2-sat问题的tarjan算法
2-sat问题是一种布尔可满足性问题，即判断一个由布尔变量和它们的逻辑运算构成的合取范式是否存在可满足的赋值。在计算机科学和逻
辑学中，2-sat问题具有重要的理论和实际意义。为了解决2-sat问题，人们提出了许多有效的算法，其中tarjan算法是一种经典且高效的解
决方法。
1. tarjan算法的概述
tarjan算法是由美国的计算机科学家Robert Tarjan在1972年提出的，它主要用于解决有向图中的强连通分量问题。在2-sat问题中，可以
将布尔变量和它们的逻辑运算构成的合取范式转化为一个有向图。然
后利用tarjan算法来求解图中的强连通分量，从而判断2-sat问题是
否可满足。
2. tarjan算法的原理
tarjan算法的核心是利用深度优先搜索（DFS）来遍历图中的节点，
并且通过维护一个栈来记录搜索路径上的节点。在DFS的过程中，通
过比较节点的深度和搜索路径上的节点的深度来判断是否存在环路，
从而找到强连通分量。利用tarjan算法求解2-sat问题的关键在于将
逻辑运算转化为有向图，同时构建出正确的搜索路径和深度信息，以
便进行强连通分量的判断。
3. tarjan算法的优势
与其他算法相比，tarjan算法具有许多优势。tarjan算法的时间复杂
度为O(V+E)，其中V为图中的节点数，E为图中的边数。这意味着即使在大规模的图中，tarjan算法也能够在合理的时间内得到结果。tarjan算法的实现相对比较简单，只需要进行一次DFS遍历和一些基
本的数据结构操作即可完成。另外，tarjan算法的结果也比较容易理
解和解释，对于2-sat问题的求解具有很好的可解释性。
4. tarjan算法的应用
由于tarjan算法在解决2-sat问题中具有较高的效率和可靠性，因此
它在实际的计算机科学和工程领域得到了广泛的应用。在编译原理中，可以利用tarjan算法进行程序的静态分析和优化；在人工智能和图像
处理中，可以利用tarjan算法对逻辑规则进行推理和推导；在电路设
计和布线规划中，也可以利用tarjan算法对逻辑电路进行布线和优化。可以说，tarjan算法不仅仅是一种理论上的解决方法，更是一种具有
实用价值的工程工具。
5. 结语
tarjan算法作为解决2-sat问题的一种经典算法，具有较高的理论价
值和实际应用意义。它的高效性、可解释性和简单实现性使得它在计
算机科学和工程领域得到了广泛的应用。未来，随着计算机科学和人
工智能领域的不断发展，tarjan算法必将发挥出更大的作用，为解决
诸如布尔可满足性问题等复杂的逻辑计算问题提供更加有效的解决方案。作为一种经典的图论算法，Tarjan算法的应用不仅仅局限于2-sat 问题的解决，它还可以用于其他领域的图论问题，如最强连通分量的
求解、有向图的拓扑排序等。基于Tarjan算法的思想，也衍生出了许多其他的算法和数据结构，为计算机科学领域的发展做出了重要贡献。
1. Tarjan算法在图论领域的应用
除了2-sat问题外，Tarjan算法在图论领域还有许多重要的应用。其
中最为著名的就是求解最强连通分量（strongly connectedponents）的问题。最强连通分量是指在有向图中，任意两个节点都是相互可达
的一组节点集合。通过Tarjan算法求解最强连通分量，不仅能够对图进行有效的分析和优化，而且还可以应用于路由算法、社交网络分析
等领域。
Tarjan算法也可以用于有向图的拓扑排序（topological sorting）。
拓扑排序是指对有向无环图中的节点进行线性排序，使得图中任意一
对顶点u和v，若存在一条从u到v的边，那么在排序后的结果中，u 出现在v的前面。这在任务调度、编译原理、作业调度等领域有着重
要的应用价值。
2. Tarjan算法的衍生算法与数据结构
基于Tarjan算法的思想，还产生了许多其他的重要算法和数据结构。利用Tarjan算法的思想，可以设计出用于解决无向图的双连通分量和边双连通分量的算法。双连通分量是指图中任意两点间都存在至少两
条不相交的路径的一组顶点集合，而边双连通分量则是指图中任意两
点间都存在至少两条边不相交的路径的一组边集合。这对于网络设计
和可靠性分析有着重要的意义。
另外，Tarjan算法也为我们设计强大的数据结构提供了新的思路。利
用Tarjan算法的思想，我们可以设计出用于解决无向图双连通分量和边双连通分量问题的数据结构。这些数据结构在网络设计、可靠性分
析等领域有着广泛的应用。
3. Tarjan算法在实际工程中的应用
在实际工程领域，Tarjan算法也发挥着重要的作用。在电路设计中，
我们可以利用Tarjan算法对逻辑电路进行布线和优化。通过对电路中的逻辑元件进行强连通分量的识别，可以帮助我们理解电路的结构和
性能，并且优化电路的布线和结构。
另一个应用领域是在计算机网络中路由算法的设计。利用Tarjan算法求解最强连通分量，可以帮助我们分析网络中的节点之间的通信关系，
优化路由策略，提高网络的稳定性和可靠性。
4. Tarjan算法的未来发展
随着计算机科学领域的不断发展，Tarjan算法及其衍生算法和思想必将继续发挥重要的作用。未来，我们可以进一步将Tarjan算法与其他算法和数据结构相结合，提出更加高效和强大的解决方案。可以将Tarjan算法应用于新兴的领域，如社交网络分析、大数据处理等，为这些领域的发展提供新的思路和方法。
Tarjan算法作为一种经典的图论算法，不仅在2-sat问题的解决中具有重要的意义，而且在图论领域的其他问题及工程实践中也发挥着重要的作用。随着计算机科学领域的不断发展，Tarjan算法必将继续发挥重要的作用，并为计算机科学和工程领域的发展做出新的贡献。
连通图的割点、割边(桥)、块、缩点,有向图的强连通分量
连通图的割点、割边(桥)、块、缩点，有向图的强连通分量 一、基本概念 无向图 割点：删掉它之后(删掉所有跟它相连的边)，图必然会分裂成两个或两个以上的子图。 块：没有割点的连通子图 割边：删掉一条边后，图必然会分裂成两个或两个以上的子图，又称桥。 缩点：把没有割边的连通子图缩为一个点，此时满足任意两点间都有两条路径相互可达。 求块跟求缩点非常相似，很容易搞混，但本质上完全不同。割点可以存在多个块中(假如存在k个块中)，最终该点与其他点形成k个块，对无割边的连通子图进行缩点后(假设为k个)，新图便变为一棵k个点由k-1条割边连接成的树，倘若其中有一条边不是割边，则它必可与其他割边形成一个环，而能继续进行缩点。 有割点的图不一定有割边，如： 3是割点，分别与(1,2)和(4,5)形成两个无割点的块 有割边的图也不定有割点,如：
w(1,2)为割边， 有向图 强连通分量：有向图中任意两点相互可达的连通子图，其实也相当于无向图中的缩点 二、算法 无向图 借助两个辅助数组dfn[],low[]进行DFS便可找到无向图的割点和割边，用一个栈st[]维护记录块和“缩点”后连通子图中所有的点。 dfn[i]表示DFS过程中到达点i的时间，low[i]表示能通过其他边回到其祖先的最早时间。low[i]=min(low[i],dfn[son[i]]) 设 v,u之间有边w(v,u)，从v->u： 如果low[u]>=dfn[v],说明v的儿子u不能通过其他边到达v的祖先，此时如果拿掉v,则必定把v的祖先和v的儿子u，及它的子孙分开，于是v便是一个割点，v和它的子孙形成一个块。 如果low[u]>dfn[v]时，则说明u不仅不能到达v的祖先，连v也不能通过另外一条边直接到达，从而它们之间的边w(v,u)便是割边，求割边的时候有一个重边的问题要视情况处理，如果v,u之间有两条无向边，需要仍视为割边的话，则在DFS的时候加一个变量记录它的父亲,下一步遇到父结点时不扩展回去，从而第二条无向重边不会被遍历而导致low[u]==dfn[v] ,而在另外一些问题中，比如电线连接两台设备A,B 如果它们之间有两根电线，则应该视为是双连通的，因为任何一条电线出问题都不会破坏A和B之间的连通性，这个时候，我们可以用一个used[]数组标记边的id,DFS时会把一条无向边拆成两条有向边进行遍历,但我们给它们俩同一个id号，在开始遍历v->u前检查它的id是否在上一次u->v 时被标记，这样如果两点之间有多条边时，每次遍历都只标记其中一条，还可以通过其他边回去，形成第二条新的路 求割点的时候，维护一个栈st 每遍历到一个顶点v则把它放进去，对它的子孙u如果dfn[u]为0，则表示还没有遍历到则先DFS(u),之后再判断low[u]和dfn[v]，如果low[u]>=dfn[v],则把栈中从栈顶到v这一系列元素弹出，这些点与v 形成一个块，如果u的子孙x也是一个割点，这样做会不会错把它们和v，u放在一起形成一个块呢，这种情况是不会发生的，如果发现x是一个割点，则DFS 到x那一步后栈早就把属于x的子孙弹出来了，而只剩下v,u的子孙，它们之间不存在割点，否则在回溯到v之前也早就提前出栈了！画一个图照着代码模拟一下可以方便理解。 求割边也是一样的。
算法模板
Sakura模板 目录 Sakura模板 (1) Java (4) 数论 (7) C(n,m)相关： (7) c(n,k)奇偶判定： (7) c(n,m)%p(小数据,预处理)： (7) c(n,m)%p(大数据)： (9) N！相关： (10) n!的位数(斯特林公式) (10) n!快速分解 (11) n!末尾非零位 (11) 费马定理 (12) 费马大定理(费马最后定理) (12) 费马小定理 (12) 欧几里德与扩展欧几里德 (12) 欧几里得辗转相除法 (12) 扩展欧几里德 (12) 扩展欧几里德推广 (13) 欧拉函数 (14) 欧拉函数1 (14) 欧拉函数2 (14) 筛选法求欧拉函数 (15) 素数 (16) prim筛选法 (16) 素数的测试算法Miller_Rabin (16) 反素数 (18) 反素数的性质 (18) 不大于n的最大反素数 (18) 反素数表 (19) 孪生素数 (19) 伪素数 (20) 中国剩余定理 (20) 中国余数定理(互质) (20)
中国剩余定理(不互质) (21) 分数的最小公倍数 (23) a^b模mod (23) n^n的第一位 (23) 大素数判定和大整数分解 (24) 分数 (27) 哥德巴赫猜想 (28) 勾股数组 (28) 常见勾股数 (29) 矩阵快速幂 (30) 不大于n的所有与n互质数的和 (31) 求一个三元组使其两两互质 (31) gcd(n,i)求和 (32) 积性函数 (34) 常见积性函数 (34) Farey序列构造 (34) Farey总数 (35) 组合数学 (36) 常用公式 (36) 置换问题 (36) Gray码 (38) 整数划分 (38) 卡特兰数 (38) stirling数 (38) 第一类stirling数 (38) 第二类stirling数 (38) Fibonacci数 (39) Bell数 (39) Pell方程 (39) polya定理 (41) (点权+边权限制)KMP+乘法逆元+polya (41) (两种颜色不相邻)矩阵快速幂+乘法逆元+polya (43) polya(旋转+翻转) (46) 计算几何 (48) 几何公式 (48) 线段相关 (50) 多边形 (52) 浮点函数 (55) 三角形 (60)
算法分析习题参考答案第八章
1．二元可满足性问题 2SAT 例：给定布尔变量的一个有限集合{}n u u u U ,,,21 =及定义其上的子句{}m c c c C ,,,21 =，其中m k c k ,,2,1,2|| ==。 问：是否存在U 的一个真赋值，使得C 中所有的子句均被满足？ 证明： 2SAT 是P －类问题。为叙述方便，采用数理逻辑中的“合取式”表达逻辑命题，于是 ∏∏==+==∧∧∧=m k k k m k k m y x c c c c C 1121)( 其中j i c c ?表示逻辑“与”，k k y x +表示逻辑“或”，k k y x ,是某个j u 或i u 。 考虑表达式∏=+=m k k k y x C 1)(，如果有某个i i k k u u y x +=+，则在乘积式中可以去掉该子句：)(\'i i u u C C +=，可见C 与'C 的可满足性是等价的。所以我们可以假定C 中不含有形如i i u u +的子句。注意到此时C 中的子句个数不会超过)1(-n n 。 如果逻辑变量n u 或它的非n u 在C 的某个子句中出现，我们将C 表示成 )())(()(11h n n k n n z u z u y u y u G C ++++?= （1） 其中G 是C 的一部分子句，而且不出现逻辑变量i u 或它的非i u 。令 ∏≤≤≤≤+? =h j k i j i z y G C 1,1)(' （2） (2)式中不再含有变量n u 和它的非n u 。记{}121,,,'-=n u u u U 。如果存在U 的真赋值，使得C 满足，在'U 也一定满足。 因为如果n u 取真值，则所有的j z 必然取真值；n u 取假值，所有的i y 必然都取真值，不管那中情况，'C 的乘积部分必然取真值。反之，假设存在'U 的真赋值，使得'C 满足。若有某个i y 取假值，则所有的j z 必然取真值，此时令n u 取真值，得到U 的真赋值，使得C 满足。若有某个j z 取假值，则令n u 取假值，得到U 的真赋值，使得C 满足。如果所有的i y 和j z 都取真值，n u 取假值得到U 的真赋值，使得C 满足。
求强连通分量的Kosaraju算法和Tarjan算法的比较 by ljq
求强连通分量的Kosaraju算法和Tarjan算法的比较 一、定义 在有向图中，如果两个顶点vi,vj间有一条从vi到vj的有向路径，同时还有一条从vj到vi的有向路径，则称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图的每两个顶点都强连通，则称该有向图是一个强连通图。非强连通的有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。 而对于一个无向图，讨论强连通没有意义，因为在无向图中连通就相当于强连通。 由一个强连通分量内的所有点所组成的集合称为缩点。在有向图中的所有缩点和所有缩点之间的边所组成的集合称为该有向图的缩图。 例子： 原图： 缩图： 上面的缩图中的 缩点1包含：1、2,；缩点2包含：3； 缩点3包含：4；缩点4包含：5、6、7。
二、求强连通分量的作用 把有向图中具有相同性质的点找出来，形成一个集合（缩点），建立缩图，能够方便地进行其它操作，而且时间效率会大大地提高，原先对多个点的操作可以简化为对它们所属的缩点的操作。 求强连通分量常常用于求拓扑排序之前，因为原图往往有环，无法进行拓扑排序，而求强连通分量后所建立的缩图则是有向无环图，方便进行拓扑排序。 三、Kosaraju算法 时间复杂度：O（M+N）注：M代表边数，N代表顶点数。 所需的数据结构：原图、反向图（若在原图中存在vi到vj的有向边，在反向图中就变成为vj到vi的有向边）、标记数组（标记是否遍历过）、一个栈（或记录顶点离开时间的数组）。 算法描叙： 步骤1：对原图进行深度优先遍历，记录每个顶点的离开时间。 步骤2：选择具有最晚离开时间的顶点，对反向图进行深度优先遍历，并标记能够遍历到的顶点，这些顶点构成一个强连通分量。 步骤3：如果还有顶点没有遍历过，则继续进行步骤2，否则算法结束。 hdu1269（Kosaraju算法）代码： #include
算法学习：图论之图的割点,桥,双连通分支
图的割点、桥与双连通分支 [点连通度与边连通度] 在一个无向连通图中，如果有一个顶点集合，删除这个顶点集合，以及这个集合中所有顶点相关联的边以后，原图变成多个连通块，就称这个点集为割点集合。一个图的点连通度的定义为，最小割点集合中的顶点数。 类似的，如果有一个边集合，删除这个边集合以后，原图变成多个连通块，就称这个点集为割边集合。一个图的边连通度的定义为，最小割边集合中的边数。 注：以上定义的意思是，即有可能删除两个或两个以上点的时候才能形成多个连通块！ [双连通图、割点与桥] 如果一个无向连通图的点连通度大于1，则称该图是点双连通的(point biconnected)，简称双连通或重连通。一个图有割点，当且仅当这个图的点连通度为1，则割点集合的唯一元素被称为割点(cut point)，又叫关节点(articulation point)。 如果一个无向连通图的边连通度大于1，则称该图是边双连通的(edge biconnected)，简称双连通或重连通。一个图有桥，当且仅当这个图的边连通度为1，则割边集合的唯一元素被称为桥(bridge)，又叫关节边(articulation edge)。 可以看出，点双连通与边双连通都可以简称为双连通，它们之间是有着某种联系的，下文中提到的双连通，均既可指点双连通，又可指边双连通。 [双连通分支] 在图G的所有子图G’中，如果G’是双连通的，则称G’为双连通子图。如果一个双连通子图G’它不是任何一个双连通子图的真子集，则G’为极大双连通子图。双连通分支(biconnected component)，或重连通分支，就是图的极大双连通子图。特殊的，点双连通分支又叫做块。
tarjan算法的原理
tarjan算法的原理 Tarjan算法原理及应用 一、引言 Tarjan算法是一种用于图的深度优先搜索的算法，它可以在无向图或有向图中找到所有强连通分量。这个算法由美国计算机科学家Robert Tarjan于1972年提出，被广泛应用于图论和算法领域。本文将介绍Tarjan算法的原理及其应用。 二、Tarjan算法原理 1. 深度优先搜索 Tarjan算法是基于深度优先搜索的，深度优先搜索是一种图遍历算法，从一个顶点出发，沿着一条路径一直往下走，直到不能再走为止，然后回溯到前一个顶点，继续向未走过的路径探索。这种搜索方式可以用递归或栈来实现。 2. 强连通分量 在图中，如果任意两个顶点之间都存在路径，那么它们构成一个强连通分量。强连通分量是图中的一个重要概念，它可以帮助我们理解图结构的特性。 3. Tarjan算法步骤 Tarjan算法通过深度优先搜索来寻找强连通分量，其具体步骤如下：（1）初始化。将所有顶点标记为未访问状态，定义一个栈来保存已
经访问的顶点。 （2）深度优先搜索。从图中的任意一个未访问的顶点开始进行深度优先搜索。 （3）标记顶点。在搜索过程中，对每个顶点进行标记，记录其访问顺序（也称为时间戳）和能够到达的最小时间戳。 （4）寻找强连通分量。当一个顶点的访问顺序等于能够到达的最小时间戳时，说明它是一个强连通分量的根节点。通过弹出栈中的顶点，可以找到该强连通分量中的所有顶点。 三、Tarjan算法应用 Tarjan算法在图论和算法设计中有着广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景： 1. 强连通分量的查找 Tarjan算法可以高效地找到图中的所有强连通分量。这对于解决一些实际问题非常有用，比如社交网络中的群组划分、电路中的等价关系判断等。 2. 有向图的可达性分析 在有向图中，Tarjan算法可以用来判断两个顶点之间是否存在路径。这对于解决一些路径相关的问题非常有帮助，比如寻找关键路径、判断死锁等。 3. 编译器优化
POJ分类
POJ上一些题目在 http://162.105.81.202/course/problemSolving/ 可以找到解题报告。 《算法艺术与信息学竞赛》的习题提示在网上可搜到 一.动态规划 参考资料： 刘汝佳《算法艺术与信息学竞赛》 《算法导论》 推荐题目： https://www.360docs.net/doc/dc19165184.html,/JudgeOnline/problem?id=1141 简单 https://www.360docs.net/doc/dc19165184.html,/JudgeOnline/problem?id=2288 中等，经典TSP问题 https://www.360docs.net/doc/dc19165184.html,/JudgeOnline/problem?id=2411 中等，状态压缩DP https://www.360docs.net/doc/dc19165184.html,/JudgeOnline/problem?id=1112 中等 https://www.360docs.net/doc/dc19165184.html,/JudgeOnline/problem?id=1848 中等，树形DP。 可参考《算法艺术与信息学竞赛》动态规划一节的树状模型 https://www.360docs.net/doc/dc19165184.html,/show_problem.php?pid=1234 中等，《算法艺术与信息学竞赛》中的习题 https://www.360docs.net/doc/dc19165184.html,/JudgeOnline/problem?id=1947 中等，《算法艺术与信息学竞赛》中的习题 https://www.360docs.net/doc/dc19165184.html,/JudgeOnline/problem?id=1946 中等，《算法艺术与信息学竞赛》中的习题 https://www.360docs.net/doc/dc19165184.html,/JudgeOnline/problem?id=1737 中等，递推 https://www.360docs.net/doc/dc19165184.html,/JudgeOnline/problem?id=1821 中等，需要减少冗余计算 https://www.360docs.net/doc/dc19165184.html,/show_problem.php?pid=2561 中等，四边形不等式的简单应用
图的连通性检测方法
图的连通性检测方法 图论是数学的一个分支，研究图形结构以及图形之间的关系。在图 论中，连通性是一个重要的概念，用于描述图中的节点或顶点之间是 否存在路径相连。连通性检测方法是用来确定一个图是否是连通图的 方法。本文将介绍几种常用的图的连通性检测方法。 一、深度优先搜索（DFS） 深度优先搜索是一种常用的图遍历算法，也可以用来检测图的连通性。该方法从图中的一个顶点开始，沿着一条路径尽可能深的搜索， 直到到达无法继续搜索的节点，然后回溯到上一个节点，继续搜索其 他路径。具体步骤如下： 1. 选择一个起始节点作为根节点。 2. 遍历该节点的邻接节点，并标记为已访问。 3. 递归的访问未访问过的邻接节点，直到所有节点都被访问过。 4. 如果所有节点都被访问过，则图是连通的；否则，图是不连通的。 DFS算法的时间复杂度为O(V+E)，其中V是节点数，E是边数。 二、广度优先搜索（BFS） 广度优先搜索也是一种常用的图遍历算法，同样可以用来检测图的 连通性。该方法从图中的一个顶点开始，先访问其所有邻接节点，然 后再依次访问它们的邻接节点。具体步骤如下：
1. 选择一个起始节点作为根节点。 2. 将该节点加入一个队列中。 3. 从队列中取出一个节点，并标记为已访问。 4. 遍历该节点的邻接节点，将未访问过的节点加入队列中。 5. 重复步骤3和步骤4，直到队列为空。 6. 如果所有节点都被访问过，则图是连通的；否则，图是不连通的。 BFS算法的时间复杂度同样为O(V+E)。 三、并查集 并查集是一种数据结构，常用于解决图的连通性问题。它可以高效 地合并集合和判断元素是否属于同一个集合。具体步骤如下： 1. 初始化并查集，每个节点都是一个独立的集合。 2. 遍历图中的每条边，将边的两个节点合并到同一个集合中。 3. 判断图是否连通的方法是查找两个节点是否属于同一个集合。 并查集的时间复杂度为O(V+E)。 四、最小生成树 最小生成树是指一个连通图的生成树，其所有边的权值之和最小。 如果一个图是连通的，那么它的最小生成树就是它本身。因此，可以
Tarjan算法
[有向图强连通分量] 在有向图G中，如果两个顶点间至少存在一条路径，称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。 下图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。 直接根据定义，用双向遍历取交集的方法求强连通分量，时间复杂度为 O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法，两者的时间复杂度都是O(N+M)。本文介绍的是Tarjan算法。 [Tarjan算法] Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。 定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳)，Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。由定义可以得出， Low(u)=Min{DFN(u),Low(v),(u,v)为树枝边，u为v的父节点 DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边(非横叉边)} 当DFN(u)=Low(u)时，以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。 算法伪代码如下
tarjan(u) { DFN[u]=Low[u]=++Index // 为节点u设定次序编号和Low初值 Stack.push(u)// 将节点u压入栈中 for each (u, v) in E // 枚举每一条边 if(v is not visted)// 如果节点v未被访问过 tarjan(v)// 继续向下找 Low[u]= min(Low[u], Low[v]) else if(v in S)// 如果节点u还在栈内 Low[u]= min(Low[u], DFN[v]) if(DFN[u]== Low[u])// 如果节点u是强连通分量的根 repeat v = S.pop// 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点 print v until (u== v) } 接下来是对算法流程的演示。 从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时， DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。 返回节点5，发现DFN[5]=LOW[5]，退栈后{5}为一个强连通分量。
tarjan LCA 算法
tarjan LCA 算法 2009-03-26 02:14 LCA是求最近公共祖先问题， tarjan的算法是离线算法，时间复杂度为O(n＋Q)，n为数据规模，Q为询问个数 其中用到并查集。关键是dfs的主循环比较重要。离线算法就是对每个查询，都要求以下，此算法在lrj的黑书中简单提起过，后边还有O（n）－o（1）的算法，正在研究中。。。 分类，使每个结点都落到某个类中，到时候只要执行集合查询，就可以知道结点的LCA了。 对于一个结点u，类别有以u为根的子树、除类一以外的以f(u)为根的子树、除前两类以外的以f(f(u))为根的子树、除前三类以外的以f(f(f(u)))为根的子树…… 类一的LCA为u,类二为f(u),类三为f(f(u)),类四为f(f(f(u)))。这样的分类看起来好像并不困难。但关键是查询是二维的，并没有一个确定的u。接下来就是这个算法的巧妙之处了。 利用递归的LCA过程。当lca(u)执行完毕后，以u为根的子树已经全部并为了一个集合。而一个lca的内部实际上做了的事就是对其子结点，依此调用lca.当v1(第一个子结点)被lca，正在处理v2的时候，以v1为根的子树＋u同在一个集合里，f(u)+编号比u小的u的兄弟的子树同在一个集合里，f(f(u)) + 编号比f(u)小的f(u)的兄弟的子树同在一个集合里……而这些集合，对于v2的LCA都是不同的。因此只要查询x在哪一个集合里，就能知道 LCA(v2,x) 还有一种可能，x不在任何集合里。当他是v2的儿子，v3,v4等子树或编号比ｕ大的ｕ的兄弟的子树（等等）时，就会发生这种情况。即还没有被处理。还没有处理过的怎么办？把一个查询(x1,x2)往查询列表里添加两次，一次添加到x1的列表里，一次添加到x2的列表里，如果在做x1的时候发现 x2已经被处理了，那就接受这个询问。（两次中必定只有一次询问被接受） 其他介绍： 首先，Tarjan算法是一种离线算法，也就是说，它要首先读入所有的询问（求一次LCA叫做一次询问），然后并不一定按照原来的顺序处理这些询问。而打乱这个顺序正是这个算法的巧妙之处。看完下文，你便会发现，如果偏要按原来的顺序处理询问，Tarjan算法将无法进行。Tarjan算法是利用并查集来实现的。它按DFS的顺序遍历整棵树。对于每个结点x，它进行以下几步操作： * 计算当前结点的层号lv[x]，并在并查集中建立仅包含x结点的集合，即 root[x]:=x。 * 依次处理与该结点关联的询问。 * 递归处理x的所有孩子。 * root[x]:=root[father[x]]（对于根结点来说，它的父结点可以任选一个，反正这是最后一步操作了）。
2-sat问题的tarjan算法
2-sat问题是一种布尔可满足性问题，即判断一个由布尔变量和它们的逻辑运算构成的合取范式是否存在可满足的赋值。在计算机科学和逻 辑学中，2-sat问题具有重要的理论和实际意义。为了解决2-sat问题，人们提出了许多有效的算法，其中tarjan算法是一种经典且高效的解 决方法。 1. tarjan算法的概述 tarjan算法是由美国的计算机科学家Robert Tarjan在1972年提出的，它主要用于解决有向图中的强连通分量问题。在2-sat问题中，可以 将布尔变量和它们的逻辑运算构成的合取范式转化为一个有向图。然 后利用tarjan算法来求解图中的强连通分量，从而判断2-sat问题是 否可满足。 2. tarjan算法的原理 tarjan算法的核心是利用深度优先搜索（DFS）来遍历图中的节点， 并且通过维护一个栈来记录搜索路径上的节点。在DFS的过程中，通 过比较节点的深度和搜索路径上的节点的深度来判断是否存在环路， 从而找到强连通分量。利用tarjan算法求解2-sat问题的关键在于将 逻辑运算转化为有向图，同时构建出正确的搜索路径和深度信息，以 便进行强连通分量的判断。
3. tarjan算法的优势 与其他算法相比，tarjan算法具有许多优势。tarjan算法的时间复杂 度为O(V+E)，其中V为图中的节点数，E为图中的边数。这意味着即使在大规模的图中，tarjan算法也能够在合理的时间内得到结果。tarjan算法的实现相对比较简单，只需要进行一次DFS遍历和一些基 本的数据结构操作即可完成。另外，tarjan算法的结果也比较容易理 解和解释，对于2-sat问题的求解具有很好的可解释性。 4. tarjan算法的应用 由于tarjan算法在解决2-sat问题中具有较高的效率和可靠性，因此 它在实际的计算机科学和工程领域得到了广泛的应用。在编译原理中，可以利用tarjan算法进行程序的静态分析和优化；在人工智能和图像 处理中，可以利用tarjan算法对逻辑规则进行推理和推导；在电路设 计和布线规划中，也可以利用tarjan算法对逻辑电路进行布线和优化。可以说，tarjan算法不仅仅是一种理论上的解决方法，更是一种具有 实用价值的工程工具。 5. 结语 tarjan算法作为解决2-sat问题的一种经典算法，具有较高的理论价 值和实际应用意义。它的高效性、可解释性和简单实现性使得它在计
强连通分量的三种算法
有向图中, u可达v不一定意味着v可达u. 相互可达则属于同一个强连通分量(S trongly Connected Component, SCC) 最关键通用部分：强连通分量一定是图的深搜树的一个子树。 一、Kosaraju算法 1. 算法思路 基本思路： 这个算法可以说是最容易理解，最通用的算法，其比较关键的部分是同时应用了原图G和反图GT。(步骤1)先用对原图G进行深搜形成森林(树)，（步骤2）然后任选一棵树对其进行深搜(注意这次深搜节点A能往子节点B走的要求是EAB存在于反图GT)，能遍历到的顶点就是一个强连通分量。余下部分和原来的森林一起组成一个新的森林，继续步骤2直到没有顶点为止。 改进思路： 当然，基本思路实现起来是比较麻烦的(因为步骤2每次对一棵树进行深搜时，可能深搜到其他树上去，这是不允许的，强连通分量只能存在单棵树中(由开篇第一句话可知))，我们当然不这么做，我们可以巧妙的选择第二深搜选择的树的顺序，使其不可能深搜到其他树上去。想象一下，如果步骤2是从森林里选择树，那么哪个树是不连通(对于GT来说)到其他树上的呢？就是最后遍历出来的树，它的根节点在步骤1的遍历中离开时间最晚，而且可知它也是该树中离开时间最晚的那个节点。这给我们提供了很好的选择，在第一次深搜遍历时，记录时间i离开的顶点j，即numb[i] =j。那么，我们每次只需找到没有找过的顶点中具有最晚离开时间的顶点直接深搜(对于GT来说)就可以了。每次深搜都得到一个强连通分量。 隐藏性质: 分析到这里，我们已经知道怎么求强连通分量了。但是，大家有没有注意到我们在第二次深搜选择树的顺序有一个特点呢？如果在看上述思路的时候，你的脑子在思考，相信你已经知道了！！！它就是：如果我们把求出来的每个强连通分量收缩成一个点，并且用求出每个强连通分量的顺序来标记收缩后的节点，那么这个顺序其实就是强连通分量收缩成点后形成的有向无环图的拓扑序列。为什么呢？首先，应该明确搜索后的图一定是有向无环图呢？废话，如果还有环，那么环上的顶点对应的所有原来图上的顶点构成一个强连通分量，而不是构成环上那么多点对应的独自的强连通分量了。然后就是为什么是拓扑序列，我们在改进分析的时候，不是先选的树不会连通到其他树上（对于反图GT来说），也就是后选的树没有连通到先选的树，也即先出现的强连通分量收缩的点只能指向后出现的强连通分量收缩的点。那么拓扑序列不是理所当然的吗？这就是Kosaraju算法的一个隐藏性质。 2. 伪代码 Kosaraju_Algorithm: step1：对原图G进行深度优先遍历，记录每个节点的离开时间。
最近公共祖先LCA(C++版)
LCA 最近公共祖先 首先是最近公共祖先的概念(什么是最近公共祖先？)： 在一棵没有环的树上，每个节点肯定有其父亲节点和祖先节点，而最近公共祖先，就是两个节点在这棵树上深度最大的公共的祖先节点。 换句话说，就是两个点在这棵树上距离最近的公共祖先节点。 所以LCA主要是用来处理当两个点仅有唯一一条确定的最短路径 时的路径。 有人可能会问：那他本身或者其父亲节点是否可以作为祖先节点 呢？ 答案是肯定的，很简单，按照人的亲戚观念来说，你的父亲也是你 的祖先，而LCA还可以将自己视为祖先节点。 举个例子吧，如下图所示４和５的最近公共祖先是２，５和３的最 近公共祖先是１，２和１的最近公共祖先是１。 这就是最近公共祖先的基本概念了，那么我们该如何去求这个最近 公共祖先呢？ 通常初学者都会想到最简单粗暴的一个办法：对于每个询问，遍历所有的点，时间复杂度为O(n*q)，很明显，n和q一般不会很小。 常用的求LCA的算法有：Tarjan/DFS+ST/倍增 后两个算法都是在线算法，也很相似，时间复杂度在O(logn)~O(nlogn)之间。 什么是Tarjan(离线(塔尔杨))算法呢？顾名思义，就是在一次遍历中把所有询问一次性解决，所以其时间复杂度是O(n+q)。 Tarjan算法的优点在于相对稳定，时间复杂度也比较居中，也很容易理解。 下面详细介绍一下Tarjan算法的基本思路： 1.任选一个点为根节点，从根节点开始。 2.遍历该点u所有子节点v，并标记这些子节点v已被访问过。 3.若是v还有子节点，返回2，否则下一步。 4.合并v到u上。 5.寻找与当前点u有询问关系的点v。 6.若是v已经被访问过了，则可以确认u和v的最近公共祖先为v被合并到的父亲节点a。 遍历的话需要用到dfs来遍历(我相信来看的人都懂吧...)，至于合并，最优化的方式就是利用并查集来合并两个节点。 下面上伪代码： 1 Tarjan(u)//marge和find为并查集合并函数和查找函数 2 { 3for each(u,v) //访问所有u子节点v 4{ 5Tarjan(v); //继续往下遍历 6marge(u,v); //合并v到u上 7标记v被访问过; 8} 9for each(u,e) //访问所有和u有询问关系的e 10{ 11如果e被访问过; 12u,e的最近公共祖先为find(e); 13} 14 }
c++中tarjan算法求割点
C++中 Tarjan 算法求割点 一、概述 Tarjan 算法是一种用于图论中寻找割点和桥的经典算法。在C++ 中，我们可以利用 Tarjan 算法来高效地求解图中的割点问题，本文将详细介绍 Tarjan 算法在 C++ 中的实现方法。 二、什么是割点？ 在图论中，割点又被称为关节点或者关节，指的是在图中去掉该点以 及与该点相连的边后，原图被分为多个连通分量。割点可以用于判断 图的连通性，以及在网络中寻找连接关键节点的路径。 三、Tarjan 算法原理 Tarjan 算法是一种通过深度优先搜索（DFS）来寻找图中割点的算法。其基本原理是利用 DFS 遍历图，并利用节点的深度和祖先节点的信息来判断是否是割点。 四、C++ 实现 我们需要包含一些必要的头文件： ```cpp #include
#include
vector
ACMer需要掌握的算法讲解
ACM主要算法介绍 初期篇 一、基本算法 (1)枚举(poj1753, poj2965) (2)贪心(poj1328, poj2109, poj2586) (3)递归和分治法 (4)递推 (5)构造法(poj3295) (6)模拟法(poj1068, poj2632, poj1573, poj2993, poj2996) 二、图算法 (1)图的深度优先遍历和广度优先遍历 (2)最短路径算法(dijkstra, bellman-ford, floyd, heap+dijkstra)(poj1860, poj3259, poj1062, poj2253, poj1125, poj2240) (3)最小生成树算法(prim, kruskal)(poj1789, poj2485, poj1258, poj3026) (4)拓扑排序(poj1094) (5)二分图的最大匹配(匈牙利算法)(poj3041, poj3020) (6)最大流的增广路算法(KM算法)(poj1459, poj3436) 三、数据结构 (1)串(poj1035, poj3080, poj1936) (2)排序(快排、归并排(与逆序数有关)、堆排)(poj2388, poj2299) (3)简单并查集的应用 (4)哈希表和二分查找等高效查找法(数的Hash, 串的Hash)(poj3349, poj3274, POJ2151, poj1840, poj2002, poj2503)
(5)哈夫曼树(poj3253) (6)堆 (7)trie树(静态建树、动态建树)(poj2513) 四、简单搜索 (1)深度优先搜索(poj2488, poj3083, poj3009, poj1321, poj2251) (2)广度优先搜索(poj3278, poj1426, poj3126, poj3087, poj3414) (3)简单搜索技巧和剪枝(poj2531, poj1416, poj2676, 1129) 五、动态规划 (1)背包问题(poj1837, poj1276) (2)型如下表的简单DP(可参考lrj的书page149)： 1.E[j]=opt{D+w(i,j)} (poj3267, poj1836, poj1260, poj2533) 2.E[i,j]=opt{D[i-1,j]+xi,D[i,j-1]+yj,D[i-1][j-1]+zij} (最长公共子序列)(poj3176, poj1080, poj1159) 3.C[i,j]=w[i,j]+opt{C[i,k-1]+C[k,j]} (最优二分检索树问题) 六、数学 (1)组合数学 1.加法原理和乘法原理 2.排列组合 3.递推关系(poj3252, poj1850, poj1019, poj1942) (2)数论 1.素数与整除问题 2.进制位
布尔可满足性问题的复杂性分析
布尔可满足性问题的复杂性分析布尔可满足性问题（Boolean Satisfiability Problem, SAT）是计算机科学中的一个重要问题。它涉及对一个布尔公式是否存在可满足的赋值进行判定。在算法和理论计算中，对于布尔可满足性问题的复杂性进行准确的分析是至关重要的。 复杂性理论是研究计算问题难度与算法效率的一个分支。在复杂性理论中，主要关注的是如何分类问题的难度，并且寻找有效的算法来解决不同类别的问题。布尔可满足性问题被认为是计算机科学中最重要的问题之一，其复杂性分析也备受研究者的关注。 为了分析布尔可满足性问题的复杂性，我们可以从多个角度进行讨论。其中一个角度是问题的可决定性，即问题是否可以用算法进行判定。具体地说，对于一个给定的布尔公式，我们是否存在一个算法可以判定该公式是否可满足。研究人员已经证明，SAT问题是一个可决定问题，即对于任何给定的布尔公式，一定存在一个算法可以判断其是否可满足。 另一个角度是问题的复杂性类别。在复杂性理论中，问题可以分为多个复杂性类别，如P类、NP类、NPC类等。P类问题是可以在多项式时间内求解的问题，而NP类问题则是可以在多项式时间内验证一个解的问题。在这些类别中，我们希望能够将SAT问题准确定位于某个类别中，以便更好地了解其难度和解决方法。然而，SAT问题至今仍然是一个未解决的问题。尽管如此，研究者们在不同情况下对SAT问题的复杂性进行了广泛的探索。
除了问题的复杂性类别，我们还可以从算法的角度来分析SAT问题的复杂性。对于SAT问题的求解，有多种算法可供选择。其中一种传统的算法是穷举法，即对所有可能的变量赋值进行尝试，直到找到一个满足条件的赋值或者穷举所有情况。然而，穷举法的时间复杂度非常高，随着变量数量的增加，问题的求解时间呈指数级增长。为了提高求解效率，研究者们提出了各种改进的算法，如分支定界法、启发式搜索等。这些算法通常基于特定问题结构的特性，以更加智能化的方式搜索可满足的赋值。 此外，近年来还出现了一种新的算法思想，即基于约束满足问题（CSP）的方法。CSP是一种常见的问题求解模型，它将问题转化为一组变量及其相互关系的约束条件。通过将SAT问题转化为CSP问题，并应用现有的CSP求解算法，可以有效地解决SAT问题。这种思路的发展为SAT问题的复杂性分析提供了新的角度。 综上所述，布尔可满足性问题的复杂性分析是计算机科学中一个重要的研究方向。目前，研究者们通过可决定性、复杂性类别、算法等角度对该问题进行了深入研究。未来，我们期待更多的理论突破和算法创新，以进一步揭示SAT问题的复杂性本质，并为求解SAT问题提供更高效的方法。
布尔可满足性问题的启发式算法
布尔可满足性问题的启发式算法 1. 引言 布尔可满足性问题（Boolean Satisfiability Problem，简称SAT）是计算机科学中的重要问题之一。给定一个布尔表达式，判断是否存在一组变量的赋值，使得该表达式为真。SAT问题在计算复杂性理论和实际应用中都有广泛应用，例如在电路设计、人工智能和软件验证等领域。由于SAT问题的NP完全性质，直接求解其解空间是非常困难的。因此，研究者们提出了各种启发式算法来寻找SAT问题的解。本文将介绍几种常见的SAT启发式算法及其应用。 2. 硬子句启发式算法 硬子句启发式算法是求解SAT问题的一种常用算法。该算法通过维护一个子句集合，并不断地删除满足某些条件的硬子句，直到找到满足整个布尔表达式的解。具体步骤如下： 1) 初始化子句集合为全部子句； 2) 选择一个硬子句； 3) 根据选定的硬子句，删除所有包含该硬子句的子句； 4) 重复步骤2和步骤3，直到找到解或遍历完所有硬子句。 硬子句启发式算法具有简单、高效的特点，在实际应用中取得了较好的效果。 3. 改进的迭代下降算法
迭代下降算法是另一种常见的SAT启发式算法。该算法通过迭代搜索的方式来逐渐减小不满足子句的数量，直到找到一个满足整个布尔表达式的解。改进的迭代下降算法在传统迭代下降算法的基础上进行了一些优化，包括随机选择变量的策略、学习新的子句等。具体步骤如下： 1) 随机初始化一个解； 2) 遍历所有子句，找到不满足的子句； 3) 根据某种策略选择一个变量，翻转其取值，并更新解； 4) 重复步骤2和步骤3，直到找到解或达到最大迭代次数。 改进的迭代下降算法具有较好的随机性和局部搜索能力，能够在较短时间内找到满足要求的解。 4. 模拟退火算法 模拟退火算法是一种启发式算法，常用于求解优化问题。在SAT 问题中，可以将满足子句的数量作为目标函数，通过模拟物质退火的过程来搜索最优解。具体步骤如下： 1) 初始化一个解； 2) 每次迭代时，随机选择一个变量翻转其取值，并计算新解对应的目标函数值； 3) 根据一定的准则决定是否接受新解，如果接受则更新当前解；
SAT问题求解讲解
预备知识: 1. 基于模型诊断的基本概念介绍： 首先我们介绍基于模型诊断的主要思想和框架结构: Main idea of model-based diagnosis 1 基于模型诊斷的主要思想 基本立义： (1) 诊断系统： 一个诊断系统符号化泄义即为一个三元组(SD,COMPS,OBS),其中SD 为系统描述，是一 阶谓词公式集合；COMPS 是系统的组成部件集合，是一个有限常量集合，而OBS 是一个观 测集合，是一阶谓词公式的有限集合。简而言之就是把一个相关的系统抽象成符号化的几个 部分，然后把系统模型化，根据逻辑关系和相关的硬件结构抽象成模型，根拯模型推理出系 统正常的输出，而往往在实际系统中得到的观测和预期的结果不符，此时便需要诊断出哪些 元件可能出现故障，岀现故障的原因，并找到故障元件并解决，其中最主要的是故障元件集 合的找出即：诊断集合。 (2) 我们把一个元件不正常工作符号化表示即为： AB(c):"abnormal",AB(c)为真当且仅当 c 反常，其中 cw COMPS 。 (3) 基于一致性诊断： 设组件集合厶已COMPS,称△为关于(SD,COMPS,OBS)的一个基于一致性诊断，如果 SDU OBSU e COMPS- A)是可满足的。 (4) 极小诊断集： 称一个关于(SD,COMPS,OBS)的一个基于一致性诊断△是极小的(MCBD),if 不存在△的 任何真子集也是关于(SD,COMPS,OBS)的一个基于一致性诊断。 (5) 由此我们可以知道：要想判断一个诊断集合是否是基于一致性诊断，只需要判断在这 个诊断集合中的组件都是反常的(是故障的)，然后剩下的组件工作正常工作和系统的相关描 述以及系统在这种情况下系统的观测是否逻辑上可以解释的。 (6) 命题可满足性问题(propositional Satisfiability Problem,SAT)是人工智能里的一个分支，它 是完全NP 问题，并且人工智能中很多的NP 问题都可以转化成SAT 问题，然后求解，相应 的基于模型诊断问题(MBD)问题也可转化为SAT 问题，然后求解。 (7) 集成组合电路可以转化CNF 例如与门电路： SAT 问题研究小结 系统严型 卜言 预期的行为 帧选诊断 差异 实甲殳备 观测的行为