ｎ ，２ …， ，一（ ｂ ， ， ∈ 一（１口 ， ％）６ ６ ，ｚ … ）
，
量子 纠错 码 的 图描 述 如 下 ：
设 Ｘ 和 ｙ是 ２个 不 相交 的集 合 ， ｌ ｌ ， ｙｌ 。 且 —ｋ ｌ — ｘ
Ｇ一（ Ｇ ， （ ） Ｖ（ ） Ｅ Ｇ）是一个 以 Ｖ＝Ｖ（ ） Ｇ 一ＸＵＹ为顶点集、 Ｅ— Ｅ（ ＝ＶＸＶ为 边 集 的 加 权 图 ， 的任 意 边 “ Ｇ） 它 ∈Ｅ（ ， ） ｕ ∈